湖南郴州市重点高中2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（原卷版）

高二数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册8.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则中的元素个数为（）A. B. C. D.2.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（）A.150km B.100km C.175km D.125km4.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若⊥，m，则m⊥C.若m⊥，mn，n，则⊥ D.若＝m，n，n⊥m，则n⊥5.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（）A. B. C. D.6.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（）A. B. C. D.8.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（）A.频率分布直方图中a的值为0.16B.估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时C.估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人D.估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时10.已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（）A.若直线的倾斜角为，则B.的最小值为8C.以线段为直径的圆恒与轴相切D.若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为11.已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（）A.是周期为4的周期函数B.C.在上单调递增D.的图象关于直线对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．13.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______．14.设正整数，其中，或（，，，），记．若且，则满足题意的共有______个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和，并证明．16.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点.（1）证明：平面．（2）设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.17.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的标准方程；（2）设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.18.某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立.（1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点.（2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟.（i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求；（ii）