新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题

新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题*绝对值的性质：*任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。*互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|。*若|a|=|b|，则a=b或a=-b。*利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如：比较-3和-5的大小。因为|-3|=3，|-5|=5，3<5，所以-3>-5。二、有理数的运算1.有理数的加法：掌握“符号”与“绝对值”*有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+5)+(+3)=+(5+3)=8；(-4)+(-2)=-(4+2)=-6。2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。例如：(+7)+(-2)=+(7-2)=5；(-8)+(+3)=-(8-3)=-5；(+5)+(-5)=0。3.一个数同0相加，仍得这个数。例如：(-9)+0=-9；0+5=5。*有理数加法的运算律：1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a。2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)。运算律的应用可以使运算简便，例如：互为相反数的先加；同分母分数先加；能凑整的先加。2.有理数的减法：转化为加法*有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)*注意：减法运算统一成加法运算后，就可以运用加法的运算律了。3.有理数的乘法：符号是关键*有理数乘法法则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。2.任何数同0相乘，都得0。例如：(+4)×(+3)=+12；(-5)×(-2)=+10；(-6)×(+2)=-12；7×0=0。*多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。然后把各个因数的绝对值相乘。如果其中有一个因数为0，则积为0。例如：(-1)×(-2)×(-3)=-6(三个负因数，积为负)；(-1)×(-2)×3×(-4)=-24(三个负因数，积为负)；(-1)×0×2=0。*有理数乘法的运算律：1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b=b×a。2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a×b)×c=a×(b×c)。3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a×(b+c)=a×b+a×c。运算律同样可以简化运算。4.有理数的除法：转化为乘法*有理数除法法则（两种形式）：1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。*注意：0不能作除数。5.有理数的乘方：相同因数的乘积*乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如：2³表示3个2相乘，即2×2×2，底数是2，指数是3，结果是8。*乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。例如：(-2)⁴=16(偶次幂为正)；(-3)³=-27(奇次幂为负)；5²=25；0⁵=0。*注意：*(-a)ⁿ与-aⁿ的区别：(-a)ⁿ是a的相反数的n次幂；-aⁿ是a的n次幂的相反数。例如：(-2)²=(-2)×(-2)=4；-2²=-(2×2)=-4。*任何非零数的0次幂等于1（这是一种规定，初中阶段暂不深入）。6.有理数的混合运算：明确顺序是前提有理数的混合运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。在进行混合运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理运用运算律，能简化运算的要简化运算。三、典型例题解析（一）概念辨析与基本运算例1：把下列各数填入相应的集合内：-3，0，+5，-3.14，8/3，-1/2，6.7，2023，-1.414，-2/7正数集合：{...}负数集合：{...}整数集合：{...}分数集合：{...}有理数集合：{...}分析与解答：正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数，整数和分数统称有理数。正数集合：{+5，8/3，6.7，2023，...}负数集合：{-3，-3.14，-1/2，-1.414，-2/7，...}整数集合：{-3，0，+5，2023，...}分数集合：{-3.14，8/3，-1/2，6.7，-1.414，-2/7，...}(注意：有限小数和无限循环小数都属于分数)有理数集合：{-3，0，+5，-3.14，8/3，-1/2，6.7，2023，-1.414，-2/7，...}(所有给出的数都是有理数)点评：本题主要考查有理数的分类，关键是明确各类数的定义。注意小数与分数的关系。例2：在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号连接起来：3，-4，-1.5，2.5，0，-2分析与解答：1.画数轴：先画一条直线，确定原点、正方向（向右）和适当的单位长度。2.描点：*3在原点右边3个单位长度处；*-4在原点左边4个单位长度处；*-1.5在原点左边1.5个单位长度处；*2.5在原点右边2.5个单位长度处；*0在原点处；*-2在原点左边2个单位长度处。3.比较大小：根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的原则。从小到大的顺序为：-4<-2<-1.5<0<2.5<3。点评：数轴是直观比较数的大小的工具，也是理解相反数、绝对值几何意义的基础。例3：求下列各数的绝对值和相反数：(1)5(2)-3.2(3)0(4)-π(π虽然不是有理数，但可讨论其绝对值和相反数)分析与解答：(1)5的绝对值是|5|=5；5的相反数是-5。(2)-3.2的绝对值是|-3.2|=3.2；-3.2的相反数是3.2。(3)0的绝对值是|0|=0；0的相反数是0。(4)-π的绝对值是|-π|=π；-π的相反数是π。点评：求一个数的绝对值要紧扣定义，求一个数的相反数就是在这个数前面加上“-”号（然后化简）。例4：计算：(1)(-12)+(+8)+(-9)(2)(-20)-(+5)-(-5)-(-12)(3)(-3/4)×(-8/9)÷(-2/3)(4)(-2)³-(-3)×[(-4)²+2]-(-3)²÷(-2)分析与解答：(1)(-12)+(+8)+(-9)=[(-12)+(-9)]+(+8)（加法结合律，同号先加）=(-21)+8=-13(2)(-20)-(+5)-(-5)-(-12)=(-20)+(-5)+(+5)+(+12)（减法法则，减去一个数等于加它的相反数）=(-20)+[(-5)+(+5)]+12（加法结合律，互为相反数的先加）=(