山东省德州市2025-2026学年高二上学期校际教研诊断(七)数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2025-2026学年高二上学期校际教研诊断(七)数学试题一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知直线与垂直，则实数（）A.3 B. C. D.2【答案】C【解析】由直线与垂直，得，所以.故选：C.2.抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线的焦点坐标为可知，抛物线即的焦点坐标为，故选D.3.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，由题知，，又因为是平行六面体，则，所以，则，∴，即，故选：A.4.在的展开式中，的系数为（）A.90 B.60 C.30 D.20【答案】A【解析】要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，2个取出，1个取出，2个取出，即，所以的系数为.故选：A.5.为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设事件“从组中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”，则，，，则.故选：C.6.由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为（）A.21 B.18 C.15 D.12【答案】A【解析】由题可知，至少有两位数字相同的三位数分为两种情况，有三位数字相同的三位数有：111，222，333共3个；有两位数字相同的三位数的个数为,所以，由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为21，故B，C，D错误.故选：A.7.已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线l：，令，解得，所以直线l恒过定点，圆C：的圆心为，半径为，且，即P在圆内，当时，圆心C到直线l的距离最大为，此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为．故选：A．8.已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为，则的值等于（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即，则当点三点共线时，有最小值，最小值为，因为，则，解得，符合题意；②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即，过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线，则由抛物线的定义可知，，所以当三点共线时，有最小值，则，得，不符合题意，综上所述，的值等于，故选：B.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．9.已知随机变量，则（）A. B.当取最大值时，C. D.【答案】ABD【解析】，对于A：，A正确；对于B：，由二项式系数的性质，当时，是中的最大值，此时取得最大值，B项正确；因为，所以，，则，C不正确，D正确.故选：ABD.10.如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线AM与平面所成角的正弦值为B.点B到直线AM的距离为C.点D到平面AMN的距离为2D.直线与直线BN是异面直线【答案】AB【解析】以D为原点，分别以DA,DC,所在直线为轴建立空间直角坐标系，则所以，由正方体性质可知平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，故A正确；，点B到直线AM的距离为,故B正确；，,平面AMN的法向量为所以，令则，所以，所以点D到平面AMN的距离为，故C错误；因为所以，所以四点共面，所以直线与直线BN不是异面直线，故D错误.故选：AB.11.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A.为C的一个焦点B.双曲线C的离心率为C.设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为D.过点作直线与C交于A，B两点，则满足的直线有且只有两条【答案】BC【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，则，解得，所以双曲线.对于选项AB：因为，，，所以双曲线的焦点为、，离心率，故A错误，B正确；对于选项C：设，，则，可得，，因为在双曲线上，则，两式相减得，整理可得，故C正确；对于选项D：过点作直线与交于两点，因为为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时；当直线的斜率为时，；所以由双曲线的对称性得，满足的直线有4条，故D错误；故选：BC.三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）．12.设随机变量，且，则______．【答案】3【解析】由题意可得随机变量服从正态分布，若，则，解得.故答案为：3.13.某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______．【答案】30【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法.故答案为：30.14.抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则______，______．【答案】①.或②.【解析】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能发生1次，；抛掷n次后事件A发生次，次，次，，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，当为偶数时，，构造二项式，当为偶数时，令，，令，，两式作差得，可得，因为，所以.故答案为：；.四.解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15.已知为正实数，展开式的二项式系数和为256．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中各项系数之和；（3）若第项是有理项，求的取值集合．解：（1）由题知，，展开式中二项式系数最大的项是中间项，即第5项，所以．（2）令，得．（3），当为整数时为有理项，即，则取值集合．16.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，点E在棱PB上．（1）证明：平面平面PBC；（2）当时，求二面角的正弦值．（1）证明：因为底面ABCD，平面ABCD，所以，四边形ABCD是直角梯形，，，因为，，所以，所以，所以，又因为，平面PBC，所以平面PBC，又平面EAC，所以平面平面PBC.（2）解：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以，所以，，设平面ACE的一个法向量为，则，取，则，，得，又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为，又原图可知二面角为锐角，设为，则，所以，所以二面角的正弦值为．17.某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元．（1）顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望；（2）顾客B消费了1000元．①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少?②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动）解：（1）由题意X可能取值为20，30，50，则，，，则X的分布列如下表：X203050P由期望公式可得；（2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，则概率为；②若打九折，需支付金额为：（元）由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元），因为，故打折更划算．18.已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M方程，Q为圆M上任意一点，P为椭圆上任意一点，求的最大值；（3）记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A作l的垂线，垂足为H，且，求直线l的方程．解：（1）由题意：，所以，又因为，所以，，即椭圆的方程：．（2）设点为椭圆上任意一点，则，当时，的最大值是，即的最大值是，所以的最大值是．（3）由题意，设直线l的方程为，设点G坐标为，由，可得，由韦达定理得：，所以，代入直线方程可得：．过点A与l垂直的直线方程为，由，设交点H坐标为，可得，，因为，所以，法一：，所以，解得，所以直线l的方程：或．法二：，所以，解得，所以直线l的方程：或．19.某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立.（1）求两局后比赛终止的概率；（2）在3局后比赛终止条件下，求选手挑战成功的概率；（3）在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值.解：（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，设“两局后比赛终止”为事件，因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止．（i）当棋手得分为分，则局均负，即；（ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．因为、互斥，所以．所以两局后比赛终止的概率为．（2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．因为，．所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．（3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．（i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负