81　空间几何体的表面积和体积

8.1空间几何体的表面积和体积考情清单考点清单题型清单目录考点1空间几何体的结构特征考点2空间几何体的表面积与体积题型一空间几何体结构特征的辨析题型二求空间几何体的表面积与体积题型三与球有关的切、接问题考点20—24年考频真题示例考向核心素养空间几何体的结构特征2考2023北京,9五面体的棱长数学运算直观想象2022北京,9正三棱锥的结构特征空间几何体的表面积与体积4考2024北京,14圆柱的体积与数学文化2021北京,4四面体的表面积2021北京,8圆锥的体积2020北京,4正三棱柱的表面积直线与平面平行的判定与性质3考2024北京,17,(1)证明线面平行(以四棱锥为背景)数学运算逻辑推理直观想象2022北京,17(1)证明线面平行(以三棱柱为背景)2020北京,16(1)证明线面平行(以正方体为背景)平面与平面平行的判定与性质1考2021北京,17(1)证明点为线段中点(以正方体为背景)考点20—24年考频真题示例考向核心素养直线与平面垂直的判定与性质2考2024北京,8证明线面垂直,求几何体的高数学运算逻辑推理直观想象2023北京,16(1)证明线面垂直(以三棱锥为背景)用向量法求空间角

和空间距离5考2024北京,17,(2)求平面与平面的夹角(以四棱锥为背景)2023北京,16(2)求二面角(以三棱锥为背景)2022北京,17(2)求线面角(以三棱柱为背景)

考点20—24年考频真题示例考向核心素养用向量法求空间角

和空间距离5考2021北京,17(2)已知二面角求线段

比例(以正方体为

背景)数学运算逻辑推理直观想象2020北京,16(2)求线面角(以正方

体为背景)

考点20—24年考频真题示例考向核心素养命题形式本专题中空间几何体的结构特征,设问有计算多面体的棱长或截面面积;空间几何体的

表面积与体积,设问有计算多面体、旋转体的表面积、体积;线面平行的判定与性质,常

结合面面平行的判定与性质考查,设问有证明线面平行、线线平行或证明线段中点;线

面垂直的判定与性质,常结合面面垂直的判定与性质、线面垂直的定义考查,设问有证

明线面垂直、线线垂直;用向量法求空间角和空间距离,设问有求空间异面直线所成

角、线面角、二面角、点面距离,有时已知空间角求线段长等.考点1空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台底面有两个,是平行且全等的

多边形有一个,是多边形有两个,是平行且相似的

多边形侧棱平行且相等相交于一点,不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台母线平行、相等且垂直于底

面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形侧面展开图矩形扇形扇环知识拓展有关球的截面的性质(1)球是旋转体,球面不能展开,球的截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r=

.考点2空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r1+r2)l2.空间几何体的表面积与体积公式

表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=

S底h台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=

(S上+S下+

)h球S=4πR2V=

πR31.判断正误.(在括号中打“√”或“✕”)(1)有一个面是多边形,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.

(

)(2)不存在每个面都是直角三角形的三棱锥.

(

)(3)棱台的侧棱延长后交于一点.

(

)2.已知长方体的长、宽、高分别为5、4、3,那么该长方体的表面积为

.3.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为

.即练即清××√94

题型一空间几何体结构特征的辨析典例1

有下列命题:①若在圆柱的上、下底面的圆取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一成的几何体都是圆锥;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等;④底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥.其中,正确命题的个数是 (

)A.0

B.1

C.2

D.3A解析

对于①,只有当这两点的连线平行于圆柱的轴时才是母线,故①错误;对于②,当以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转时,所形成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体,故②错误;对于③,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等,故③错误;对于④,底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥是正棱锥,故④错

误.综上,正确命题的个数是0,故选A.方法总结1.关于空间几何体的结构特征的辨析关键是紧扣空间几何体的概念,要善

于通过举反例对概念进行辨析.2.对于圆柱、圆锥、圆台,解题的关键都集中在轴截面上,应重点关注轴截面中各元素

的关系.3.在解决有关台体的问题时,可以把台体还原成较为熟悉的锥体,降低空间想象难度.变式训练1-1

(设问条件变式)下列关于棱锥、棱台的说法:①用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;②棱台的侧面一定不会是平行四边形;③棱锥的侧面只能是三角形;④由4个面围成的封闭图形只能是三棱锥;⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.正确的有

.②③解析

对于①,只有当截面与底面平行时,截面与底面之间的部分组成的几何体才是棱

台,故①错误;对于②,棱台的侧面为梯形,故②正确;对于③,棱锥的侧面为三角形,故③正确;对于④,由四个面围成的封闭图形不一定是三棱锥,也可能是其他几何体,如半圆台,故

④错误;对于⑤,若过棱锥顶点的平面截棱锥,则两部分可能都是棱锥,故⑤错误.故答案为②③.题型二求空间几何体的表面积与体积角度一:求空间几何体的表面积典例2《九章算术》中将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,

将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”②.已知某“阳马”和某“堑堵”的组合

体的三视图③如图所示,则该几何体的表面积①为

(

)

A.28+12

B.24+12

C.26+12

D.12+24

B知识联想

由

知求几何体的表面积,几何体的表面积分多面体的表面积与旋转体的表面积,由

知考查组合体的表面积,常用的解法是:分别计算各简单多面体的表面积,再求和,注意减去相接面的面积.解析

由该几何体的三视图可知,该几何体的直观图如图所示,“堑堵”的底面是直角

边长为2的等腰直角三角形,高为4,“阳马”的底面是边长为2的正方形,高为2.

“堑堵”部分的表面积为S1=2×

×2×2+2

×4+2×4+2×4-

×2×2=18+8

,“阳马”部分的表面积S2=2×2+

×2×2+

×2×2

+

×2×2

=6+4

,所以该几何体的表面积为S1+S2=18+8

+6+4

=24+12

,故选B.方法总结求空间几何体表面积的方法(1)求多面体的表面积:把各个面的面积相加;(2)求简单旋转体的表面积:公式法;(3)求组合体的表面积:注意重合部分的处理,防止漏算或多算.典例3

(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其

中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状

看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(

≈2.65)

(

)A.1.0×109m3

B.1.2×109m3C.1.4×109m3

D.1.6×109m3

角度二:空间几何体的体积与实际应用C解析

140km2=140×106m2,180km2=180×106m2,由棱台的体积公式V=

(S+

+S')h,可得V增加水量=

×(157.5-148.5)=

×9≈(320+60×2.65)×106×3=1437×106≈1.4×109m3.故选C.典例4

(2022天津,8,5分)十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图1中的故

宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何

体(图2).这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中,若BE=CE=3,∠BEC=120°,则该几何体的体积为

(

)

角度三:数学文化与空间几何体的体积图1图1A.

B.

C.27

D.27

C解析

分割法如图所示,

该几何体可视为直三棱柱BCE-ADF与三棱锥S-MAB,S-NCD组合而成.(合理的分割方式

使计算更简单)记直三棱柱BCE-ADF的底面BCE的面积为S,高为h,所求几何体的体积为V,则S=

BE·CE·sin120°=

×3×3×

=

,h=CD=BC=3

.所以V=V三棱柱BCE-ADF+V三棱锥S-MAB+V三棱锥S-NCD=Sh+

S·

h+

S·

h=

Sh=27.故选C.典例5如图,在正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则棱锥A-B1CD1与

棱锥P-ABCD的体积之比是

(

)

A.1∶4

B.3∶8

C.1∶2

D.2∶3角度四:组合体的体积A解析

转化法如图,棱锥A-B1CD1的体积可以由正四棱锥P-ABCD的体积减去棱锥B1-

ABC、D1-ACD、C-PB1D1、A-PB1D1这四个小棱锥的体积得到.连接BD,设点P到平面ABCD的距离为h,因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,所以B1,D1到平面ABCD的距离为

h,又S△ABC=S△ACD=

S正方形ABCD,所以

=

=

×

S正方形ABCD·

h=

VP-ABCD.正四棱锥中,AC⊥平面PBD,所以VP-ABCD=2VP-BCD=2×

·S△PBD·

AC=

S△PBD·AC,

=

=

·

·

AC=

×

S△PBD·

AC=

VP-ABCD.则

=VP-ABCD-

VP-ABCD=

VP-ABCD,(分割法得所求的体积)则

∶VP-ABCD=1∶4.故选A.方法总结求空间几何体体积的方法(1)求简单几何体(柱体、锥体、台体或球)的体积:公式法.(2)求组合体的体积:一般不能直接利用公式求解,常用转换法、分割法、补形法等进行

求解.变式训练2-1

(核心元素变式)(2018课标Ⅰ文,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为

(

)A.12

π

B.12πC.8

π

D.10πB解析

设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2

,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π.故选B.变式训练2-2

(情境模型变式)(2023新课标Ⅰ,14,5分)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=

,则该棱台的体积为

.解析

解法一:正四棱台ABCD-A1B1C1D1如图所示.设其上、下底面中心分别为O1,O,连

接O1O,O1A1,OA,由正四棱台的定义可知O1O⊥平面ABCD,O1O⊥平面A1B1C1D1,四边形

ABCD,A1B1C1D1均为正方形.∵AB=2,A1B1=1,∴AO=

,A1O1=

,AO∥A1O1,又∵AA1=

,∴在直角梯形A1O1OA中,O1O=

=

,∴

=

×(1+4+

)×

=

.解法二:将正四棱台补形为正四棱锥P-ABCD,如图,因为AB=2,A1B1=1,所以A1,B1,C1,D1分

别为PA,PB,PC,PD的中点,又AA1=

,所以PA=PB=PC=PD=2

,过P作PO⊥平面ABCD,连接OA,O为正方形ABCD的中心,又因为AB=2,所以OA=

,所以PO=

=

,所以四棱锥P-ABCD的体积为

PO·S四边形ABCD=

×

×4=

,同理,四棱锥P-A1B1C1D1的体积为

,所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为

-

=

.题型三与球有关的切、接问题角度一:外接球相关问题典例6(2020课标Ⅰ文,12,5分)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外

接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为

(

)A.64π

B.48πC.36π

D.32πA解析

第一步:由已知得等边△ABC的外接圆半径,进而求出其边长.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,得πr2=4π,∴r=2,∵△ABC为等边三角形,∴AB=2rcos30°=2

.第二步:得出OO1的长,根据球的截面性质,求出球的半径,即可得出结论.由题意知OO1=AB=2

,根据球的截面性质得OO1⊥平面ABC,∴OO1⊥O1A,R=OA=

=

=4,∴球O的表面积S=4πR2=64π.故选A.角度二:内切球相关问题典例7(2020课标Ⅲ,理15,文16,5分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3②,则该圆锥内

半径最大的球的体积①为

.知识联想

由

知考查圆锥内切球的体积,通常解决的方法是:将空间问题转化为平面问题,即圆锥轴截面三角形的内接圆半径等于所求球的半径.解析

圆锥内球半径最大时的轴截面如图.

其中球心为O,设其半径为r,AC=3,O1C=1,∴AO1=

=2

.∵OO1=OM=r,∴AO=AO1-OO1=2

-r,又∵△AMO∽△AO1C,∴

=

,即

=

,故3r=2

-r,∴r=

.∴该圆锥内半径最大的球的体积V=

π×

=

.方法总结1.“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点,

通过作截面来解决.(2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上,即球外接于该多面体.解题的关键

是抓住球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.2.当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂直的三棱锥或三组对棱分别相等的三棱锥

时,常构造长方体或正方体以确定球的直径.知识拓展与球有关的组合体的常用结论(1)长方体的外接球:①球心:长方体体对角线的交点;②半径:r=

(a,b,c为长方体的长、宽、高).(2)棱长为a的正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球:①外接球:球心是正方体的中心,半径r=

a;②内切球:球心是正方体的中心,半径r=

;③与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径r=

a.(3)棱长为a的正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分):①外接球:球心是正四面体的中心,半径r=

a;②内切球:球心是正四面体的中心,半径r=

a.(4)正棱柱外接球的球心是上、下底面中心的连线的中点.(5