勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.2.会用勾股定理的逆定理判断直角三角形，会应用勾股定理及其逆定理解决问题任务一：理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系

活动1：下面有四组数分别是一个三角形的三边长a，b，c:①4、7、9;②5、12、13；③7、24、25;8、15、17.(1)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，看看它们是否都是直角三角形.（2）观察确定为直角三角形的每组数据，找出它们的三边在数量关系上有什么相同点，据此写出你的猜想.④345这个三角形三边有什么关系吗？32+42=52

画一画(1)下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位：cm)画三角形：

①2.5，6，6.5；

②4，7.5，8.5.(2)量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数.2.566.547.58.5(3)想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.这些三角形是直角三角形！命题2如果三角形的三边长

a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.猜想

如图，在四边形

ABCD

中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.求四边形ABCD

的面积.解：如图，连接

AC.∵∠B=90°，AB=20，BC

=15，∴AC2=AB2+BC2=202+152=625.∵AD2+CD2=242+72=625，∴AC2=AD2+CD2，∴△ADC

是直角三角形，且∠D

是直角.∴S四边形ABCD

=S△ABC

+S△ADC=AB·BC+AD·CD

=×20×15+×24×7=234.ABCD转化思想练习1.如果三条线段长

a，b，c

满足

a2=c2-b2，这三条线段

组成的三角形是不是直角三角形？为什么？解:

这三条线段组成的三角形是直角三角形.∵a2

=

c2-b2，∴a2

+

b2=

c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.证明：作Rt△A′B′C′使∠C′=90°，A′C′=AC=b，B′C′=BC=a，由勾股定理可得：A′B′²=A′C′²+B′C′²=b²+a²∵a²+b²=c²∴A′B′²=c²∴A′B′=AB=c在△ABC和△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°∴△ABC是直角三角形.归纳总结题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.例3:如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子,蚂蚁沿着表面从A到B需要爬行的最短路程又是多少呢？AB答:蚂蚁沿着表面爬行的最短路线是

cm.101010BCA解:展开图如图,在Rt△ABC中,∵AC＝20,BC＝10,∴AB＝AB10

利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形的方法如下：

1.排序：把三条线段按由小到大排列;

2.计算：看较小两条线段边的平方和是否等于最大线段的平方;

3.结论：判断能否构成直角三角形.（最长边所对应的角为直角）活动小结知识点拨：像3，4，5这样能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形有

，其中a，b，c是勾股数的有

.（填序号）①a=6，b=8，c=10；②a＝1.5，b＝2，c＝2.5.

练一练①②①知识梳理能够成为直角三角形三条边长的三个

，称为勾股数.如：3，4，5；7，24，25.正整数3.如果三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段

组成的三角形是不是直角三角形？为什么？解:

这三条线段组成的三角形是直角三角形.∵a2

=

c2-b2，∴a2

+

b2=

c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.4.说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立.其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立.如|-3|=|3|，但-3≠3.归纳总结一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.真命题真命题互逆命题勾股定理勾股定理的逆定理互逆定理例题练习判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a

15，b

8，c

17；(2)a

13，b

14，c

15.分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.(2)∵132

142

169

196

365，152225

∴132

142

152∴根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.解：(1)∵152

82

225

64

289，172289

∴152

82

172∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.

求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一点的线段就是最短路径长,以连接对称点与另一个点的线段为斜边,构造出直角三角形,再运用勾股定理求最短路径.归纳例5.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

。将军饮马问题已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1