认识三角形课件2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第四章三角形1认识三角形第四章三角形认识三角形(第1课时)课堂精要·梳理内容课堂精练·发展能力课堂延伸·提升素养目录课堂精要·梳理内容1．三角形的基本概念定义：由不在同一直线上的三条线段首尾________相接所组成的图形叫作三角形。

基本要素：三角形有三条边、三个内角和三个顶点。表示方法：△＋顶点字母，如△ABC。2．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于________。

3．按角分类180°

顺次4．通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。如图，直角三角形中，直角所对的边称为直角三角形的________，夹直角的两条边称为直角三角形的________。

5．直角三角形的两个锐角________。

互余直角边斜边课堂精练·发展能力基础巩固1．在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为(

)。A．35°B．40°

C．45°D．50°C

2．下列叙述不正确的是(

)。A．三角形的内角和是180°B．一个三角形不是锐角三角形就是钝角三角形C．三角形中最多有一个钝角D．直角三角形两锐角的和是90°B

3．已知一个三角形三个内角的度数之比为1∶1∶2，则这个三角形一定是(

)。A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形D4．如图，已知∠A＝35°，∠B＝∠C＝90°，则∠D的度数是(

)。A．35°

B．45°

C．55°

D．65°A

5．如图所示的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(

)。A．直角三角形

B．锐角三角形C．钝角三角形

D．以上都有可能D6．如图，以BC为边的三角形有______个，分别是__________________________。

△ABC，△BCD，△BEC3

7．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，求∠C的度数。解：因为∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，所以设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°。由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得3x＋4x＋5x＝180，所以12x＝180，解得x＝15，所以∠C＝5x°＝75°。

强化提高9．给出下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是(

)。A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．2∠A＝3∠B＝4∠CD．∠A－∠B＝∠CC

10．如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝50°，则∠1的度数是(

)。A．30°

B．40°

C．50°

D．60°B

11．如图，直线a∥b，将Rt△BDC按如图所示的位置放置，∠DCB＝90°。若∠1＋∠B＝70°，则∠2的度数为(

)。A．20°

B．40°

C．30°

D．25°A12．如图①，△ABC的三个顶点和它内部的点P1把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；如图②，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，P2把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；如图③，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，P2，P3把△ABC分成7个互不重叠的小三角形……△ABC的三个顶点和它内部的点P1，P2，P3，…，Pn把△ABC分成________个互不重叠的小三角形。

①

②

③(2n＋1)13．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E。(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；解：∠1＝∠2。理由如下：因为CE⊥AB，BD⊥AC，所以在Rt△CAE和Rt△BAD中，有∠1＋∠CAE＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∠CAE＝∠BAD，所以∠1＝∠2。(2)如果∠A是钝角，(1)中的结论是否还成立？解：如图，因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以在Rt△CAE和Rt△BAD中，有∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°。又因为∠3＝∠4，所以∠1＝∠2，所以(1)中的结论仍然成立。课堂延伸·提升素养14．

【综合与实践】如图，把一块含30°角的三角尺AOB的直角顶点O放置在水平线l上，如图①所示。试回答下列问题：(1)填空：∠1＋∠2＝_______。

(2)若把三角尺AOB绕着点O按逆时针方向旋转，如图②。①填空：当∠1＝______时，AB∥l。理由：_______________________。内错角相等，两直线平行60°

90°②在三角尺AOB绕着点O按逆时针方向旋转的过程中，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，图②中是否存在相等的角(图②中所有的直角相等不加以考虑，不能再随意添加字母或作出其他线段)？若存在，试找出图中所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明。解：存在，相等的角有∠CAO＝∠BOD，∠AOC＝∠OBD。理由如下：因为AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，所以∠ACO＝∠BDO＝90°。所以∠COA＋∠CAO＝90°，∠BOD＋∠OBD＝90°。又因为∠AOB＝90°，所以∠COA＋∠BOD＝90°，所以∠CAO＝∠BOD，∠AOC＝∠OBD。第四章三角形认识三角形(第2课时)课堂精要·梳理内容课堂精练·发展能力课堂延伸·提升素养目录课堂精要·梳理内容1．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和_______第三边，三角形的任意两边之差________第三边。

2．有两边相等的三角形叫作________三角形；三边都相等的三角形叫作_______三角形。其中，____________是等腰三角形的一种特例。

3．三角形按边分类如下：等边三角形等边等腰小于大于课堂精练·发展能力基础巩固1．下列每组数据分别是三根小木棒的长度，其中能摆成三角形的是(

)。A．3cm，4cm，5cmB．7cm，8cm，15cmC．6cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cmA

2．若一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是(

)。A．2

B．3C．5D．83．若等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则它的周长为(

)。A．9cmB．12cm

C．15cmD．12cm或15cmC

C

4．选择长度分别为2cm，3cm，5cm和6cm的四根木棒中的三根，钉成一个三角形木架，可供选择的方法有________种。5．在△ABC中，已知a，b，c分别为△ABC的三边长，且a＝8，b＝5，则c的取值范围是____________。

6．已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是______________。

等边三角形3＜c＜132

7．已知三角形的三边长的比是2∶3∶4，且最长边与最短边长度之差是6，求三边的长。

强化提高10．已知三角形的三边长分别是3，8，x。若x的值为偶数，则x的值有(

)。A．6个

B．5个C．4个D．3个

D

11．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(

)。A．6

B．7C．8D．9C12．若a，b，c分别为三角形的三边长，且a，b满足|a－3|＋(b－2)2＝0，则c的取值范围是__________。

1＜c＜5解：水塔P应建在AD，BC的交点处，此时点P到4个村庄的距离之和最小。(图略)理由如下：任取一点P1(与点P不重合)，在△AP1D中，AP1＋DP1＞AD，在△BP1C中，BP1＋P1C

＞BC，所以AP1＋CP1＋BP1＋P1D＞AD＋BC＝PA＋PB＋PC＋PD，所以点P在AD与BC的交点处时，点P到4个村庄的距离之和最小。13．如图，有四个村庄A，B，C，D，现在要建造一座水塔P，水塔应建在什么位置，才能使它到4个村庄的距离之和最小？画出水塔的位置，并说明理由。14．已知△ABC的周长为48cm，最长边与最短边长度之差为14cm，第三边与最短边长度之和为25cm，求△ABC各边的长。解：设三角形的最长边的长度为acm，最短边的长度为ccm，第三边的长度为bcm，由已知条件可得a－c＝14，b＋c＝25，a＋b＋c＝48。所以a＝23，b＝16，c＝9。15．已知△ABC的三边长分别为4，9，x。(1)求x的取值范围；(2)当x为偶数时，求△ABC的周长；(3)若△ABC为等腰三角形，求x。解：(1)根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得9－4＜x＜9＋4，即5＜x＜13。(2)当x为偶数时，x为6或8或10或12。所以△ABC的周长为19或21或23或25。(3)若△ABC为等腰三角形，则x＝4或x＝9，当x＝4时，不符合三角形的三边关系，应舍去，所以x＝9。16．小明和小亮同时、同地外出郊游，如图，当小明到达A处时，右拐进入岔道，而小亮仍沿直线向前到B处，再到C处，当小亮到达C处时发现小明已到达C处，两人骑车速度一样，为什么小明会提前到达C处，你能说明原因吗？解：在△ABC中，根据两边之和大于第三边可得AB＋BC＞AC，所以小亮走的路程比小明更长，而两人骑车的速度一样，因此小明先到达C处。解：A→Q→B更短。理由如下：延长AQ交BP于点E(图略)。在△APE中，AP＋PE

＞AE，即AP＋PE

＞AQ＋QE。在△BEQ中，QE＋BE

＞BQ。所以AP＋PE＋QE＋BE

＞AQ＋QE＋BQ，即AP＋PB

＞AQ＋BQ，所以A→Q→B更短。课堂延伸·提升素养17．

【数学应用】湖边上有A，B两个村庄(如图)，从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B。试判断哪条路更短，并说明理由。第四章三角形认识三角形(第3课时)课堂精要·梳理内容课堂精练·发展能力课堂延伸·提升素养目录课堂精要·梳理内容1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作________，顶点和垂足之间的________叫作三角形的高线，简称三角形的高。

三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高都在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边。2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的_______，叫作三角形的中线。

三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的________。

三角形的________把三角形分为面积相等的两部分。

中线重心线段线段垂线3．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边________，这个角的顶点与交点之间的________叫作三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点。注意：角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段。线段相交课堂精练·发展能力基础巩固1．关于三角形的角平分线、中线和高，下列说法正确的是(

)。A．都是直线

B．都是射线C．都是线段

D．可以是射线或线段C

2．有下列说法：①三角形三条角平分线的交点可能在三角形内部，也可能在外部；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部；④直角三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点。其中正确的是________。(只填序号)

②④3．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADC的度数为________。

107°

4．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线。如果△CDE的面积为1，那么△ABC的面积为________。

45．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝________。

18°

6．把三角形铁皮ABC加工成如图所示的四边形ABDC形状的零件，∠A＝50°，且点D恰好是△ABC两条角平分线的交点，工人师傅量得∠BDC＝115°，则这个四边形零件_______。(填“不合格”或“合格”)合格7．如图，在△ABC中。(1)画出△ABC的角平分线AD；(2)画出△ABC的中线BE；(3)画出△ACD的边DC上的高AF。解：如图，AD，BE，AF即为所求。

8．如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12，F是AD和CE的交点。(1)求BC的长；(2)若∠BAC＝64°，∠BCA＝76°，求∠ACE，∠CAD和∠AFC的度数。解：因为∠BAC＝64°，∠BCA＝76°，所以∠ACE＝90°－∠BAC＝90°－64°＝26°，∠CAD＝90°－∠BCA＝90°－76°＝14°，所以∠AFC＝180°－∠ACE－∠CAD＝140°。强化提高9．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论不正确的是(

)。A．∠BAC＝70°