2026年高考数学复习系列（全国）专题1.1 集合与常用逻辑用语（讲义）（解析版）

专题1.1集合与常用逻辑用语（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、集合

集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有

限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现

命题规律在高考的单选题的前3题中，以基础题为主。

、常用逻辑用语

分析2

常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量词

命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行

逻辑推理等，中等偏易难度；但一般很少单独考查，常常与其他知识结合考查。

考点2023年2024年2025年

高考真题全国一卷：第2题，5

分

I卷：第1题，5分新课标I卷：第1题，全国二卷：第3题，5

统计集合

Ⅱ卷：第2题，5分5分分

北京卷：第1题，4分

天津卷：第1题，5分

常用逻辑新课标Ⅱ卷：第2题，

I卷：第7题，5分

用语5分

预测在年的高考数学中，集合依旧是必考的基础考点，大概率出现在高考的

年2026

2026单选题的前3题中，分值为5分，主要考查集合的交、并、补集等运算，是基础题。

预测常用逻辑用语主要考查真、假命题的判断，命题的否定，充分、必要条件的判

命题预测断，会与其他知识结合考查，大概率在单选题中考查，难度不大。

知识点1集合

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

*

符号NN(或N＋)ZQR

2．集合的基本关系

(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；

真子集：若⊆，且≠，则；

(2)ABABA⫋B

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；

(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

表示

文字语言集合语言图形语言记法

运算

属于A且属于B的所有元素组

交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B

成的集合

属于A或属于B的元素组成的

并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B

集合

全集U中不属于A的元素组成

补集的集合称为集合A相对于集合{x|x∈U，x∉A}∁UA

U的补集

【常用结论】

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个，非空子集有2n1个，非空真子集

有2n2个．

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．

(3)ABABAABBCUBCUA．

(4)CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)．

知识点2常用逻辑用语

1．充分条件与必要条件

命题真假“若p,则q”是真命题"若p,则q"是假命题

由条件p不能推出结论q，

推出关系及由p通过推理可得出q，

符号表示记作：p⇒q记作：

p是q的充分条件p不是q的充分条件

条件关系

q是p的必要条件q不是p的必要条件

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

2．充要条件

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p

既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

3．全称量词与全称量词命题

全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号∀

全称量词

含有全称量词的命题

命题

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为

形式

“∀x∈M，p(x)”

4．存在量词与存在量词命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示∃

存在量词

含有存在量词的命题

命题

“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为

形式

“∃x∈M，p(x)”

5．全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．

(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．

【方法技巧与总结】

1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件

设Ax|p(x),Bx|q(x).

(1)若AB，则p是q的充分条件(pq)，q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，

q是p的必要不充分条件，即pq且q¿p；

(2)若BA，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若AB，则p与q互为充要条件.

2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词

命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量

词命题就是假命题.

【题型1元素与集合的关系】

【例1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（）

A．B．�=�|2�−C1．>�2∈��D．

【答案】C�≤3�≥3�<3�>3

【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围.

【解答过程】因为，所以�，所以.

故选：C.2∈�2×2−1>��<3

【变式1-1】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（）

22

A．B．�=C1．,2,�=�−�∣�,�∈D．�

【答案】A1∈�0∈�3∈�−3∈�

【解题思路】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断.

【解答过程】依题意可得�，所以.

故选：A.�=−3,0,3−3∈�,0∈�,3∈�,1∉�

【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（）

A．B．�C．=2�+3��∈�,D�．∈�

【答案】C3∉�−2+53∉�4∈�−1+23∈�

【解题思路】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.

【解答过程】因为，

设�,则=：2有�理+数3部�分�：∈�,�∈�，无理数部分，

3=2�+3�0=2�⇒�=0:3=3�⇒�=1

,,符合条件，所以，故A错误；

�设=0∈��=1∈�,则有理数部分3∈�，无理数部分:，

−2+53,=2�+3,�符合条件，故:−2=2�⇒，�故=B−错1误；53=3�⇒�=5

�设=−1∈��=,则5∈：�有理数部分−2+53∈�，无理数部分：，故,故C

正确4；=2�+3�:4=2�⇒�=20=3�⇒�=0∈�4∈�

设,则有理数部分：(非整数，矛盾)，故，故D

错误−1．+23=2�+3�−1=2�⇒�=−0.5−1+23∉�

故选：C.

【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则

实数（）1,2,�,4

A�．=B．C．D．

【答案】B−4−3−2−1

【解题思路】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可.

【解答过程】根据集合中元素的互异性可得：，且.

当集合时，集合的最大元素为�≠；1当集�合≠2�时≠，4集合的最大元素为；

根据题意�可>得4：集合1,2,�,4的所有元素之和�为.�<41,2,�,44

且或1,2,�,4，7+�

�>4�<4

解得7：+�=�.7+�=4

故选：B�.=−3

【题型2集合中元素的个数问题】

【例2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为

22∗∗

（）�=�,��+�≤10,�∈N,�∈N

A．9B．8C．6D．5

【答案】C

【解题思路】利用列举法表示集合A即可得出元素个数.

【解答过程】，共6个元素.

故选：C.�=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)

【变式2-1】（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个

�=0,1,2�=�,�∣�≤�,�∈�,�∈�

数是（）

A．1B．3C．6D．9

【答案】C

【解题思路】根据题意，采用列举法表示集合即可求解.

【解答过程】由题，可得�，

所以集合含有6个元素�.=0,0,0,1,0,2,1,1,1,2,2,2

故选：C.�

【变式】（广东揭阳二模）已知集合，则中元素的个数为（）

2-22025··22A

��

A．7B．9�=C．�1,1� 4+3≤1,�D∈．Z1,3�∈Z

【答案】C

【解题思路】首先求出的值，然后代入分别求出的值即可

x22y.

��

【解答过程】因为，所以4+3≤，1

22

又，所以�∈Z,�∈，Z可得�≥，0所,�以≥0可能取值为

222x

���2

4+3≤14≤1�≤4−2,−1,0,1,2,

当时：代入得，又，

22

��22

所以�=−2，此时得到4+元素3≤1�；≤0�≥0

当�=0时：代入−2得,0，，，

22

��2933

此时�=得−到1元素4+3≤1�≤4；⇒−2≤�≤2∵�∈Z∴�=−1,0,1

当时：代−入1,−1,−1,0得,−1,1，，，

22.

��2

此时�=得0到元素4+3≤1�；≤3∴−3≤�≤3∵�∈Z∴�=−1,0,1

当时：代0入,−1,0,0,得0,1，，，

22

��2933

此时�=得1到元素4+3≤1�；≤4⇒−2≤�≤2∵�∈Z∴�=−1,0,1

当时：代1入,−1,1,0,得1,1，所以，

222

���

此时�=得2到元素4；+3≤11+3≤1�=0

满足条件的元素2,分0别为：

，，，，共11个，

故−选2,0：C.−1,−1,−1,0,−1,10,−1,0,0,0,11,−1,1,0,1,12,0

【变式2-3】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集

合的元素个数为（）�=−1,0,1,�=1,2,�=�∣�=�+�,�∈�,�∈�

�A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【解题思路】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可.

【解答过程】由题意知，，，

当，时�∈，{−1,0,1}�∈，{1,2}

当�∈{−1,0,1}，�=1时，�+�∈{0,1,2}，

所以�∈{−1,0,1}，�=2�+�∈{1,2,3}

所以集�=合{0中,1,的2,3元}素个数为4.

故选：C.�

【题型3集合间的基本关系】

【例3】（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（）

A．B．0�=C2．,41,�,�=�,2�D�．⊆2��=

【答案】C−1

【解题思路】利用集合之间的关系，得出或，求解后，需要留意元素的互异性即可．

【解答过程】由于，故2�=2，2�=4

由知�或={�,2�}，�≠2�,∴�≠0

即�⊆�或2�=，22�=4

注意�=到1�=，2故由元素互异性知，故，

故选：C2．∈��≠2�=1

【变式3-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取

值范围是（）�={−2,0,1}�={�4−��>0}�⊆�

A．B．C．D．

【答案】D(−2,+∞)(−∞,4)(−∞,−2)∪(4,+∞)(−2,4)

【解题思路】根据集合的包含关系直接得到答案.

【解答过程】因为，所以解得，

4+2�>0,

�⊆�−2<�<4

即a的取值范围是.4−�>0,

(−2,4)

故选：D.

【变式3-2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（）

2

A．或3B．0或�C．=31,2�+3,�=1,D�．�=��

【答案】C−1−1−1

【解题思路】根据题意集合相等，元素相同且同一集合元素互异求解即可.

【解答过程】解：因为集合，，

2

�=1,2�+3,�=1,��=�

所以2，解得.

�=2�+3

2�+23≠1�=3

故选：C�.≠1

【变式3-3】（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（）

��

�=��=2,�∈Z�=��=4,�∈Z

A．B．C．D．

【答案】A�⊆��⊆��=��∩�=∅

【解题思路】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系.

【解答过程】因为集合,，则

�2��

�=��=2,�∈Z=��=4,�∈Z�=��=4,�∈Z

.

�故⊆选�：A.

【题型4集合的交、并、补运算及其求参问题】

【例4】（2025·吉林松原·模拟预测）若集合，，则（）

A．�=B．�|−2≤�≤0�=�|−1≤�≤2�∩�=

C．−2,2D．−1,0

【答案】B−2,0−1,2

【解题思路】根据集合交集运算求解即可.

【解答过程】因为集合，，

所以�=�|−2≤�≤．0�=�|−1≤�≤2

故选：�∩B．�=�∣−1≤�≤0=[−1,0]

【变式4-1】（2025·云南·模拟预测）若全集，集合，则

（）�={�∈�∣0<�<7}�=1,3,4,5,6,�=1,2,4,5�∩

∁��A．=B．C．D．

1,222,36

【答案】B

【解题思路】根据集合的交并补运算易得.

【解答过程】由题意，得，所以，

又，则�=1,2,3,4.,5,6∁��=2

故选�=：B1.,2,4,5�∩∁��=2

【变式4-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（）

A．B．C．�={�|2<�<5},D�．={�|�<3}�∪�=

【答案】D−∞,32,+∞2,3−∞,5

【解题思路】根据并集的定义求解．

【解答过程】由已知，

故选：D．�∪�={�|�<5}=(−∞,5)

【变式4-3】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，

则实数的取值范围是（）�={�∣−2≤�<1},�=�,3�∩�

A．�B．C．D．

【答案】C(−2,1)[−2,1][−2,1)(−2,1]

【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可.

【解答过程】由的元素个数是一个，且，得，则，

所以实数的取�值∩范�围是.3∉��∈�−2≤�<1

故选：C.�[−2,1)

【题型5集合的新定义问题】

【例5】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合

�2

�⊕�=�,�2∈�,�∈��=�=�∈N1<

，，则（）

15

�<4�=�,��=−6�+3�⊕�∩�=

A．B．

∅4,1

C．D．

22

1,34,1,6,3

【答案】D

【解题思路】求出后可求得，故可得正确的选项

2

�,��⊕�∩�=4,1,6,3

【解答过程】由题设可得，，

22

�=�=2,3�⊕�=4,1,4,3,6,1,6,3

因为，，，，

1521515215

1=−6×4+33≠−6×4+31≠−6×6+33=−6×6+3

故，

2

�⊕�∩�=4,1,6,3

故选：D.

【变式5-1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影

部分表示的集合.若集合，集合，则集合（）�⊗�

�=[0,2]�={�|�>1}�⊗�=

A．

B．{�|0<�<2}

C．{�|1<�或≤2}

D．{�|�≤1�≥或2}

【答案】D{�|0≤�≤1�>2}

【解题思路】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.

【解答过程】集合，集合，则，

由韦恩图得�=[0,2]�={�|�>1}或�∪�.={�|�≥0},�∩�={�|1<�≤2}

故选：D.�⊗�=∁�∪�(�∩�)={�|0≤�≤1�>2}

【变式5-2】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记

*

为集合中的最大元素，�则={1,2,3,4,5}（）�1,�2,⋯,���∈N.��

A．�1�(0�=1,2,3,⋯,�B)．40�1C+．�245+�3+⋯+�10=D．50

【答案】C

【解题思路】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可.

【解答过程】由题知：

�1=1,2,3,�1=3，,�2=1,2,4,�2=4，,

�3=1,2,5,�3=5,，�4=2,3,4,�4=4，�5=2,3,5,�5=5

�6=2,4,5,�6=5，�7=3,4,5,�7=5，，

�则8=1,4,5,�8=5�9=1,3,5,�9=5�10=1,3,4,�10=4

故选�1：+C�.2+⋯+�10=3+4×3+5×6=45

【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积

现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员

需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的

有序对组成的集合叫作与的�笛卡�尔积�，又称直积，记为�．即且．关于

任意非空集合，，�，下�列说法一定正确的是（）�×��×�=�,��∈��∈�

A．���B．

��=�����=���

C．D．

�×�∪��×�∪�×��×�∩�=�×�∩�×�

【答案】D

【解题思路】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D.

【解答过程】对于A，若，则，

A错误；�=1,�=1,2�×�=1,1,1,2,�×�=1,1,2,1,�×�≠�×�

对于B，若，则，

而�=1,�=2,�=3�×�=1,2,，�B×错�误；×�=1,2,3

对于�×C，�若×�=1,2,3,�×�，×则�≠�×�×�，

�=，1,�=2,�=，3�×�∪�=1,2,1,3，C错误；

�对于×�D，=任1取,2元素�×�=1,3�，×则�∪�且=�×�∪，则�×�且，

于是且�,�∈�×�∩，�即�∈��∈�∩��，∈��∈�

反之若�,任�取∈元�素×��,�∈�×��,，�则∈�×�∩�且×�，

因此，�,且�∈�，×即�∩�且×��，,�∈�×��,�∈�×�

所以�∈��∈��∈，�即�∈��∈�∩�，D正确.

故选：�,D�.∈�×�∩��×�∩�=�×�∩�×�

【题型6充分条件与必要条件】

【例6】（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件�<�B．�必<要�不充�分+条�件<�+�

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.

【解答过程】若，，则，所以是的充分条件，

若�<��<�，满�足+�<�+�，而�<�，�所+以�<�+�不能推出，

�=1,�=5,�=2,�=−1�+�<�+��>��+�<�+��<�

综上，是的充分不必要条件.

故选：A�.<��+�<�+�

【变式6-1】（2025·浙江宁波·一模）下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（）

A．B．C．�>�D．

33

【答案】B�−1≥��+1≥�|�|>|�|�>�

【解题思路】由充分必要条件的定义逐项判断即可.

【解答过程】对于A，，而不能推出，例如而.

所以是�的−充1分≥不�必⇒要�条>件�，故�A>不�正确�−1≥�4>3.54−1<3.5

对于�B−，1≥��>不�能推出，例如，但；而

所以�+1是≥�的必要�不>充�分条件，3.5故+B1正≥确4.3.5<4�>�⇒�+1≥�

对于�C+，1≥��不>能�推出，例如但；不能推出，例如，但

.所以|�|>|�|是的�既>不�充分也−不4必>要|3条|件−，4故<C3错�误>.�|�|>|�|2>−32<

对−于3D,因|为�|>|�|是�增>函�数，所以，故是的充要条件.所以D不正确.

33333

故选：B.�=��>�⇔�>��>��>�

【变式6-2】（2025·辽宁大连·一模）已知函数，，对于，若命题，

���

命题，则p是q的（）��=��>1�∈R)�,�∈R�:�>�

A�．:�充>要�条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】由充分条件和必要条件的单调性结合指数函数的单调性即可得出答案.

【解答过程】因为函数，所以在上单调递增，

�

所以由，能推出�>1，��=�R

��

又因为�>�，所以�>，�

��

所以p�是>q的�充要条�件.>�

故选：A.

【变式6-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，

是的充分不必要条件，则是的（）�∈��∈�

�∈�A．�充∈分�不必要条件�∈��B∈．�必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即

可得.������

【解答过程】由是的充分不必要条件，即是的真子集，

由是�的∈充�分不�必∈�要条件，即是的真子集�，�

所以�∈是�的�∈真�子集，即是的�充分�不必要条件.

故选：�A�.�∈��∈�

【题型7全称量词与存在量词】

【例7】（2025·甘肃武威·模拟预测）命题“，”的否定为（）

2

A．，∃�∈B．0,+∞�−，2�+�≤0

22

C．∃�∈0,+∞，�−2�+�>0D．∃�∈0,+∞，�−2�+�≤0

22

【答案】∀C�∈0,+∞�−2�+�>0∀�∈0,+∞�−2�+�≤0

【解题思路】由存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解.

【解答过程】命题“，”的否定为“，”.

22

故选：C.∃�∈0,+∞�−2�+�≤0∀�∈0,+∞�−2�+�>0

【变式7-1】（2025·陕西榆林·一模）已知命题：；命题：，则（）

2

A．和都是真命题�B．∀�∈和R,都�是+真1命>题1�∃�>0,�>�

C．�和�都是真命题D．¬�和�都是真命题

【答案】�B¬�¬�¬�

【解题思路】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题的真假，即可求解

【解答过程】命题：，当时，，故为假�,命�题；

命题：�∀�，∈当R,�+1或>1时，�=0，故�+为1真命=题1；

22

所以，�∃�和>都0,是�真>命�题，�>和1是�假<命0题.�>�

故选：B¬.��¬��

【变式7-2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知命题，，则为（）

2

A．，B．�:∀�∈0,+，∞3�−2ln�−5>0¬�

22

C．∀�∈0,+∞，3�−2ln�−5≤0D．∃�∈0,+∞，3�−2ln�−5>0

22

【答案】∃D�∉0,+∞3�−2ln�−5≤0∃�∈0,+∞3�−2ln�−5≤0

【解题思路】利用全称量词命题的否定可得出结果.

【解答过程】命题，为全称量词命题，

2

该命题的否定为�:∀�∈0,+∞，3�−2ln�−5>0，

2

故选：D.¬�:∃�∈0,+∞3�−2ln�−5≤0

【变式7-3】（2025·陕西延安·模拟预测）已知命题；命题，则（）

232

A．和都是真命题B．�:∀和�∈都R是,(真�+命1题)>0�:∃�>0,�=�

C．�和�都是真命题D．¬�和�都是真命题

【答案】�B¬�¬�¬�

【解题思路】根据题意，利用全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐个判定命题的真假，即可得到答案.

【解答过程】由，所以命题为假命题，则命题为真命题；

22

又由当时∀，�∈R,(�，+所1)以≥命0题�:∀�∈为R,真(�命+题1)，>则0为假命题.¬�

3232

故选：B�.=1�=��:∃�>0,�=�¬�

考点一集合

一、单选题

1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（）

A．B．�={�∣2C�．−1>5},�={1,2,3}D．�∩�=

【答案】{D1,2,3}{2,3}{3}∅

【解题思路】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.

【解答过程】因为�，所以，

故选：D.�=�|2�−1>5=�|�>3�∩�=∅

2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（）

A．B．�=1,2C,3．,4,5,�=1,3,�=2D,3．,5∁��∪�=

【答案】D1,2,3,42,3,42,44

【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解.

【解答过程】由，则，

集合�=，1,3,�=2,3,5�∪�=1,2,3,5

故�=1,2,3,4,5

故选∁�：�D∪.�=4

3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（）

3

A．�=B{．−4,0,1,2,8},�=�∣�=�,�∩�=

C．{0,1,2}D．{1,2,8}

【答案】{2D,8}{0,1}

【解题思路】求出集合后结合交集的定义可求.

【解答过程】�，故�∩�，

3

故选：D.�=�|�=�=0,−1,1�∩�=0,1

4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合是小于的正整数，，则中元素个数为

（）�={��9}�={1,3,5}∁��

A．0B．3C．5D．8

【答案】C

【解题思路】根据补集的定义即可求出．

【解答过程】因为，所以，中的元素个数为，

故选：C．�=1,2,3,4,5,6,7,8∁��=2,4,6,7,8∁��5

5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（）

A．�={�|−B．3<�<1}�={�|−1≤�<4}�∪�=

C．�−1≤�<1D．��>−3

【答案】�C|−3<�<4��<4

【解题思路】直接根据并集含义即可得到答案.

【解答过程】由题意得.

故选：C.�∪�=�|−3<�<4

6．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（）

A．B．�=1C,2．,3,4,5,9�=��+D1．∈��∩�=

【答案】C1,2,33,4,91,2,3,42,3,4,5

【解题思路】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【解答过程】依题意得，�对于集合中的元素，满足，

则可能的取值为，即��，�+1=1,2,3,4,5,9

于是�0,1,2.,3,4,8�={0,1,2,3,4,8}

故选：�∩C.�={1,2,3,4}

7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（）

A．B．�=C．1,2,3,4,5,9,�=��D∈．�∁��∩�=

【答案】D1,4,93,4,91,2,32,3,5

【解题思路】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.

【解答过程】因为��，所以，

则�，=1,2,3,4,5,9,�=��∈��=1,4,9,16,25,81

故选�∩：�D=.1,4,9∁��∩�=2,3,5

8．（2024·天津·高考真题）集合，，则（