一元线性回归模型参数的最小二乘估计课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计

复习引入1.样本相关系数：2.相关系数的性质：①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关.②|r|≤1；③当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上.

高尔顿，1889年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现：身高较高的父母，他们的孩子也比较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身高较矮的父母，他们的孩子也比较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高．——高尔顿把这种后代身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”.

后来，人们把有一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为“回归方法”.情境引入儿子身高/cm父亲身高/cm如果数据的散点图趋势近似一条直线，就可以用线性回归方程来拟合这组数据，并用来预报或决策．回归方程：（平均数一定在回归直线上）

那我们如何去求一元线性回归方程呢？

【例1】已知x，y取值如表：

，如果y与x线性相关，求y与x的线性回归方程．x234y645例题讲解【例2】已知x，y取值如表：x0123y1357如果y与x线性相关，则y与x的线性回归直线必过点

．【例3】某地近十年粮食需求量逐年上升，下表是不分统计数据：第x年12345需求量y36578（1）利用所给的数据求两变量之间的回归方程．（2）预测该地第6年的粮食需求量.【例4】某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程

；2新知2残差

儿子身高/cm父亲身高/cm残差图残差图：作图时纵坐标

为残差,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．

好的回归方程对应的残差散点图应是均匀地分布在横轴两侧的带状区域内，且带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，预报效果越好．越好越窄2新知2残差2新知3决定系数和线性相关系数的关系

（1）r∈[0.75,1],表明两个变量正相关很强；r∈[-1，-0.75],表明两个变量负相关很强；r∈[-0.25,0.25],表明两个变量正相关很强；（2）

0≤R

2≤1

R

2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；

R

2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.学以致用例1判断下列正误：

解：经验回归方程前要进行相关性检验；利用经验回归方程求出的值是预测值；

R2越大，线性回归模型的拟合效果越好。(1).求经验回归方程前可以不进行相关性检验.(

)(2).在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.(

)(3).利用经验回归方程求出的值是准确值.(

)(4).残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好.(

)(5).R2越小，线性回归模型的拟合效果越好.(

)√√×××

123456

021334

学以致用解：(1)根据表中数据，作出散点图如下.

学以致用学以致用(2)列表如下：

学以致用例3对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（

）解：用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故选A.A学以致用例4甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：哪位同学建立的回归模型拟合效果最好（

）A.甲