实际问题与一次函数第3课时设计方案2025-2026学年人教版数学八年级下册

第3课时

利用一次函数设计方案23.4实际问题与一次函数素养目标灵活运用变量关系建立一次函数模型，并设计最佳方案解决相关实际问题，强化实际运用能力与从问题中获取关键信息，从而抽象出一次函数模型的能力．情境导入上节课我们学习了如何运用函数知识比较方案并作出选择，但如果方案不是指定的，需要自己制定，又该怎么做呢？探索新知A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县.运费(单位：元/吨)如下表所示：目的地出发地

C县D县A县4045B县3550问题1：C县和D县的化肥需要全部运往A县和B县吗?C县和D县的化肥能否满足A县和B县的需求?问题2：设从C县运往A县的化肥为x吨，则从C县运往B县、从D县运往A县、从D县运往B县的化肥分别为多少?问题3：各县之间的运费一样吗?请设计一种方案，能满足A县和B县的需求，并使得运费最低.解：设从C县运往A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为(110—x)吨，从D县运往A县的化肥为(100-x)吨，从D县运往B县的化肥为50-(100-x)=(x-50)吨.依题意,得总运费w=40x+35(110-x)+45(100-x)+50(x-50)=10x+5850.若A县的化肥全从C县运进，则x=100，若D县的化肥全运往A县,则x=100-50=50,∴自变量x的取值范围是50≤x≤100.ω与x成一次函数，k=10>0，w随x的增大而增大，∵50≤x≤100,∴当x=50时,w最小.W最小=10×50+5850=6350.∴从C县运往A县50吨化肥，从C县运往B县60吨化肥，从D县运往A县50吨化肥，此时运费最低。典型例题客车种类载客量/人租金/元甲45400乙30280某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.（1）共需租多少辆客车？（2）给出最节省费用的租车方案.①要保证240名师生乘车都有座位；②要使每辆客车上至少有1名教师.(教材第133~134页探究2)客车种类载客量/人租金/元甲45400乙30280问题1：影响租车费用的因素有哪些？甲、乙两种车所租辆数.问题2：客车总数又与哪些因素有关？与乘车人数有关.问题3：如何由乘车人数确定客车总数呢？①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6．②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6．综合起来可知客车总数为6辆．客车种类载客量/人租金/元甲45400乙30280问题4：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关．如果租用甲种客车x

辆，你能求出租车费用吗？解：设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车(6－x)辆．设租车费用为y元，根据表格可知：y=400x+280(6－x)，化简，得y=120x+1680．客车种类载客量/人租金/元甲45400乙30280问题5：如何确定y=120x+1680中x的取值？为使240名师生乘车都有座位，则45x+30(6－x)≥240；为使租车费用不超过2300元，则120x+1680≤2300.由45x+30(6－x)≥240，120x+1680≤2300，得4≤

x≤.

综合起来可知x的取值为4或5.问题6：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由．方案一：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆；方案二：租用甲种客车5辆，乙种客车1辆；对于y=120x+1680，因为120＞0，所以y随x的增大而增大，反映到实际即为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．所以为节省费用应选择方案一，即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，此时的租车费用为400×4+280×2=2160(元)．解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.归纳结论为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下。(1)若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包?(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品?变式训练

巩固练习某文具店购进A，B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示.型号进价/元售价/元A2232B1925为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2000元的资金采购这两种计算器共100台，若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少.选自教材第134页练习解：设购进A型号计算器x

台，利润为y元，则购进B型号计算器(100－x)台.由题意，得y随x

的增大而增大.y=(32－22)x+(25－19)(100－x)=4x+600.x在取值范围内取最大值时，y有最大值.型号进价/元售价/元A2232B1925因为采购资金不超过2000元，

又x

为整数，所以当x=33时，y取最大值，最大值为4×33+600=732.答：利润最大的进货方案为购进A型号计算器33台，B型号计算器67台，最大利润为732元.型号进价/元售价/元A2232B1925课堂检测某班计划采购A，B两种型号的羽毛球拍，已知购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元.(1)求A，B两种型号羽毛球拍的单价；(2)该班准备采购A，B两种型号的羽毛球拍共20副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，并求出最少费用.

课堂小结实际问题(多个)函数模型设计方案限制条件函数增减性抽象构造课后作业某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两