四川省成都市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市2025-2026学年高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线可化，则斜率，即故选：A.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，即.故选：D．3.为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（）A.选择足球的女生比选择篮球的女生多B.选择篮球的女生比选择足球的男生多C.选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多D.选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多【答案】C【解析】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知：选择篮球的学生有：人，选择乒乓球的学生有：人，选择足球的学生有：人，由条形图可知：选择篮球的学生中，女生人，男生人，选择乒乓球的学生中，女生人，男生人，选择足球的学生中，女生人，男生人.故选：C．4.已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，则的横坐标为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】设的横坐标为，，解得，的横坐标为，故选：B．5.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是（）A.事件与事件互斥 B.事件与事件互为对立C.事件与事件相互独立 D.【答案】C【解析】事件正,正正,反，事件正,正反,正，事件正,正反,反，事件正,正，，，事件与事件相互独立．故选：C．6.已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】如图所示：由，由题意知，所以，由图可知当为椭圆短轴的顶点时，取最小值，所以的最小值为．故选：B．7.在正四面体中，点分别是线段的中点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设的棱长为2，分别是的中点，则，夹角为，所以，则，又为边长为2的等边三角形，，故选:C．8.已知双曲线的中心为点，一个焦点为．点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设双曲线的左、右焦点分别为的中点为，连接，如下图所示：由的最小值为可得，因此因为分别为的中点，所以，因此，即，得，所以离心率.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.掷一枚质地均匀的骰子次，得到一组样本数据：，则（）A.众数可能为 B.极差可能为C.若，则方差 D.第百分位数恒为【答案】ACD【解析】由题意知，由样本数据可以得出众数可能是，故A选项正确；由样本数据可知，极差大于等于，故B错误；当时，样本数据为，此时平均数为，所以方差为：，故C正确，计算，则该组样本数据的第百分位数为从小到大排序后第二个数，若，则样本数据排序为，则第百分位数为，若，则样本数据排序为或或或，不管怎么排序，第二个数均为，则第百分位数为，综上所述第百分位数恒为，故D选项正确，故选：ACD．10.在平面直角坐标系中，点是曲线上一动点，点分别是直线与轴的交点，则（）A.面积的最小值为1B.的最大值为C.若直线与曲线有且只有一个公共点，则D.的取值范围为【答案】ABD【解析】选项A：等价于，即曲线为单位圆的上半圆（包括端点），当点为时，的最小值为，故A正确；选项B：取最大值时，与曲线相切，设直线的斜率为，方程为，圆心到直线的距离，解得.此时，又的最大值为，故B正确；选项C：直线与曲线有且只有一个交点时，直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，解得（舍去）直线过点时，过点时，直线与半圆只有一个公共点时，，故C错误；选项D：设点（），则，，因为，所以，代入得即，故D正确；故选：ABD．11.如图，在长方体中，，，若是的中点．则（）A.过三点作长方体的截面，则截面为菱形B.存在实数，使得直线与平面垂直C.直线平面，则D.点到直线的距离的范围为【答案】ABC【解析】对于选项A：因为平面与平面平行，则平面与平面的交线和平面与平面的交线平行，同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行，取的中点，连接，则四边形为平行四边形，又因为，所以截面为菱形，故A正确；对于选项C：连接交于点，连接，因为平面平面，则，可知，则，所以，故C正确；对于选项BC：以为坐标原点，所在直线分别为轴建系，则，，，可得，若直线与平面垂直，则，解得，所以存在实数，使得直线与平面垂直，故B正确；因为，则，又因为，则，，可得，故D错误；故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则______．【答案】【解析】因为向量，，所以，所以，所以，故答案为：.13.已知圆与圆外切，则______．【答案】【解析】设圆，圆，则圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，圆心距为，由圆与圆外切，则即，由，解得，故答案为：．14.已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______．【答案】1【解析】由题知其焦点均在轴上，又因为焦点相同，即，因为四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，利用椭圆以及双曲线对称性可知四个交点均在直线上，不妨设第一象限的公共点为，则有且，消去得，即，解得，故答案为：1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆的圆心在直线上，且圆经过两点．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程．解：（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，又因圆经过两点，所以圆心到两点的距离相等且为圆的半径，即，解得，所以圆的圆心为，所以圆的半径，所以圆的标准方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，直线为，代入圆中：解得：或，此时，满足题意；②当直线的斜率存在时，设为：即，因为，所以圆心到直线的距离为：，又圆心到直线的距离，所以，即，解得，此时直线为，综上所述：直线为或．16.为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图．（1）求的值：（2）求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；（3）现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率．解：（1）由，解得.（2）由图可知，成绩在区间的频率分别为，因为，所以中位数位于区间内，设中位数为，则有，解得中位数分，这500名同学数学成绩的平均数为：分；（3）由区间的人数为：人区间的人数为：人人数比为，所以在区间应抽取2人，设为，在区间应抽取4人，设为，设事件“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间”，由样本空间，，得，由事件，得，所以．17.在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，且该平面上的动点满足：，设点的轨迹为．（1）求的标准方程；（2）若直线交轨迹于两点，且的面积为1，求的值．解：（1）由，知，因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆，即，即，又，则，所以的标准方程为.（2）不妨设两点的坐标分别为，由消去得，，得，，，又原点到直线距离，因此，解得，所以.18.如图，在平行四边形中，，将沿翻折至．（1）设，三棱锥的各个顶点都在球的表面上，（ⅰ）证明：平面平面；（ⅱ）求球的半径；（2）求平面与平面夹角的最大值．（1）（ⅰ）证明：，又，且平面，平面，又平面，平面平面；（ⅱ）解：由（ⅰ）知平面平面，，又在平行四边形中，，，翻折后垂直关系不改变，，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，结合可得为外接球的直径，又，外接球的半径为.（2）解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，由及，可得，不妨令，则，，设平面的一个法向量为，则取，得，设平面的一个法向量为，则取，得，，设平面与平面的夹角为，则，又，即，平面与平面夹角的最大值为．19.已知直线与抛物线交于两点，不同于的直线与交于两点，设直线与的交点为．（1）证明：点在直线上；（2）若的中点为．（ⅰ）