山东泰安市新泰市部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东泰安市新泰市部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为.所以，整理得，而，，，，所以对比选项可知只有在平面内.故选：C.2.实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线是黄金双曲线，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，所以，解得，故选：A.3.已知公差为负数等差数列的前项和为，若，，是等比数列，则当取最大值时，（）A.2或3 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，，是等比数列，即，得，解得，则，显然等差数列单调递减，当时，，当时，，所以当取最大值时，.故选：B.4.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：，∴抛物线方程为，∵行车道总宽度，∴将代入抛物线方程，解得：，∴车辆通过隧道的限制高度为，故选：C.5.已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（）A.内含 B.相切 C.相交 D.外离【答案】A【解析】根据题意，化简得圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径，圆心距，所以两圆内含．故选：A.6.已知，两点到直线：的距离相等，则（）A. B.6 C.或4 D.4或6【答案】D【解析】点到直线距离为，点到直线的距离为，因为点到直线的距离和点到直线的距离相等，所以，所以或.故选：D.7.在数列中，，对任意大于1的正整数，点在直线上，那么（）A.5 B. C.50 D.75【答案】D【解析】解：∵点在直线，即，又，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，即an＝3n2，所以，故选：D.8.已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，又因为，所以，设焦距，因为，所以，，因为在中，，所以，则所以，所以.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知直线：，直线：，则（）A.当时，两直线的交点为 B.直线恒过点C.若，则 D.若，则或【答案】ABC【解析】对于A：当时直线：，直线：，由，解得，所以两直线的交点为，故A正确；对于B：直线：，令，解得，即直线恒过点，故B正确；对于C：若，则，解得，故C正确；对于D：若，则，解得或，当时直线：，直线：两直线重合，故舍去，当时直线：，直线：，两直线平行，所以，故D错误；故选：ABC.10.已知等差数列是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（）A. B.当时，最大C. D.【答案】AC【解析】由题意等差数列递减数列，且满足，所以，从而，故A正确；而，所以当且仅当或时，最大，故B错误；由B选项分析可知，故C正确；因为，故D错误.故选：AC.11.如图，将一个等腰三角形去掉顶部的小三角形后，剩余部分均分成个高为1的等腰梯形，记第1个梯形的上、下底边长分别为，，则（）A.第个梯形的上底边长为B.第个梯形的下底边长为C.第个梯形的面积为D.前个梯形的面积之和为【答案】BCD【解析】由题意可知，即，即每一个梯形的上底和下底的长度差是相等的，这个长度差为，对于A，由上可得第n个梯形的上底边长为，故A错误；对于B，由上可得第个梯形的下底边长为，故B正确；对于C，第个梯形的面积为，故C正确；对于D，由C前个梯形的面积之和为:，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.如果平面，直线，点满足：，且直线与所成的角为直线与直线所成的角为，那么与所成角的大小为_________．【答案】【解析】如图，设在平面上的投影为，在平面上的投影为直线，其中为与在平面上的投影直线的交点，则.由题意，与所成的角为，且，故与所成的角.由，，故.又，，故.又，平面，故平面.过作于，连接，则因为，故，又，平面，故平面.又平面，故.又与直线所成的角为，即.则，，，故，即，故，则.又平面，平面，故，则.又，故与所成角.故答案为：.13.若两点到直线的距离相等，则__________.【答案】或【解析】因为两点到直线的距离相等，所以，，得到，解得或，故答案为：或.14.已知为坐标原点，是椭圆上异于顶点的动点，圆与直线交于两点，与轴、轴分别交于两点，且，则面积的取值范围为____________.【答案】【解析】由题可知，.由，可得.因为是上的点，所以，则.又，所以.设到的距离为，则，则.由，可得，，则，所以，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知三点在圆C上，直线，（1）求圆C的方程;（2）判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．解:(1)设等比数列的公比为由,解得或(舍)，又，，解得,，时，，，整理得，又，数列是首项为1的常数列，，(2)设，.

16.在数列中，.（1）证明：是等比数列；（2）若数列的前项和，求数列的前项和.（1）证明：因为，所以，又，所以，所以.所以是首项为1，公比为的等比数列.（2）解：由（1）知，因为数列的前项和，所以当时，，当时，，满足上式，所以.所以.，①由①，得，②①②相减得,所以.17.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且；数列满足．(1)求和；(2)求数列的前n项和．解：(1)设等比数列的公比为由.解得或(舍)，又，，解得.，.时，，.整理得，又数列是首项为1的常数列，，.(2)设，.18.设椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，.已知椭圆的离心率为，.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，且，若三角形与三角形的面积比为1:2，求直线的方程.解：（1）因为，，，所以，所以，所以，所以椭圆方程为；（2）如图，因为三角形与三角形的面积之比为，所以三角形与三角形的面积比为，所以，得，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，所以，所以，，所以，解得，当时，，当时，，故直线的方程为.19.如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．（1）证明：由题意知在三棱柱中，平面，平面，则，，又，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，∴，，得，所以．（2）解：∵，，，，．∴，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，设直线与