《建筑力学与结构（第2版）》-第五章

第五章截面图形的几何性质第一节重心与形心第二节静矩第三节惯性矩、惯性积与惯性半径第四节形心主惯性轴与形心主惯性矩返回第一节重心与形心一、重心地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。如果把一个物体分成许多微小部分，则这些微小部分所受的重力形成汇交于地球中心的空间汇交力系。由于地球半径很大，这些微小部分所受的重力可看成空间平行力系，该力系的合力的大小就是该物体的重力。由试验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。下一页返回第一节重心与形心对重心的研究在实际工程中具有重要意义。例如，水坝、挡土墙、吊车等的倾覆稳定性问题就与这些物体的重心位置直接有关；混凝土振捣器，其转动部分的重心必须偏离转轴才能发挥预期的作用；在建筑设计中，重心的位置影响着建筑物的平衡与稳定；在建筑施工过程中采用两个吊点起吊柱子就是要保证柱子重心在两吊点之间。由此，根据静力学力矩理论，可得到重心的坐标公式。１.一般物体重心的坐标公式上一页下一页返回第一节重心与形心２.均质物体重心的坐标公式对均质物体而言，其重心位置完全取决于其几何形状，而与其重量无关，物体的重心就是其形心，均质物体重心的坐标公式如下：二、形心对于极薄的匀质薄板，可以用平面图形来表示，它的重力作用点称为形心。规则图形的形心比较容易确定，就是指截面的几何中心。如图５-１所示，平面图形形心的坐标为上一页返回第二节静矩一、静矩的定义图５-２所示为任意形状的平面图形的面积A，则截面对y轴和z轴的静矩（或称面积矩）分别定义为由式（５-４）可见，静矩与坐标轴的选择有关，不同的坐标轴，静矩的大小就不同，而且静矩是代数量，可能为正，也可能为负，还可能为零。静矩的量纲是长度的三次方，常用单位为ｍ３或ｍｍ３。下一页返回第二节静矩二、静矩的计算１.简单图形的静矩如图５-２所示，简单平面图形的面积A与其形心坐标yＣ（或zＣ）的乘积，称为简单图形对z轴或y轴的静矩，即当坐标轴通过截面图形的形心时，其静矩为零；反之，截面图形对某轴的静矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心。２.组合平面图形的静矩上一页返回第三节惯性矩、惯性积与惯性半径一、惯性矩１.惯性矩计算公式如图５-４所示，任一平面图形上所有微面积ｄA与其坐标y（或z）平方乘积的总和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iｚ（或Iｙ）表示，即式（５-７）表明：惯性矩恒为正值，它的常用单位是ｍ４或ｍｍ４。几种常见截面的惯性矩见表５-１。下一页返回第三节惯性矩、惯性积与惯性半径若ｄA至坐标原点犗的矩为ρ，如图５-４所示，ρ２ｄA称为该微面积对原点犗的极惯性矩，则整体图形面积A对原点犗的极惯性矩为２.惯性矩平行移轴公式同一平面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同的，但它们之间存在一定的关系。图５-５所示任一图形对两个相平行的坐标轴的惯性矩之间的关系为上一页下一页返回第三节惯性矩、惯性积与惯性半径３.惯性矩的特征（１）截面的极惯性矩是对某一极点定义的，而对轴的惯性矩是对某一坐标轴定义的。（２）极惯性矩和对轴的惯性矩的量纲均为长度的四次方，单位为ｍ４、ｃｍ４或ｍｍ４。（３）极惯性矩和对轴的惯性矩的数值均为恒大于零的正值。（４）截面对某一点的极惯性矩，恒等于截面对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的惯性矩之和，即上一页下一页返回第三节惯性矩、惯性积与惯性半径４.组合截面惯性矩的计算组合截面对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩（图５-６），分别等于组合截面各简单图形对同一点的极惯性矩或对同一轴的惯性矩之代数和，即上一页下一页返回第三节惯性矩、惯性积与惯性半径二、惯性积如图５-４所示，任一平面图形上所有微面积ｄA与其坐标z、y乘积的总和，称为该平面图形对z、y两轴的惯性积，即惯性积的特征如下：（１）截面的惯性积是对相互垂直的一对坐标轴定义的。（２）惯性积的量纲为长度的四次方，单位为ｍ４、ｃｍ４或ｍｍ４。上一页下一页返回第三节惯性矩、惯性积与惯性半径（３）惯性积的数值可正可负，也可能为零。若一对坐标轴中有一轴为截面图形的对称轴，则截面对该对坐标轴的惯性积必等于零。截面对某一对坐标轴的惯性积为零，该对坐标轴不一定就是图形的对称轴（４）组合截面对某一对坐标轴的惯性积，等于各组合图形对同一对坐标轴的惯性积的代数和，即上一页下一页返回第三节惯性矩、惯性积与惯性半径三、惯性半径在工程实际计算中，常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即式中，iｚ、iｙ为平面图形对z、y轴的惯性半径。上一页下一页返回第三节惯性矩、惯性积与惯性半径惯性半径的特征如下：（１）截面的惯性半径是仅对某一坐标轴定义的。（２）惯性半径的量纲为长度的一次方，单位为ｍ。（３）惯性半径的数值恒取正值。上一页返回第四节形心主惯性轴与形心主惯性矩若截面对某对坐标轴的惯性积Iｚ０ｙ０＝０，则这对坐标轴z０、y０称为截面的主惯性轴，简称主轴。截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩，简称主惯矩。当截面具有对称轴时，截面对包括对称轴在内的一对正交轴的惯性积等于零。例如，图５-８（ａ）中，y为截面的对称轴，z１轴与y轴垂直，截面对z１、y轴的惯性积等于零，z１、y即为主轴。同理，图５-８（ａ）中的z２、y和z、y也都是主轴。通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主惯矩。下一页返回第四节形心主惯性轴与形心主惯性矩凡通过截面形心，且包含有一根对称轴的一对相互垂直的坐标轴一定是形心主轴。图５-８（ａ）中的z、y轴通过截面形心，z、y轴即为形心主轴。图５-８（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）中的z、y轴均为形心主轴。上一页返