福建2026年高中学业水平合格性考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页福建2026年普通高中学业水平合格考试数学模拟试卷考试时间：90分钟满分：100分第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．2．如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（）A． B． C． D．3．设全集，，则（

）A． B． C． D．4．已知是虚数单位，则等于（

）A．13 B．5 C． D．5．不等式的解集是（

）A． B． C． D．6．已知，，则的值为（

）A． B．2 C．8 D．157．下列函数为增函数的是（

）A． B．C． D．8．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．9．某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为A．万元 B．万元 C．万元 D．万元10．函数的图象是（

）A． B．C． D．11．已知且，则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．1212．设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（

）A．1 B． C． D．13．已知，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．14．已知两条直线和平面，若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（

）A． B． C． D．16．已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．17．已知，，，则（

）A． B． C． D．18．若在上是减函数，则的最大值为（

）A． B． C． D．19．已知函数，方程有三个解，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非选择题43分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20．已知，则的坐标是_________.21．已知，，则的值为________.22．如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为______．23．若函数恰有两个零点，则实数的范围是________三、解答题：本题共3题，共27分．24．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，求的面积．25．如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证：(1)直线平面；(2)平面平面.26．已知函数．(1)求的定义域；(2)判断在其定义域上的单调性，并用定义证明；(3)若，解关于的不等式．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】的否定为：.故选：C2．B【分析】根据平面向量的加法法则求解.【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得.故选：B.3．B【分析】根据补集的定义计算可得.【详解】因为，，所以.故选：B4．A【分析】根据复数的乘法即可.【详解】.故选：A.5．A【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可.【详解】解得：，故不等式的解集是.故选：A6．D【分析】根据指数的运算求解即可.【详解】.故选：D7．B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD作答.【详解】对于A，函数，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，A不是；对于B，函数在R上单调递增，B是；对于C，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，C不是；对于D，函数在上单调递减，D不是.故选：B8．D【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即得.【详解】∵角的终边经过点，∴，故A，C错误，D正确；对于B，，故B错误.故选：D9．C【详解】试题分析：由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为（万元），又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为万元．考点：频率分布直方图.10．A【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可.【详解】因为的定义域为，故BD错误；又，故C错误；故A正确.故选：A11．D【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为且，可得，当且仅当时，等号成立.故选：D.12．B【分析】根据题意，得到函数为奇函数，结合，代入即可求解.【详解】由函数的图像关于原点对称，可得函数为奇函数，所以，又由时，，则.故选：B.13．D【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为，，所以，，所以向量在向量上的投影向量是.故选：D14．B【分析】利用空间直观想象与线面平行的判定定理，结合充分必要条件的判定方法即可得解.【详解】因为，当时，与可能异面，即充分性不成立；当时，由线面平行的判定定理可知，即必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.15．C【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到.【详解】由，解得，由余弦定理得，所以.故选：C.16．D【分析】根据圆台的侧面积公式求出母线，再求圆台的高结合圆台体积公式求体积即可.【详解】设圆台上下底面的半径分别为，母线为，由题意可得：，则圆台的高为，所以圆台的体积为.故选：D17．A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性确定幂值和对数值的范围即得.【详解】因，即，又，即，而，即，故.故选：A.18．B【分析】利用辅助角公式和余弦函数单调性的求法可得的单调递减区间，对应已知区间即可确定结果.【详解】；令，解得：，的单调递减区间为，，，，的最大值为.故选：B.19．B【分析】变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案.【详解】，，即，即，设，函数定义域为，，函数为奇函数，，不妨取，则，，.故选：B.20．【分析】由平面向量减法的坐标运算求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：.21．【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为，，所以.故答案为：.22．【分析】先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为.【详解】取中点为,连接,记与交点为,如图所示:因为G,F分别是棱,的中点,所以,且,故四边形为平行四边形,所以,所以与BF所成角即为与所成角,因为正方体,E,G是棱AD,的中点,所以,所以,即,因为,所以,所以,故与所成角为,即与BF所成角为.故答案为:23．【分析】分别设，分两种情况讨论，即可求出的范围.【详解】解：设，若在时，与轴有一个交点，所以，并且当时，，所以，而函数有一个交点，所以，且，所以，若函数在时，与轴没有交点，则函数有两个交点，当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），当时，即时，的两个交点满足，都是满足题意的，综上所述的取值范围是，或.故答案为：.【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.24．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证；（2）由余弦定理可求得，可求的面积.【详解】（1）因为，所以，化简得，即，所以是等腰三角形.（2）由余弦定理可得，得，解得，由，所以，所以的面积为.25．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面.（2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面.【详解】（1）设，连接，∵底面是菱形，∴为的中点，又∵是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面.（2）∵底面是菱形，∴.又平面，平面，∴.又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.26．(1).(2)在上单调递增，证明见解析(3)答案见解析.【分析】（1）由题意可得定义域的不等式组，从而可求解.（2）利用函数的定义法即可判断在其定义域上为增函数，从而可求解.（3）由函数可得，即，由（2）结论得在定义域为增函数，从而得，从而可求解.【详解】（1）要使原函数有意义，只需，解得，所以的定义域为．（2）在上单