浙江省精诚联盟2026届高三下学期第二次模拟练习数学试题 含解析

高三数学学科练习考生须知：本试卷共4页，满分分，考试时间分钟.答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分85分在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知复数，，则复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由复数除法求，再由虚部概念确定答案.【详解】，所以复数的虚部为，故选A.2.已知全集为，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】由题，，所以.3.已知且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件第1页/共18页C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】因为，由，所以，故，充分性成立，由，得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.4.已知函数若，则实数（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】当时，，即解得或当时，，即，，方程无实数解，综上.5.从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（）A.13个B.15个C.16个D.18个【答案】A【解析】【详解】满足条件的3位数可由或或或构成，由构成的偶数有个；由构成的偶数有个；由构成的偶数有个；由构成的偶数有个.故共有个.6.已知三棱锥的外接球的半径为2，底面是边长为3的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为（）第2页/共18页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求得的外接圆半径，结合三棱锥的高建立勾股关系，进而可求三棱锥的体积.【详解】的外接圆半径，又三棱锥的外接球半径，设该三棱锥的高为，所以，即，得，所以三棱锥的体积.7.已知，则的最小值为（）A.B.C.5D.9【答案】B【解析】【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，第3页/共18页所以的最小值为.8.记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或直角三角形【答案】C【解析】【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状.【详解】因为，由正弦定理得，又，故，由余弦定理得，故，得，所以，得，所以，或，，所以为钝角三角形.36分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.，D.的图象关于点对称第4页/共18页【答案】BCD【解析】【详解】由题意得，即，因为，所以，A错误；因为，所以，即，解得，因为，所以，B正确；因为的最小正周期为，所以，又即，解得，，C正确；由上可得，令，得，所以的对称中心为，取即得的图象关于点对称，D正确.10.已知双曲线：，，为的左顶点，过点且与直线垂直的直线与轴相交于点.，为双曲线上关于坐标原点对称的两点（点，的倾斜角分别为，.则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率B.直线与双曲线有两个公共点C.D.【答案】ACD【解析】【详解】对于选项A，由题可知，易得直线：，则，第5页/共18页设坐标原点为，则，即，又，代入整理得，即，A正确；对于选项B，因为，可得，所以直线：，与的渐近线平行；所以直线与双曲线有且仅有一个公共点，B错误；对于选项C，因为，设，则，又，当时，取得最小值，所以，C正确；对于选项D，由双曲线的对称性得，则，，因为，由，可得，可知，所以，因为点在第一象限，所以，因为为左顶点，所以，所以，故，所以，即，D正确.第6页/共18页已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（）A.B.函数为奇函数C.函数的图象关于直线对称D.【答案】ABD【解析】【分析】通过变量替换转化题干给出的两个恒成立关系式，结合赋值法、函数奇偶性与对称性判定规则、周期推导及数列求和方法逐一判断选项.A和得，，联立解得，A正确；对于B，由得，所以函数的图象关于点对称，故函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，B正确；对于C，由得，故，则函数的图象关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，C错误；对于D，因为，所以，即，所以，，故，D正确.【点睛】方法点睛：解决抽象函数性质问题的核心是通过合理的变量替换，将题干给出的恒等式转化为目第7页/共18页标函数对应的性质关系，结合赋值法推导特殊点函数值，利用对称性、奇偶性、周期性的判定规则逐一验证结论.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.已知为单位向量，若向量在向量方向上的投影向量为，则________.【答案】##【解析】【详解】为单位向量，，向量在向量方向上的投影向量为，.13.已知，则________.【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方和的关系，将转化为关于的式子，解出的值，进而求出的值.【详解】解：由得，分子分母同时除以得，所以，故，且，解得，所以.14.个，每个小球除颜色外完全相同，甲先从盒子中随机摸取一个小球，如果摸到的是红球，则甲直接获胜，若摸到其他颜色的小球，记其颜色为后，放回盒子，然后从乙开始轮流有放回地摸取小球，直至任意一第8页/共18页人摸出红球或颜色为的小球，该游戏结束.若结束时摸出的是红球，则乙获胜；若结束时摸出的是颜色为.如果甲在第整数的最大值为________.（参考数据：取，.）【答案】4【解析】【分析】先求出时的通项公式，再令求的最大值即可.【详解】对于，，满足条件，当时，，令，得，不等式两边取常用对数得，即，解得，所以正整数的最大值为4.四、解答题（本大题共5小题，共分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前项和为，，且对，.（1）求；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）先根据已知条件化简递推公式，再根据累乘法求出通项公式；（2）由（1）可知数列为等差数列，前项和为，由裂项相消求和即可得出证明.【小问1详解】1）由题意得①，第9页/共18页当时，②，联立①②，解得，又，当时，，，，，由累乘可得，所以，又符合上式，所以.【小问2详解】证明：由（1）知数列为等差数列，则，所以，故，因为，所以得证.16.效率.某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间（单位：h）对睡眠质量的影响，对100位志愿者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并统计得到了如下表格：轻度睡眠障碍人数12312重度睡眠障碍人数43644睡眠质量良好人数252554总人数3030201010（1100人平均每天使用电子产品时间的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值第10页/共18页（2）从这100人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间在内的概率；（34小时为超标.值的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.平均每天使用电子产品的时间睡眠质量合计超标不超标良好障碍（包括轻度和重度）合计100附：，0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）3.8小时（2）（3）表格见解析，认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.【解析】【小问1详解】设这100人平均每天使用电子产品时间的估计值为，则，所以这100人平均每天使用电子产品时间的估计值为3.8小时.【小问2详解】设：此人轻度睡眠障碍；：此人平均每天使用电子产品的时间在内，第11页/共18页则，，所以.【小问3详解】由表中数据得列联表如下：平均每天使用电子产品的时间睡眠质量合计超标不超标良好205070201030合计4060100零假设为：睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间无关，根据列联表中的数据，计算得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.17.为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.第12页/共18页【解析】1）根据线面垂直的性质定理证明线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）根据几何体的性质建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标和平面的法向量，根据面面角的向量求法，求出面面夹角的余弦值即可.【小问1详解】因为和均是边长为2的正三角形，为的中点，所以，又因为为的中点，所以，因为，所以，因为，，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面.【小问2详解】由（1）知平面，所以，所以，因为，，，所以平面，所以，取中点，连接，则三条直线，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得，因为，故，得到，，所以，，，，设平面的一个法向量为，第13页/共18页则，即，令，得，，所以，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知抛物线：的焦点为，的外接圆半径为.（1）求的方程；（2）已知点，为上异于，的点，分别以，，为切点作的切线，，，且直线与交于点，直线与线段，分别交于点，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）8.【解析】【分析】(1)由抛物线的标准形式先确定焦点的坐标，结合、两点的已知坐标，利用正弦定理建立关于的方程，求解得到的取值即可确定抛物线的标准方程.(2)结合(1)中求得的值确定、与的交点的坐标、过点的切线与线段、的交点、的坐标，将的面积转化为关于点坐标参数的函数，再借助函数单调性或基本不等式求解面积的最大值.【小问1详解】第14页/共18页由题，，，，由正弦定理得的外接圆半径，解得，所以的方程为.【小问2详解】由（1）知，，设直线：，与抛物线方程联立，得，则，得，所以：，同理可得：，联立与的方程，得，设，直线：，由，得，由得或，当时，直线：，与直线重合，此时，点与点重合，不合题意，舍去，当时，直线：，即，第15页/共18页与直线：联立可得，点到直线的距离，又，所以，因为，所以当时，取得最大值8，所以面积的最大值为8.19.已知函数的导函数为.（1）求函数的单调区间；（2）试判断函数在上的极值点个数；（3）已知，，记，，若且，证明：.【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为（2）（3）证明见解析【解析】1）求导后，根据的正负即可确定的单调区间；（2）对不断求导，直到可以判断导函数正负为止，结合零点存在定理可最终推导说明在上的正负，进而确定单调性，根据极值点定义可得结论；（3）根据（2）中结论可得当时，，则可证；根据的单调性，通过构造函数，结合导数和最值可证得，由此可证得结论.【小问1详解】第16页/共18页由题意知：，当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为.【小问2详解】，，令，则，