实数所有知识点归纳和专项练习

第六章实数

回忆知识：

L判断题

(1)-0.01是0.1的平方根..................................()

(2)—52的平方根为-5....................................................................()

(3)0和负数没有平方根..................................0

(4)因为上的平方根是土所以、口=±L...................................1)

164V164

(5)正数的平方根有两个，它们是互为相反数..............0

2.选择题

(1)以下各数中没有平方根的数是()

A.-(-2)3B.3-3C.Q°D.一(屋+1)

(2)"等于()

A.〃B.一〃C.±oD.以上答案都不对

⑶如果的平方根是土相，那么()

A.tz2=±mB.a=±nrC.>fa=±mD.±4a=±m

(4)假设正方形的边长是面积为S,那么()

A.S的平方根是aB.a是S的算术平方根

C.a=±4sD.S二石

3.填空题

(1)假设9A2—49=(),那么.

(2)假设RT有意义，那么x范围是_______

(3)Ix—4I+J2.+)，=0,那么x=.

(4)如果。<0,那么石,(曰¥=.

6.3实数

一.无理数

1.无理数的概念

无限不循环小数叫做无理数

说明：有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括：(1)开方

开不尽的数，如6;(2)有特定意义的数，如，〃及含乃的数；(3)有一定

结构的无限小数，如，0.080080008…；(4)无限不循环小数

一个有理数a与一个无理数b进行四则运算时，a+b,a-b,都是无理

数，当aWO时，ab,二幺都是无理数，当a=0时，ab,巴都是有理数。

bab

2.无理数的特征

U)无理数的小数局部位数无限

(2)无理数的小数局部不循环，不能表示成分数的形式

3.小数的分类

4.确定/20)中的正数x的近似值的方法

(1)确定正数x的整数局部。

根据平方的定义，把X夹在两个连续的正整数之间，确定其整数局部，

例如：求尤2=5中的正数X的整数局部。因为22<5<32,即22</<32,所以

2<x<3,因此小数局部为2。

(2)确定x的小数局部十分位上的数字。

将这两个整数平方却的平均数与a比拟，预测十分位上数字的取值范围,

如两个整数2和3的平方和的平均数为宁i>5所以x的十分位上的数

字一定比3小，不妨设x-2.2。

设误差为k(k必为一个纯小数，且k可能为负数)，那么x=2.2+k。所

以(2.2+k)2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,由于k是小数，所以K很小，

把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k^0.036,所以x=2.2+k=2.2+0.036

N2.236

注意：实际估算中，整数局部的数字容易估计，十分位上的数字可以采

用试验的方法进行估计，即2.I2=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,所以

4.84<5<5.29o所以2灸<炉〈2.3?所以2.2<x<2.3,所以十分位上的数字为2。

二.平方根

1.算术平方根

〔1〕算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即

那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别地，0的算术平方根是

Oo

(2)算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作“及〃或

5,读作“根号a〃，其中符号读作“二次根号〃，a叫做被开方

数，2叫做根指数，通常省略不写。

例如;42-16,16的算术平方根是4,即府=4。

(3)算术平方根的性质：①正数a的算术平方根为也,②0的算术平方

根是0,即而=0,(3)负数没有算术平方根。

(4)算术平方根G具有双重非负数：①被开方数是非负数，即a20,

②算术平方根石本身是非负数，即

(5)理解算术平方根要注意的三点：

①夜中存在两个非负概念，即&N0,a>0

②算术平方根与平方根的相同点是它们的被开方数都必须是非负数，零的平

方根与算术平方根都是零。

不同点是：任何正实数的平方根都有两个，这两个平方根互为相反数，但是

任何正实数的算术平方根只有一个，是正实数平方根中的正值。

③当二次方根被开方数是含有字母的代数式时，它是否有意义，那么需

看被开方数是否非负。

2.平方根

(1)平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a,即f=人

那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次根式)。

(2)平方根的性质：①一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方

根“八〃，另一个是“-右〃，它们互为相反数，合起来记作“土八〃，读

作“正，负根号a〃，例如：5的平方根是土瓜；@0的平方根是0；③负数

没有平方根。

3.开平方

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开平方，

如：因为(±5)2=25,所以±后=±5

说明：由于开平方与平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求

一个数的平方根或算术平方根，也常用平方运算检验所求得的平方根是否正

确，注意被开方数是非负数。

4.平方根与算术平方根的区别与联系

(1)区别：①定义不同；②个数不同：一个正数有两个平方根，它们互

为相反数，而一个止数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：止数a的

平方根表示为±&，正数a的算术平方根表示为6；④取值范围不同：正数

的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负。

(2)联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平

方根中的正的那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才

有；③0的平方根与算术平方根都是0。

5.两个重要的性质

(1)=\a\9即当a20时，=a,当a<0时，7^"=-a

(2)(4a)2=a(a>0)

6、理解平方根要把握以下三点：

零才有平方根，负数没有平方根。

(2)非零的两个数互为相反数时，它们的平方是同一个正数，因此一个正数

的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零。

(3)平方与开平方互为逆运算，因此，可以用平方运算来求一个数的平方根,

也可以用平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。

三.立方根

1、立方根的概念

(1).一般的，如果一个数x的立方等于a,即x，=a,那么这个数就叫做

a的立方根(也叫三次方根)。

(2).立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的

立方根是0。

(3.)立方根的表示方法：每个数都只有一个立方根，用符号“加〃表示,

读作“三次根弓J,其中a是被开方数，3是根指数，耍注意这里的根指数

不能省略。

（4）.两个互为相反数的立方根之间的关系：根据立方根的定义可知，假

设x=。，那么-x=%\因为-HPV-^a=-Va,也就是说，求一'个

负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相

反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面。

2、开立方

求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

开立方与立方互为逆运算。例如把64开立方，就是要求64的立方根，

那么什么数的立方等于64呢，因为43=64,所以64的立方根是4,即病=4。

3、立方根与平方根的区别与联系

（1）区别：（1）用根号表示平方根时，根指数是2可以省略，而月根号表

示立方根时，根指数3不能省略。（2）平方根只有非负数才有，而立方根任

何数都有，且每个数都只有一个立方根，如—8没有平方根，但有立方根-2。

（3）正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个，如2的平方根是土五,

而立方根只有蚯。

（2）.联系：（1）都与相应的乘方运算互为逆运算。（2）都可以归结为非

负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方

根也可转化为正数的立方根来研究，即g=-遍。（3）。的立方根和平方根

都是Oo

4.立方根中小数点的移动规律

被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点就向相同方向移动一位。

如：Vi33T=HVa,那么女1.331=1.1。

5.两个重要的性质

⑴y=-Va,如=-V27=-3

（2〕（Va）3==a,^0（V8）3=Vs^=8

四.确定无理数近似值的方法（估算法）

I.当被开方数在I至1000以内，可用乘方与开方为互逆运算来确定无理数

的整数局部，然后根据所要求的误差大小确定小数局部。

2.当被开方数是正的纯小数或比1000大时，利用方根与被开方数的小数点

之间的规律，移动小数点的位置，将其转化到被开方数1至1000以内进行估

算，即平方根中的被开方数的小数点向右（或向左）每移动2n位，其结果的

小数点向右（或向左）移动n位，立方根中的被开方数的小数点向右（或向

左）移动3n位，其结果的小数点向右（或向左）移动n位。

五.无理数大小比拟的常见方法

1.估算法：

例如：比拟巫二1与_1的大小，因为3＜屈＜4,所以0＜痴-3＜1,所以

22

22

2.求差法

假设6-布＞。，那么五＞后，假设/T-6＜（）,那么五＜八。

3.平方法

把含有根号的两个无理数同时开方，根据平方后的大小进行比拟，例如:

和30的大小，因为（2C产=24,（3白尸=27,所以26＜36

4.移动因式法

当a＞0,b＞0时，假设a＞b,那么因此可以把根另外的因式移

到根号内。

六、实数

1:实数

(1)实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

(2)实数的分类:

①按实数的性质符号分类：实数可分为正实数、零、负实数。

②按定义分类：实数可分为有理数和无理数。

(3)无理数与有理数的区别与联系：

区别：

(a)无理数是无限不循环小数，而有理数是有限小数或无限循环小数。

(b)一切有理数都可以表示成分数。无理数不可以表示成分数。

联系：

(a)无理数和有理数都是实数。(b)无理数与有理数在运算中可以互相转化。

2：实数的有关概念和性质

(1)有关概念

实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的相反数、绝对值、倒数

的意义是相同的，即有理数中的概念在实数范围内仍适用。

①相反数：a与一〃表示任意一对相反数，如6与一而互为相反数。

③倒数：如果a表示一个非零数，那么a与，互为倒数(aWO),如力与

a

%互为倒数。

⑵有关性质

①a与b互为相反数oa+b=O

②Q与b互为倒数oab=l

③同20

④互为相反数的两个数的绝对值相等，即时=|-a|

⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数

3:实数和数轴上的点的一一对应关系

数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每一个实数都可

以在数轴上找到表示它的点。

4：实数大小的比拟

有理数大小的比拟法则在实数范围内仍适用。

①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

②正数都大于()，负数都小于0,正数大于一切负数，两个负数绝对值大

的反而小。

③可根据有理数大小的比拟法则和不等式的性质等方法比拟实数的大小。

④对于二次根式的大小的比拟，可根据前面老师的讲座中所介绍的方法

如：作差法、作商法、平方法、倒数法等进行比拟。

5：实数的运算法则和运算律

有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序。实数有

加、减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再

乘除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号里

的。

6：无理数的乘法、除法法则及计算

(1)Va-Vb=Vab(a>0,b>0),Vab=Va-Vb(a>0,b>0)

^a__Va

⑵■^(a>0,b>0),(a>0,b>0)

(3)最简无理数必须同时满足以下条件:

①被开方数的因数是整数；

②被开方数中不含能开得尽方的因数；

③分母中不含根号。

汪V%,蕙:无理数的计算结果必须是最简无理数，如&1=26,

7：实数中的非负数的四种形式及性质

(1)形式：①同之0;②a^NO;③而之0(@之0);④而中，a>0o

(2)性质：①非负数有最小值零；②有限个非负数之和仍然是非负数;

③假设几个非负数之和等于0,那么每个非负数都等于Oo

8：实数中的无理数的常见类型

11)所有开不尽的方根，如亚。

(2)圆周率五及含有Ji的数。如3Ji—i。

⑶看似循环，但实质上不循环的无限小数。如:0.3…,0.1010010001o

注意：带根号的数不一定是无理数，如”是有理数；不带根号的数也可

能是无理数，如兀等。

9：分母有理化

将分母中的二次根式化去，叫做分母有理化。两个含有二次根式的代数

式相乘。如果它们的积不含有二次根式。我们就说这两个代数式互为有理化

因式。如4与4，百+6与75-探互为有理化因式，分母有理化时，采用分

子、分母同乘以分母的有理化因式的方法，例如印=受2=9，又如

V3V3-V33

1V3-V6V3-V6

-------------=-------------------------------=---------------般的，aV7+b6与aV7-互为有理化

6+遍(V3+V6)(V3_瓜)3

因式，Ja+b与Ja+b互为有理化因式,a+后与a-加互为有理化因式。

注意：（1）小与n不是互为有理化因式。

（2）有理化因式不唯一，如加与。-布互为有理化因式，右+而

与布-6也互为有理化因式。

七,解题方法指导：

（一）关于平方根与算术平方根常用的解题方法有：

1.配方法：在含有字母的代数式或比拟复杂的数字式进行开平方时，适当添

项、拆项后，使原来多项式中一局部配成完全平方式，使问题得以简化。

2.特殊值法：对某些数字问题，如果先对其特殊情况进行分析，往往可以发

现解决的方法，在关于平方根的题目中尤其是对含有未知数的代数式，根据

题设条件取一些特殊值，从而求解。常取的特殊值有0、1等值。

3.运用二次方根被开方数与算术平方根的非负性

（2）假设有限个非负数的和为零，那么这些非负数均为零。

（二）关于立方根常用的解题方法

1.利用立方根本身的性质求解。

2.配方化简：将要开立方的代数式配成立方形式，便可化简求解。

3.特殊值法；对含有未知数的代数式开立方的题目，有时可用到取特殊值的

方法，如将未知数取。或1等等来进行分析、比拟从而求解。

4.利用开立方运算与立方运算互为逆运算的关系进行解题。

（三）关于实数常用的解题方法

1.利用非负数的概念及性质来解题：

(1)儿类常见的非负数有：

一个实数的偶次幕、实数的绝对值、算术根、数轴上原点和原点右边的点所

表示的数。

(2)非负数的性质:

(a)有限个非负数的和与积仍是非负数。

(b)假设有限个非负数的和为零，那么每一个加数都必须是零。

(c)最小的非负数是零。

(d)没有最大的非负数。

(e)非负数大于一切负数。

2.对一个数是有理数的证明：

常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商形式。

3.要证一个数是无理数

常用反证法，即假设这个数是有理数，再推出矛盾。

4.利用逆向思维的方式：从要求或要证的结果入手，溯源求解，其中可采用

各种转换方法，如等量代换、配方法、参数法等。

八、知识拓展

Ln次方根的概念：

平方根与立方根是最根本的偶次方根与奇次方根。

2.n次方根的性质：

(1)正数的偶次方根有两个，它们互为相反数。

(2)负数没有偶次方根。

(3)正数的奇次方根是一个正数。

(4)负数的奇次方根是一个负数。

⑸零的n次方根是零。

实数专题训练

一、填空题：

1、-2的倒数是o

2、4的平方根是o

3、-27的立方根是________o

4、J3-2的绝对值是o

5、2004年我国外汇储藏3275.34亿美元，月科学记数法表示为亿美元。

6、比拟大小：——

7、近似数0.020精确到位，它有个有效数字。

8、假设n为自然数，那么（一1卢+（—1卢+=0

9、假设实数a、b满足|a—2|+（b+；）2=0,那么ab=。

10、在数轴上表示a的点到原点的距离为3,那么a-3=。

11、一个矩形的长为3cm,宽为2cm,试估算它的对角线长为。（结果保

存两个有效数字）

12、罗马数字共有7个：I（表示1）,V（表示5）,X（表示10）,L（表示50）,

C（表示100）,D（表示500）,M（表示1000）,

这些数字不管位置怎样变化，所表

示的数目都是不变的，其计数方法是用“累积符号〃和“前减后加〃的原则来计数

的：

如IX=10—l=9,VI=5+1=6,CD=500-100=400,那么XL=,XI=

二、选择题：（每题4分，共24分）

1、以下各数中是负数的是（）

A、-（-3）B、-（-3）2C、一（一2）3D、|-2|

2、在冗，一；，/（一3）2,3.14,J2,sin30°,0各数中，无理数有（）

A、2个B、3个C、4个D、5个

3、绝对值大于1小于4的整数的和是（）

A、0B、5C、-5D、10

4、以下命题中正确的个数有（）

①实数不是有理数就是无理数②a<a+a③121的平方根是土

11

④在实数范围内，非负数一定是正数⑤两个无理数之和一定是无

理数

A、1个B、2个C、3个D、4个

5、天安门广场的面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相当

于（）

A、教室地面的面积B、黑板面的面积

C、课桌面的面积D、铅笔盒面的面积

6、|x|=3,|y|=7,且xyVO,那么x+y的值等于（）