北师大版九年级上册数学第四章测试题

引言亲爱的同学们，第四章《图形的相似》的学习已告一段落。相似是几何世界中一个非常重要的概念，它不仅揭示了图形之间的数量关系与位置关系，也为我们解决实际问题提供了强大的工具。这份测试题旨在帮助你回顾和巩固本章所学的核心知识，检验你的理解程度与应用能力。请大家认真审题，仔细作答，相信你一定能出色完成！测试卷考试时间：120分钟满分：120分注意事项：1.本试卷分选择题、填空题和解答题三部分。2.答题前，务必将自己的姓名、班级填写清楚。3.请将答案写在答题卡或答题纸的对应位置上，在本试卷上作答无效。---一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中，不是相似图形的是()A.两个半径不等的圆B.两个边长不等的正方形C.两个腰长不等的等腰直角三角形D.两个顶角不等的等腰三角形2.若线段a,b,c,d成比例，其中a=2,b=3,c=4，则d的值为()A.5B.6C.7D.83.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，则它们的周长比为()A.2:3B.3:2C.4:9D.9:44.如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线AC分别交l₁,l₂,l₃于点A,B,C，直线DF分别交l₁,l₂,l₃于点D,E,F。若AB/BC=1/2，则DE/EF的值为()A.1/3B.1/2C.2/3D.1*(此处应有示意图，为三条平行横线被两条直线所截)*5.下列条件中，不能判定△ABC与△A'B'C'相似的是()A.∠A=∠A'，∠B=∠B'B.AB/A'B'=AC/A'C'，∠A=∠A'C.AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'D.AB/A'B'=AC/A'C'，∠B=∠B'6.若点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列比例式成立的是()A.AB/AC=AC/BCB.BC/AC=AB/BCC.AC/BC=BC/ABD.AC/AB=AB/BC7.两个相似三角形的面积比为4:9，则它们的对应中线的比为()A.2:3B.4:9C.√2:√3D.16:818.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长为()A.1.5B.2C.2.5D.3*(此处应有示意图，△ABC中，DE为平行于BC的线段，交AB于D，交AC于E)*9.下列说法正确的是()A.任意两个等腰三角形都相似B.任意两个菱形都相似C.位似图形一定是相似图形D.相似图形一定是位似图形10.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网不远的位置。已知网高为h，击球点到网的水平距离为d，击球点的高度为H。若不计空气阻力，则球的落地点到网的水平距离与下列哪个因素无关()A.hB.HC.dD.球的质量*(此处应有示意图，简化的网球击球过网示意图)*---二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11.若a/b=3/5，则(a+b)/b=_________。12.已知△ABC∽△DEF，相似比为3:4，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为_________。13.已知线段a=4cm，b=9cm，线段c是a，b的比例中项，则c=_________cm。14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D。若AD=4，DB=9，则CD=_________。*(此处应有示意图，Rt△ABC，∠C为直角，CD为斜边上的高)*15.两个位似图形的位似中心在原点，已知一个图形上的点A(1,2)与另一个图形上的对应点A'的坐标为(-2,-4)，则它们的位似比为_________。16.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，其底与腰的比值为黄金比。若一个黄金三角形的腰长为1，则其底边长为_________。（结果保留根号形式或用黄金比φ表示）17.如图，△ABC与△ADE是位似图形，且位似中心为点A。若AE:AC=1:2，则△ADE与△ABC的面积比为_________。*(此处应有示意图，两个以A为顶点的相似三角形，ADE在ABC内部或外部)*18.如图，小明想利用标杆测量一棵大树的高度。他将标杆垂直立在地面上，标杆高为2m，测得标杆底部到大树底部的距离为15m，小明眼睛到地面的高度为1.6m，当他站在标杆和大树之间，眼睛通过标杆顶端刚好看到大树顶端时，他到标杆底部的距离为2m。则大树的高度为_________m。*(此处应有示意图，人、标杆、大树在同一直线上，视线经过标杆顶和大树顶)*---三、解答题(本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本题满分10分)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。求证：AD/AB=AE/AC=DE/BC。*(此处应有示意图，△ABC中DE平行于BC)*20.(本题满分10分)如图，已知△ABC∽△AED，其中∠B=∠AED。(1)写出图中所有成比例的线段；(2)若AB=5，AE=3，AD=4，求AC的长。*(此处应有示意图，△ABC和△AED，共享一个角A或有公共部分)*21.(本题满分10分)已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO/OC=BO/OD。求证：△AOB∽△COD。*(此处应有示意图，四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点)*22.(本题满分12分)如图，某小区有一个矩形草坪ABCD，长AB=50米，宽BC=30米。为了美化环境，小区管理处决定在草坪内修建两条互相垂直的小路EF和GH，使得E、F分别在边AB、CD上，G、H分别在边AD、BC上，并且小路EF和GH交于点O，点O是矩形的中心。已知小路EF的宽度忽略不计，GH的宽度也忽略不计，且EO:OF=2:3。(1)求小路EF的长度；(2)若GH与EF的夹角为60°，求小路GH的长度。*(此处应有示意图，矩形ABCD，中心O，两条垂直相交于O的线段EF、GH)*23.(本题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒(0<t<4)。(1)用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度；(2)在P、Q运动过程中，△PCQ与△ACB能否相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。*(此处应有示意图，Rt△ABC，直角在C，P在AC上，Q在CB上)*24.(本题满分12分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm。点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。(1)求证：DE+DF是一个定值；(2)设BD=xcm，用含x的代数式表示DE的长；(3)在点D运动过程中，△BDE与△CDF能否相似？若能，求出BD的长；若不能，请说明理由。*(此处应有示意图，等腰△ABC，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC)*---参考答案与提示一、选择题1.D(提示：顶角不等，底角也不等，形状不同)2.B(提示：ad=bc)3.A(提示：相似三角形周长比等于相似比)4.B(提示：平行线分线段成比例定理)5.D(提示：SSA不总能判定相似)6.A(提示：黄金分割点定义)7.A(提示：面积比等于相似比的平方，中线比等于相似比)8.A(提示：AD/AB=AE/AC)9.C(提示：位似是特殊的相似)10.D(提示：根据相似三角形性质，与质量无关)二、填空题11.8/5(或1.6)(提示：合比性质)12.24(提示：周长比等于相似比3:4)13.6(提示：c²=ab，c>0)14.6(提示：射影定理CD²=AD·DB)15.1:2(提示：对应点坐标比的绝对值，注意顺序)16.(√5-1)/2或φ(提示：黄金比φ=(√5-1)/2≈0.618)17.1:4(提示：面积比等于相似比的平方)18.8.6(提示：利用两次相似或解直角三角形)三、解答题19.证明：（提示：通过证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例得出结论。可作辅助线或利用平行线分线段成比例定理的推论。）20.(1)成比例线段：AB/AE=AC/AD=BC/ED(具体根据图形确定对应关系)；(2)AC=20/3(提示：由相似三角形对应边成比例AB/AE=AC/AD)。21.证明：（提示：已知两边对应成比例，且夹角相等（对顶角），根据SAS相似判定定理。）22.(1)EF=30米(提示：O为中心，EO+OF=BC或AB，根据比例求出EO和OF)；(2)GH=20√3米(提示：过O作垂线，构造直角三角形，利用60°角的三角函数或勾股定理)。23.(1)PC=6-t，CQ=2t；(2)能，t=12/7或t=18/11(提示：分两种情况，△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA)。24.(1)证明：连接AD，利用面积法，S△ABC=S△ABD+S△ACD，可求出DE+DF=9.6cm(或48/5cm)；(2)DE=(4/5)x(提示：过A作BC垂线，求出高，再利用△BDE∽△BCA)；(3)能，BD=12/5cm或BD=12cm(BD=12cm时D与C重合，舍去)，所以BD=12/5cm(提示：分∠BDE=∠C和∠BDE=∠CDF两种情况讨论，后者结合等腰三角形性质)。---测试卷说明本套测试题全面覆盖了北师大版九年级上册数学第四章《图形的相似》的主要知识点，包括相似图形的概念与性质、比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形以及相似的应用。试题难度由易到难，既有基础概念的辨析，也有综合运用的拔高，旨在全面考察学生的知识掌握程度和解决问