2025年小学数学《数论》整除-整除的基本概念-4星题（含解析）全国版

数论-整除-整除的基本概念-4星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

整除的基本概念A1、了解整除的定义。少考

2、会判定一个数能不能被另一个数

整除。

知识提要

整除的基本概念

•定义

如果整数a除以整数b(bHO),除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，

也可以说b能整除a，记作％|Q.

注意：如果除得的结果有余数，我们就说Q不能被匕整除，也可以说匕不能整除a.

•整除的性质

性质I：如果Q、6都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

性质2：如果b与c的积能整除。,那么b与c都能整除Q。

性质3：如果b、c都能整除Q，且b和c互质，那么力与c的积

能整除ao

性质4：如果c能整除b，b能整除a,那么。能整除ao

精选例题

整除的基本概念

I.在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数.其中每相邻

两个数的和可以整除它们的积（例如，3+6=9,9可以整除3x6；再如，6+30=36,36

可以整除6x30）.

请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以

整除它们的积.

4、、、、3

【答案】4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3

【分析】设4,a,b,c,3成立，则*=九，誓=?九.（m、九）是非零整数.

4+a3+c

由倒数的意义可知：

①竺=工，则上+工一，11=l=

4xan4xa4xana+4nan4

->-»则ri=3,n=2.

n4

w1111

=1n=3o,-=----=—,a=12；

a3412

、“1111d

3n=2n,-=----

a24=-4,Q=4.

—>->则m=2,当m=2时，-=—g=z，c=6.

m3c236

③设=k，则可得2，+1=；,：=J_k可取（2、3、4、5）.

c+bcxbkcbkbk6

当k=2时，*=b=3；

b263

*=3时，=7-7=pb=6；

b366

k=4时，5=12；

忆=5时,旨H，5=30.

经检验有下面的三组解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3.

2.给定一个除数（不为0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足

被除数=除数x商+余数

其中，04余数〈除数.这就是带余数的除法.当余数为0时，也称除数整除被除数，或者

称除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数）。

不超过988000并且能够被49整除的大于1的自然数共有个.

【答案】20163

【分析】

988000-49=2016313

所以，满足要求的数分别是49的1〜20163倍，共20163个.

3.请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任

何一个都是它前面所有数之和的约数.

【答案】其中一个答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11.

【分析】设填好后的数从左往右依次为由,的，…,所有数的和为66,那么有为］166-

由1，故由1166,可以设々1=11,则其余数的和为55,那么倒数第二个数肯定是55的约数,

可以填5；还剩50,那么倒数第三个数肯定是50的约数，可以填10,最后经过尝试得到6、

1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、3、7、2、6、4、10、5、11等答案.

观察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11这组答案，可以发现一个一般的规律：

若所给数是1〜2几+1,则九+1,1,八+2,2,­••,2n-ri,2九+1符合题意；

若所给数是1〜2九，则九+1,1,n4-2,2,…，2九，"符合题意.

4.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,23・・・,12.他们的电话号码依次是12个连

续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字

都小于6,并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除.请问：这一家的电话号码是

多少？

【答案】388089

【分析】设第一家住户的电话号码为n+1,则1I九+1,2|九+2,3In+3,-,12In4-12,

由此可知n能被1~12同时整除，而1〜12的最小公倍数为23x3?x5x7x11=27720,

则n=27720m,其中m为正整数.由条件“门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除”

可得，131277207/1+9.而277207九+9三4771+9(modl3),所以m=14时满足条件，这一

家的电话号码为27720X14+9=388089.

5.已知M、N是互为反序的两个三位数，且MAN.请问：

(1)如果M和N的最大公约数是7,求M；

(2)如果M和N的最大公约数是21,求M.

【答案】(1)952；(2)861

【分析】(1)设这两个三位数分别为M=abc、N=c,oa(M>N),那么71M—N=

99(a-c),所以｛:二:'或｛：二经枚举验证只有M=952时符合最大公约数是7.

(2)设这两个三位数分别为时=次、N=cba(M>/V),那么7IM-N=99(。一c),所以

［或2经枚举验证只有M=861时符合最大公约数是21.

6.定义运算“如下：

对于两个自然数Q和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为aOb.

比如：10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10。14=70-2=68.

(1)求12021,5015：

(2)说明，如果C整除Q和仇则C也整除Q。/?：如果C整除Q和Q。/?,则C也整除也

(3)已知6。％=27,求x的值.

【答案】(1)81；10：

(2)见解析；

(3)x=15

【分析】(1)为求12021,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,

因此12Q21=84-3=81,同样道理5015=15-5=10.

(2)如果c整除Q和b,那么。是Q和b的公约数，则c整除Q,b的最大公约数，显然c也

整除a,b最小公倍数，所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除。。氏

如果c整除Q和Q0b,由c整除Q推知c整除a,b的最小公倍数，再由c整除Q0b推知,

整除a,b的最大公约数，而这个最大公约数整除b,所以c整除b.

(3)由于运算没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索疝

围.因为6与无的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间，

只有30是6的倍数，可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30—27=

3.由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”，得到30x3=6xx.所以

x=15.

7.试求不大于100,且使371+7"+4能被11整除的所有自然数n的和.

【答案】1480

【分析】通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，依次为：31为3,32为9,33为5,

3,为4,3$为1,…，因而3”被11除的余数5个构成一个周期：3,9,5,4,1,3,9,5,

4,1,…；类似地，可以求出7〃被11除的余数10个构成一个周期：7,5,2,3,10,4,

6,9,8,1,-；于是3,+7”+4被11除的余数也是10个构成一个周期：3,7,0,0,4,

0,8,7,5,6,…；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即

九=3,4,6,13,14,16,•••,93,94,96时3"+7n+4能被11整除,所以，所有满足条件的自然数几

的和为：

3+4+6+13+14+16+…+93+94+96

=13+43+…+283

=1480.

8.表中第1行是把1-100的整数依次全部排列出来，然后从第2行起是根据规律一直排到最

后的第100行.请问：这个表中一共有多少个数能被77整除？

第1行12345.................96979899100

第2行3579.................193195197199

第3行81216.................388392396

其4行..............................

第5行.........................

第100行

【答案】62

【分析】在这个表里，有的数字的正下方写着比它大4的数.

।心।口।r^r

区.1||2J+1|

假如，某数字是不能被77整除的数字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整

除.于是我们得知不能被77整除的数字下面写的数字都不能被77整除.那么，如果某数字

是可以被77整除，不管乘多少回4,得出的数字都可以被77整除.可被77整除的数字下面

都可以被77整除.题目的表中从左右两边第N个的下面写着N个整数.表的第一行从右数第

24个是77,在它下面写的24个整数都可以被77整除.另外，从左数笫二行第38个是38+

39=77,所以在它下面写的38个整数都可以被77整除.在表的第一行和第二行里除此之外

再没有可以被77整除的数了.从整个表来看，除了上述的24+38=62个以外，冉也没有可

以被77整除的数了，所以答案为62.

9.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能

被第三个数整除.请问：满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？

【答案】31

【分析】先证明这3个数每个都至少含有2种质因数.

证法一：假设这三个数为4、B、C,其中人只有一种质因数p,那么B不可能只有质因数p,

否则8和4必定是倍数关系，同理，C也不可能只有质因数p.

根据Cl48,假设C有除p以外其他质因数q,可以得到qIB,同理，C所有除了p以外的

质因数都是8的质因数；再根楣BIC4,同理得，8所有除了p以外的质因数也是C的质因

数，那么8、C必定是倍数关系，与题意矛盾.所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的

数，即每个都至少含有2种质因数.

证法二；假设这三个数为/、B、C,其中人只有一种质因数p,设/=p<，.因为/IBC,所

以乘积BC中一定含有质因数p：但4不能整除B,也不能整除C,说明8、C中都含有u,

且次数都低于a：又8不能整除力，C也不能整除4所以8、C中都含打除了p以外的质因

数,设8=用bXpb,C=%xp>,其中团》表示B分解质因数后不包含p的部分，团c同理.

因为BMC,所以团匕|%；同理，因为C148,所以团J%，说明虱二团匕，那么8和。是

倍数关系，与题意矛盾.所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的数，即每个都至少含行

2种质因数.

若这三个数里一共恰有2种质因数，最小为2和3,最小符合题意的情况是22x32、2x33、

23x3,和为36+54+24=114；

若这三个数里一共恰有3种质因数，最小为2、3、5,最小符合题意的情况是2x3、2x5、

3x5,和为6+10+15=31；

若这三个数里一共恰有4种质因数，最小为2、3、5、7,在不考虑题意的情况下，3个不同

的各含两种质因数的数最小是2x3、2x5、2x7,和为30,但这组不符合题意，很明显如

果要符合题意，和肯定大于31；

若这三个数里一共恰有5种质因数，最小为2、3、5、7、11,在不考虑题意的情况下，3个

不同的各含两种质因数的数最小是2x7、2x11、3x5,和为51,大于31；

很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于31；

综上，满足上述条件的3个自然数之和最小是31.

10.在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0,得到一个三位数(例如21变成了

201),结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除.请问：所有满足条件的两位数之和是多

少？

【答案】528

【分析】不型条件的两位数为方，则按题意插入一个数字。后的三位数是同.

依题意有mI和，按位置原理展开得

10a+b|100a+b,

整理得

10a+bI90a+(10a+b),

推出

10a+bI90a;

或者整理得

10a+bI10(10a+b)-9b,

推出

10a+b19b.

因为9b比90"H对较小，所以考虑10a+ZH9b,但发现也不好分析，所以变为m196

若b取。时，而取10,20,90均可；

若b取1时，记没有符合的情况：

依次讨论得到话可以为10,20,30,…，90,15,45,18,和为528.

11.小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分

数乘以3,输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么

他们至少玩了多少局？

【答案】9

【分析】设小明和小华最后的分数分别为3a和3h，其中Q>b,所以9913a—3b=

3%3（。一与一1］.因为［38一》）一1］和3互质，所以b最小为2且有11|3（。一匕）一1,经尝试，

最小为5的时候符合，所以小华最少玩了2局，小明7局，一共9局.

12.请找出符合下列性质的四位数：

（1）它是一个平方数；（2）开始两位的数字要相同；（3）最末两位的数字要相同.

【答案】7744

【分析】设四位数为aa力b.因aabb=1000a+100a+10b+b=11xaOb,要aabb是完

全平方数，则就能被质数11整除，故a+b=ll,后记只能是902,803,704,605,506,

407,308,209.

由于狐被11除的商必须是完全平方数，只有704符合.此时Q=7,b=4,故所

求的数为7744.

13.六位数20团团08能被99整除,团团是多少？

【答案】71

【分析】方法一：200008被99除商2020余28,所以丽丽+28能被99整除，商72时,

99x72=7128,末两位是28,所以团团为71；

方法二：99=9X11,20时08能被99整除,所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数

字的和只能为8或17；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或5,可得团团是

71.

14.（1）不算出结果，判断数（524+42—429）是偶数还是奇数？

（2）数（42面+30-147）能被2整除，那么，团里可填什么数？

（3）下面的连乘积是偶数丕是奇数？

1x3x5x7x9x11x13x14x15.

【答案】(1)奇数；(2)1,3,579；(3)偶数.

【分析】根据奇偶数的运算性质：

(1)因为524,42是偶数，所以(524+42)是偶数.又因为429是奇数，所以(524+42-

429)是奇数.

(2)数(420+30-147)能被2整除，则它一定是偶数.因为147是奇数，所以数(420+

30)必是奇数.又因为其中的30是偶数，所以，数42团必为奇数.于是，团里只能填奇数1,

3,5,7,9.

(3)1,3,5,7,9,11,13,15都是奇数，由1x3为奇数，推知1x3x5为奇数……

推知1x3x5x7x9x11x13x15为奇数.

因为14为偶数，所以(1x3x5x7x9x11x13x15)x14为偶数，即1x3x5x

7x9x11x13x14x15为偶数.

15.一个4位数，把它的下位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字

移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的

一个：

①9865：②9867：③9462；④9696：⑤9869.

这两个4位数的和到底是多少？

【答案】9696

【分析】设这个4位数是砺，则最新的4位数是丽.两个数的和为

abed+edab=1010a+101b+1010c+lOld,

是101的倍数.在所给的5个数中只有9696是101的倍数，故正确的答案为9696.

16.在1、2、3、4…2007这2007个数中有多少个自然数Q能使2008+Q能被2007-Q整

除.

【答案】7

［分析］要使得2008+a能被2007-a整除，我们可以将条件等价的转化为只要让缥普

zoo/-a

是一个整数即可.下面是一个比较难的技巧，我们知道若a可以使得翳华是一个整数，那

么Q也同样可以使得孤言+1=*就箸心二部三是一个整数，这样只要2007—a是

4015的约数即可，将401g分解可知其共着8个因数，表中4015是最大的一个，但是显然没

有可以让2007—a等于4015的Q的值，其余的7个均可以有对应的Q的值，所以满足条件

的a的取值共有7个.

17.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余

各位同学都说这个数能被自己的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不

对，其余同学都对，问:

（1）说的不对的两位同学.他们的编号是哪两个连续自然数？

（2）如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数.

【答案】（1）8和9；C2）60060

【分析】（1）为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为a.根据2〜15号同学所述结

论，2〜15中只有两个连续的自然数不能整除a,其他的数都能整除a.由于2〜7中的每一

个数的2倍都在15以内，如果2〜7中有某个数不能整除a,那么这个数的2倍也不能整除

a,然而2〜7中的这个数与它的2倍不可能是两个连续的自然数，所以2~7中每一个数都

是a的约数.由于2与5互质，那么2x5=10也是Q的约数.同理可知，12、14、15也都

是a的约数.还剩下的四个数为8、9、11、13,只有8、9是两个连续的自然数，所以说的

不对的两位同学，他们的编号分别是8和9.

（2）1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数

整除，也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是：2zx3x5x7x11x13=60060.因为

60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数60060的倍数，旦最

小为2倍，所以均不是五位数，那么1号同学写的五位数是60060.

18.我们将具有如下性质的自然数K称为“高思数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的

各位数字按相反顺序重写时所得到的数也能被K整除，请求出所有的“高思数”.

【答案】1、3、9、11、33、99

【分析1易知，1必为“高思数”；因为一个数反序重写数字和不变，所以3、9为“高思数”;

因为一个数反序重写奇位和与偶位和之差也不变，所以11为“高思数”，由整除规律，33、99

也是“高思数”.除此之外.感觉是没有了,下面给出证明.

引理（可以看做是先证明一个小结论）：对于任意的不含2或5的正整数n,形如1、11、

111、1111、…的数中一定有无数个是〃的倍数.

证明：由于1,11,111,1111,…，11这九+1个数中一定存在2个数关于九同余，那么这两

n+1个1

个数的差一定是〃的倍数，而这两个数的差是形如11…100…0的数，说明11…1是71的倍

a个1b个0a个1

数，同理可得这里面有无数个数是n的倍数.

首先说明“高思数''的个位数字只能是1、3、7、9.因为，“高思数”肯定不是偶数，否则肯定

能得到它的某个倍数的首位是1,那么这个偶数就无法整除这个倍数的反序数.同理，“高思

数”的个位数字也不能是5.所以“高思数”的个位数字只能是1、3、7、9.

若K是“高思数”，根据引理得一定存在某个自然数2使得Kill…1,那么K177…7,进一

I个1