单调性与最大(小)值-提高-高中数学巩固练习

【巩固练习】

1.定义域R上的函数/(工)对任意两个不相等的实数。/,总有‘⑷_\")>()，则必有()

a-b

A.函数/(x)先增后减

B.函数/(x)先减后增

C.函数是R上的增函数

D.函数八刈是R上的减函数

2.在区间(-8,0)上为增函数的是()

A.y=}B.y=----+2

1-x

C.y=-x2-2x-lD.y=\+x2

3.函数/(x)=「r(x-2)的一个单调递减区间可以是()

A.[-2,0]B.[0,2]C.[l,31D.(0,+oo)

4.(2016四川广元二模)己知=+是定义在上的减函数，则实数。的取

-X+1,X>1

值范围是()

A.[；,+8)B.[y,1)C.(-CO,1)D.y,；]U(；,+8)

5.函数)，=Jx+l-Jx-l的值域为()

A.(-oo,V2]B.(0,V2]

C.[V2,+co)D.[(),+CO|

6.设。>0,函数/(x)=o?+饭+c的图象关于直线x=l对称，则/⑴,/(、丘),/(百)之间的大

小关系是()

A.f(l)<f(y/2)<f(V3)B./(V3)</(V2)</(I)

C./(I)</(V3)</(V2)D./(V2)</(V3)</(I)

-x+3a,x<0

7.(2017三亚月考)函数/(©=/,，是R上的减函数，则a的取值范围是()

-*+1)2+2,%20

112

A.(0,1)B.[—§,+8)C.(0JD.(0J

8.在函数），=/0）的图象上任取两点4内，,）,8（元,），2），称包二位二工为函数），=「。）从阳到

AKX2-xi

占之间的平均变化率.设函数/a）=Y+x-1,则此函数从占到占之间的平均变化率为（）.

A.（x2-X]）（x）+x2+1）B.X]+x24-1C.（x2-）（x）+x2-1）D.玉+/-1

9.函数），=Jf-3x+2的单调递增区间为（）

一3、（3~]r1

A.—,+ooB.<x>C.〔2,+℃>）D.^—00,lj

10.函数y=2x+dx+l的值域是.

11.（2016春天津静海县期末）函数与g（x）=lz竺在区间（1,2）上都单调递

x+1

减，则实数。的取值范围是________.

12.函数/（戈）的定义域为A,若内,9£A且/（N）=/（毛）时总有玉=W，则称/'"）为单函数.例

如，函数/。）=21+1（工£/?）是单函数.下列命题：

①函数/*）=/*£R）是单函数；

②若/（X）为单函数，X],七£4且工[W/，则/（X）w/（X2）；

③若f：A-B为单函数，则对于任意〃它至多有一个原象；

④函数/（X）在某区间上具有单调性，则/（幻一定是单函数.

其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）

13.函数/（公的定义域为0,若对于任意用,为当王〈电时，都有/（为）（/（々），则称函数

在。上为非减函数.

设函数/（x）在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：

X1

①/（0）=0；②/（）=/*•）；③"—乃=1_/。）.

JJ

则心+心=.

5o

14.已知函数/（x）的定义域为（一1,1）,且同时满足下列条件：（1）/（—JV）=—/（x）；（2）/（x）在定义

域上单调递减；（3）城1一。）+域1一酎）<0,求a的取值范围.

15.(2017红岗区期末)已知函数/")=0?―2依+2+。(a<0),若f(x)在区间⑵3］上有最

大值1.

(1)求a的值；

(2)若g(x)=f(x)—mx在［2,4］上单调，求数m的取值范围.

16.(2016浙江二模)设函数f(x)=xIx-aI+Ix+bI(a,bGR).

(1)若a=2,h=\,试求函数/(x)在［0,2］上的值域：

(2)若AO,1V.V2,试求函数/(4)在［-1,3］上的最大值g(a).

17.对于区间［a,句伍<勿，若函数)，=/")同时满足：①/3)在［〃,可上是单调函数；②函数

y=句的值域是心，可，则称区间［〃,可为函数/(X)的“保值”区间.

(1)求函数)，=/的所有“，呆值，，区间;

(2)函数)，=/+加(〃?。0)是否存在“保值”区间？若存在，求出〃z的取值范围；若不存在，说明理

由.

【答案与解析】

I.【答案】C.

【解析】由0知,当a>〃时，f(a)>f(b),当时，所以/5)

a-b

在R上单调递增，故选C.

2.【答案】B.

X9—r|

【解析】y=—+2=—=一一二+1,故选B.

\-x\-xX-]

3.【答案】C.

【解析】函数/(幻=一*-1)2+1,图象开口向下，对称轴是X=l,故选C.

4.【答案】B

【解析】当工21时，函数/(x)=一户1为减函数，此时函数的最大值为/(I)=0,要使/a)在R

上的减函数,

367-1<0

则满足

3f7-l+4«>/(l)=0

1

a<—

即《:，解集一<〃<一,

、173

a>—

7

故选B.

5.【答案】B.

【解析】y=---?=,x>1,y是x的减函数，当x=l,y=ymJ5

>/x+1+\]x—1

6.【答案】A.

【解析】由于。>0,且函数/*)=依2+法+。图象的对称轴为X=l,所以函数/(X)在[L+OO)上

单调递增.因为\<叵<瓜从而/(1)</(V2)</(x/3).

7.【答案】B

一x+3a,x<0

【解析】根据题意，函数/(%)=《，，

[-(X+1)2+2,X>0

有f(0)=-1,

若函数f(x)在是R上的减函数，

则有3a2f(0)=-1,

解可得42一!；

3

即a的取值范围是[-士+8)；

故选：B.

8.【答案】B.

【解析】Ay二苍+X-,-1—(x；+X,-1)=(X-,—X|)(x,+X)+1),——————二百十占+1

Axx2-x1

故选B.

9.【答案】C.

【解析】令«工)=/一3工+220,求得烂1,或应2,故函数的定义域为(-oo,l]U[2,48),且函

数)=”^，

故本题即求二次函数r⑴在(YO,1]U[2,转)上的增区间.

再利用二次函数的性质可得f(X)在(-8,1]U[2,+8)上的增区间为[2,+8),

故选：C.

10.【答案】[一2,一)

【解析】xN—l,y是戈的增函数，当工=一1时，ymin=-2.

II.【答案】(-1,I]

【解析】・・・.〃幻=-元2+2仪的图象是开口朝下，以44为对称轴的抛物线，

/(x)=-工2+2〃x在区间[1,2]上是减函数，①；

・.・&*)=匕竺=_。+竺！在区间(1,2)上都单调递减，

x+1x+l

.,.有。+1>0,解得。>一1②；

综①②，得一IVoWl,即实数。的取值范围是(一1,1].

故答案为：(一1,1].

12.【答案】②③

【解析】对于①，若/(%)=/(W),则％=±£，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故

为真命题；对于③，若任意beB,若有两个及以上的原象，也即当/(%)=/(々)时，不一定有

不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件.

3

13.【答案】-

4

【解析】因为/(0)=0,由③得，/⑴=1,

在②中令x=l,则/(；)=；/«)=；.

121I

在③中分别令x=上，则/(-)=1-/(-)=

3332

在②中令工1=7二得/(1上)=1士，/(2-)=1-.

339494

因为±1<上1〈一2，且函数/(.丫)为非减函数，

989

所以/(》W/(|),

则心=；

84

〃“1、”1、113

38244

一1<1一。<1

14.【解析】/(I-a)<-f(\-a2)=f(a2-1),WiJJ-1<1-«2<1,

\-a>a1

..0<«<1

15.【答案】(1)a=-I；(2)(—8,-6]U[-2,+oo)

【解析】(1)因为函数的图象是抛物线，aVO,

所以开口向下，对称轴是直线x=l,

所以函数f(x)在[2,3]单调递减，

所以当x=2时,y”=f(2)=2+a=lf

a=­1

(2)因为a=—1,.*.f(x)=-x2+2x+l,

所以g(x)可(x)-tnx=-x2+(2-//z)x+1,

2—

g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x=(-

Vg(x)在［2,4］上单调，

.・.工2,或工4,

22

从而mW—6,或mH—2

所以，m的取值范围是(-8,-6］U［-2,+8)

16.【解析】(1)当a=2,b-\时，f(x)=xIx—2I+Ix+1I,

又・・“£［0,2］,

f(x)=x(2—x)+x+1=—x~+3x+1=一(“t—)~+—»

VxE［O,2］,

・•・”—“一箱；岑

244

13

故函数的值域为

4

(2)由题意，/(x)=xIx«I+IxI,

当一1W/W0时，/(x)=x(a-x)-x=-x2+(〃-l)x,

在［-1,0］上单调递增，

故/(X),nax=f(0)=0,

当0VxWa时，/(x)=x(a-x)+x=-x2+(a+l)x,

其图象的对称轴为X=@里＜4，

2

故/(外在(0,等)上是增函数，在［等,可上是减函数,

故/(X)max=/(0)=；

Z4

当aVx<3时，f(x)-x(x-a)+x=x2-(a-\)x,

其图象的对称轴为x="<〃，

2

故f(x)在(小3］上是增函数，

故/(x)max=f(3)=9—3(a—1)=12—3a,

又•・,W2,

・・・12-3〃>("+1)>0,

4

故g(a)=12—3d.

17.【解析】⑴因为函数>=/的值域是［0,+8),且)，=/在［0句的值域是［名句,

所以［。,句q［(),+8),所以a2(),从而函数y=/在区间,八〃］上单调递增,

a2=a,。二0或。=1,

故有《解得，

b2=b.b=0或b=l

4=0,

又a<b,所以<

b=l.

所以函数y=炉的“保值”区间为［0,1］.

(2)若函数)，=/+见加工0)存在“保值,，区间，则有:

①若a<b<0,此时函数y=x?+，〃在区间上单调递减,

不+而一匕

a+fn="消去得2-b2=b-a,整理得(a—b)(a〃

所以4ma++1)=0.

b~+m=a.

因为所以a+〃+1-0,即a--〃一1.

/〃《(),

又V