离散型随机变量及其分布列课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2离散型随机变量及其分布列第六章

计数原理情境引入学校门口的文具店最近推出了“高考加油盲盒”，里面有不同的奖品——笔记本、书签、定制笔，还有谢谢参与的安慰奖，大家有没有抽过类似的盲盒？假设盲盒的奖品设置是固定的：10%的概率抽到定制笔(最高奖)，30%的概率抽到笔记本，40%的概率抽到书签，20%的概率是谢谢参与。现在请大家思考一个问题：如果我们用一个“量”来表示“一次抽奖抽到的奖品等级”，这个量有什么特点呢？凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验.①

试验可以在相同的情形下重复进行；②

试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③

每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却

不能肯定这次试验会出现哪一个结果.★

试验：★

随机试验：一个试验如果满足下述条件：我们就称这样的试验是一个随机试验.复习回顾新知讲解1.

某人射击一次

一、随机试验出现的结果可以用数字0、1、2、…

、10，这11个数表示新知讲解出现的结果可以用数字1、2、3、4、5、6来表示2.

抛掷一枚骰子

，

出现的点数

一、随机试验新知讲解3.

工厂生产的一批产品里有次品和正品，随机抽取一件产品，

抽出的结果是否也可以用数字来表示呢？01抽到次品

抽到正品

一、随机试验新知讲解掷骰子试验的结果点数为1点数为2点数为3点数为4点数为5点数为6数字123456抽产品试验的结果抽到次品抽到正品数字01射击环数试验的结果命中0环命中1环命中2环……命中9环命中10环数字012……910概念生成定义

一般地，对于随机试验样本空间

Ω

中的每个样本点ω，都有唯一的实数

X(ω)与之对应，我们称

X

为随机变量。

二、随机变量解读

①在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示；②在这个对应关系下，数字随着实验结果的变化而变化

.

表示

通常用大写英文字母表示随机变量，例如

X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如

x，y，z．典例剖析例1

在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，设可能含有的次品件数

X，问：X是否是随机变量？如果是，请写出取值结果。X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量。解析：表示抽到

2件次品表示抽到

0件次品表示抽到0件或1件或2件次品“抽到3件以上次品”用

X怎么表示？样本空间Ω＝{0，1，2，3，4}.{X＝2}在这里表示什么事件？{X＝0}在这里表示什么事件？{X＜3}在这里表示什么事件？{X≥3}变式训练练习1下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；(2)某足球队在5次点球中射进的球数；(3)任意抽取一瓶标有1500ml的饮料，其实际含量与规定含量之差.►课本P60(1)设点数之和为X，X的可能取值为2，3，‧‧‧，12.{X＝k}表示掷出

的点数之和为k.解析：(2)设进球个数为Y，Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.{Y＝k}表示射进k个球.(3)设误差为Z，则Z∈R，不是离散型随机变量.(1)(2)中的随机变量可以一一列出，称为离散型随机变量；(3)中的随机变量是连续不断的实数，称为连续型随机变量。定义

随机变量的可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量。解读

如掷骰子的试验结果中，随机变量X的可能取值为0，1，2，3共有4

个值；城市每天火警的次数中，随机变量

Y的可能取值为

1，2，3，…，有无限个取值，但可以一一列举出来.概念生成

三、离散型随机变量现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子，例如种子含水量的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命

X2等等，这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列出的随机变量，称为连续型随机变量.知识应用有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X．上述问题中的

X是离散型随机变量的是(

)A．①②③④

B．②③④

C．①③④

D．①②④C概念理解本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题.例如，掷一枚质地均匀的骰子，X

表示掷出的点数，则事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}.新知探究引例

掷一枚骰子，所得点数为

X，则

X可取哪些数字？X

取不同的值时，其概率P分别是多少？你能用表格表示X

与P

的对应关系吗？X

可能的取值有1，2，3，4，5，6列成表格的形式：X123456P随机变量X的概率分布列解答若离散型随机变量

X的可能取值为：x1，x2

，…，xi，…，xn，则称

X

取每一个值

xi

(i＝1，

2，…，n)的概率P(X＝xi)＝Pi，i＝1，2，…，n为

X

的概率分布列，简称分布列。Xx1x2…xi…PP1P2…Pi…概念生成

四、离散型随机变量的分布列1.表格法：2.图象法：PX1023456概念理解根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：①Pi≥0，i＝1，2，…，n；②P1＋P2＋

…

＋Pn

＝1．P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝P({X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6})＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率。例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得(1)事件“掷出的点数不大于2”的概率为(2)事件“掷出偶数点”的概率为典例剖析例2

下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()D变式训练练习2某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为X0123P0.20.30.150.45试说明该同学的计算结果是否正确？因为0.2＋0.3＋0.15＋0.45＝1.1＞1，所以不正确.解析：►课本P61变式训练Xx1x2Pp1p2练习3若随机变量X的概率分布列如表，且p1＝

p2，则

p1等于(

)由

p1＋p2＝1且

p2＝2p1，可解得p1＝

.B解析：典例剖析例3

一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求

X的分布列.解析：依题意得，X的分布列为：P(X＝0)＝0.95，P(X＝1)＝0.05.用表格表示如下：X01P0.950.05两点分布►课本P59概念生成

五、两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用

A表示“成功”，

表示“失败”，定义如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么

X的分布列如下表所示：X01P1－pp我们称

X服从两点分布或0-1分布.像奖券是否中奖、新生婴儿的性别、投篮是否命中等，都可以用两点分布.变式训练练习4篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的分布列.►课本P60设罚球得分为X，{X＝0}＝“罚球未命中”，{X＝1}＝“罚球命中”则

X的分布列为：用表格表示如下：X01P0.30.7解析：P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.典例剖析例4

某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示.等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4)►课本P59等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030解析：由题意得，X的可能取值为1，2，3，4，5，则X的分布列为X的分布列为：X12345PP(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)P(X＝1)＝

，P(X＝2)＝

，P(X＝3)＝

，P(X＝4)＝

，P(X＝5)＝

，典例剖析例5

一批笔记本电脑共有

10

台，其中

A

品牌

3

台，B

品牌

7

台。如果从中随机挑选

2

台，求这

2

台电脑中

A

品牌台数的分布列.解析：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2.根据古典概型的知识，可得

X的分布列为►课本P60用表格表示X的分布列，如下表所示，X012P方法归纳求离散型随机变量分布列的基本步骤：定值

求概率

列表1.根据问题设立一个随机变量

X，并写出随机变量的所有可能取值.2.利用古典概型计算每一个取值对应的概率P(X＝xi)＝pi3.写出X的分布列.变式训练►课本P60练习5抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列.由题意得，正面向上的次数X的可能取值为0，1，2用表格表示如下：∴

X的分布列为由于抛掷一枚硬币2次可能出现的结果有正正，正反，反正，反反.X012P解析：P(X＝0)＝

，P(X＝1)＝

，P(X＝2)＝

，变式训练►课本P61练习6老师要从

10

篇课文中随机抽

3

篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其