四川省成都市郫都区2026届高三上学期二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市郫都区2026届高三上学期二模数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】集合，则.故选：A.2.某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的70%分位数为（）A.26 B.32 C.35 D.38【答案】D【解析】由于,这组数据的70%分位数为第5个数38，故选：D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，则其渐近线方程为.故选：B.4.已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（）项A.10 B.11 C.12 D.13【答案】A【解析】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列，则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确.故选：A.5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（）A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍【答案】B【解析】设训练及个单位的数据量所需时间分别为，，，所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍.故选：B.6.已知函数的定义域为，函数是奇函数，则（）A. B. C.5 D.10【答案】A【解析】由的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得函数的图象，因为函数是奇函数，即该函数图象关于中心对称，所以函数的图象关于中心对称，所以，因此，，，所以，故选：A.7.在的展开式中，的系数为（）A. B. C.3 D.8【答案】B【解析】因为含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，所以的系数为.故选：B．8.一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为的小球在该容器底面运动，则小球与侧面接触部分的轨迹长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，轴截面示意图如下，当球与圆锥轴截面两条边都相切时，球心在角平分线上，由，，则，可得，故，，如上图都是球与圆锥内壁的切点，所以小球与圆锥侧面接触部分的轨迹为以为直径的圆，故小球在该容器底面运动时，小球与侧面接触部分的轨迹长为.故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）9.用平面截一个几何体，如果所得截面是矩形，那么该几何体可能是（）A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.四棱锥【答案】ACD【解析】对于A，过圆柱旋转轴的截面截圆柱所得截面为矩形，因此A正确；对于B，截圆锥所得平面可以是三角形和曲边图形，不可能是矩形，即B错误；对于C，在直三棱柱中，用平行于某一侧面的截面截三棱柱所得的截面可以为矩形，即C正确；对于D，在正四棱锥中，用平行于底面的截面截四棱锥可以得到矩形截面，即D正确.故选：ACD.10.直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（）A.面积的最小值为6 B.面积的最大值为12C.切线长的最小值是4 D.切线长的最小值是【答案】ABC【解析】根据题意，直线分别与轴、轴交于，两点，则，，故，圆的圆心到直线的距离，圆的半径为，则点到距离的最小值为，最大值为，故面积的最小值，所以A项正确；面积的最大值，所以选项B正确；圆心到直线的距离，所以切线长的最小值，所以C项正确.故选：ABC.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的周期为B.的图象关于对称C.在上恰有3个零点D.若在上单调递增，则的最大值为【答案】BD【解析】①当时，，②当时，，③当时，④当时，，因此，，所以函数的图象，如图所示：A选项：因为，故A不正确；B选项：因为，所以的图象关于对称，故B正确；C选项：由的函数解析式以及函数图像可知：当时，，当时，，当时，，所以在上有无数个零点，故C错误；D选项：由，，得，因为在上单调递增，所以由的图象可知，解得，则的最大值为，故D正确；故选：BD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在等比数列中，，，则_____．【答案】20【解析】设等比数列的公比为，由可得，即得；因此.故答案为：.13.若直线是曲线的切线，则___________．【答案】【解析】设切点为，由求导得，由直线是曲线的切线，得，则，所以.故答案为：.14.已知满足，则的值为_____．【答案】【解析】由得，即，所以，因为，所以，因为，所以，所以，故答案为：.四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．（1）求C的方程；（2）若为以为底边的等腰三角形，求的面积．解：（1）点关于坐标原点的对称点为，设，则，且，∵，且，∴整理得.∴的方程为．（2）∵点关于坐标原点的对称点为，，∴的垂直平分线过原点且斜率为，故的垂直平分线的方程为.∴以为底边的等腰三角形的顶点在直线上，联立，解得．故，又.∴.16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面.（1）证明：.（2）点在线段上，若平面，求.（3）求二面角的正弦值.（1）证明：作，垂足为，连接.在中，.，.所以，四边形是正方形.所以.因为，所以平面.因为平面，所以.（2）解：因为四边形是正方形，所以.因为平面，所以平面.若平面，因为，所以平面平面.因为平面平面，平面平面，所以，所以.因为，所以.（3）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则取.设平面的法向量为，则取.，，即二面角的正弦值为.17.2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立.（1）九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下：场均观众人数(千人)8126159小组赛积分101681813请计算场均观众人数(千人)与小组赛积分的样本相关系数(精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度；（2）九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率.附：相关系数，解：（1），，则，，，则，因为，且接近于，故说明场均观众人数与小组赛积分之间具有很强的正线性相关关系；（2）九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分，则设剩余场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种：一：场比赛全胜，概率为：；二：胜场，平或负场，概率为：；三：胜场，平场，概率为：；故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为：.18.在中，角的对边分别是，且，且．（1）求角的大小；（2）D为AC过上的一点，，且_____，求的面积；（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．①BD是角B的平分线；②D为线段AC的中点．（3）若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围．解：（1）在中，，结合正弦定理可得：．由得，，∴，∴，，又，，又，所以；（2）若选①：由平分得：，，即．在中，由余弦定理得，则，联立，得，解得，；若选②：由题设，则，即，所以，在中，由余弦定理得，则，联立，得，．（3）由正弦定理得，故，故，由于为锐角三角形，故，故，因此，，，因此，设边上的高为，，所以.19.定义：函数图像上不同的三点，，．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数．（1）讨论函数的极值；（2）若函数是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数的取值范围；（3）当时，数列满足，．其前项和为，试证明：．（1）解：函数的定义域为，求导得：，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；当时，令，解得，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，函数在处取得极小值，极小值为：，且函