2026年高考数学复习讲练测专题01 集合、常用逻辑用语（北京专用）（原卷版）

专题01集合、常用逻辑用语

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

【选填题破译】

题型01集合的交并补混合运算

题型02元素与集合的关系

题型03集合间的基本关系

题型04根据集合的关系求参数问题

题型05集合中的创新问题

题型06判断命题的充分条件、必要条件

题型07全称量词命题、存在量词命题

【解答题破译】

题型01集合的新定义问题

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01集合的交并补混合运算

【例1-1】（2025·北京海淀·三模）Ax1x2，Bxx0，则AB等于（）

A．xx1B．x1x0

C．x0x2D．x0x2

2

【例1-2】（2025·北京·三模）已知集合Axxx0，Bxx10，那么集合AB（）

A．1,B．1,1C．1,01,D．1,

求集合交、并、补集的2种方法：

（1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的

结果．

（2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，

应用“空心点”表示．

【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）已知集合Ax1x2，Bxx1x30，则AB（）

A．x1x1B．x1x2C．x1x2D．x1x3

【变式1-2】（2025·安徽·二模）已知集合Axlog2x1，Bxx2，则（）

�

A．{x∣0x2}B．x∣0x2�∩∁�=

C．{x∣2x2}D．

题型02元素与集合的关系

【例2-1】（2025·江苏·模拟预测）已知集合A,B满足AB{1,2},AB{1,2,3,4}，若4A，则必有（）

A．3AB．3AC．4BD．4B

2

【例2-2】（2025·河北·模拟预测）已知集合MxQx2x30，aM，则（）

A．2MB．1,0MC．a21D．a29

1.判断元素与集合关系的方法：

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此

时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．

注意：在判断元素与集合关系的题型中，需要验证集合的互异性，集合中的元素不能重复，所以求出元素

后一定要验证是否符合集合的基本性质。

2

【变式2-1】（2025·河北·模拟预测）已知集合MxQx2x30，aM，则（）

A．2MB．1,0MC．a21D．a29

ð

【变式2-2】（2025·重庆·二模）已知全集U1,2,3,4,5，集合M满足UM1,2,5，则（）

A．3MB．2MC．5MD．

题型03集合间的基本关系4∈�

【例3-1】（2025·北京·二模）已知集合Axx22x0，集合Bxx10，那么（）

ð

A．ABB．ABC．BAD．RAB

【例3-2】（2025·广东江门·模拟预测）若集合A1,2,3，B1,2，则（）

A．ABB．BA

C．AB2D．AB2,1,2,3

判断集合间关系的方法：

（1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．

（2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．

（3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系．

注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.

【变式3-1】（2025·广西·模拟预测）已知集合AxZ|x3k2,kZ,BxZ|x6k1,kZ，则

（）．

A．ABB．ABC．BAD．AB

【变式3-2】（2025·安徽·一模）已知全集为R，集合Ax|2x2，集合Bx|x240，则下

列关系正确的是（）

A．ABB．BA

ðð

C．RABD．ARB

题型04根据集合的关系求参数问题

【例4-1】（2025·江苏南京·三模）设集合A0,a，B1,a2,2a2，若AB，则a（）．

2

A．2B．1C．D．1

3

【例4-2】（2025·浙江丽水·一模）已知集合A{x∣2x1},Bm,3，且AB的元素个数是一个，则

实数m的取值范围是（）

A．(2,1)B．[2,1]C．[2,1)D．(2,1]

求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路如下:

①将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之

间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。

②将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。

【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）设a,bR,P1,a,Q1,b，若PQ，则ab（）

A．2B．0C．1D．2

【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）若集合A{x|1x5}，B{x|axa3}，且AB{x|2x5}，

则a（）

A．2B．2C．2D．2或0

题型05集合中的创新问题

*

【例5-1】（2025·北京·模拟预测）集合A{1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B1,B2,,BnnN.记bi

为集合中的最大元素，则（）

Bi(i1,2,3,,n)b1b2b3b10

A．10B．40C．45D．50

【例5-2】（2025·上海金山·一模）已知四边形A1A2A3A4为平行四边形，集合

∣、、

ΩAiAjij,ij1,2,3,4,M1,M2,,Mk均为集合的四元子集，若对于任意mn1,2,,k，当

mn时，MmMn中的元素个数都不超过2个，则正整数k的最大值为．

对于几何中的创新问题，重点在理解与转化

1.精准识别新定义：问题核心通常围绕一个或多个新定义（如新运算、新关系、新集合类型）展开。第一步

是逐字解析，明确其规则、边界条件和数学实质。

2.类比与联想：将新定义与已知的集合概念（如并、交、补、子集、映射、等价关系等）进行类比，寻找相

似结构或运算规律，实现知识迁移。

3.符号化与形式化：用标准集合符号（∈,,∪,∩,\等）和数学语言重新表述新定义，将其转化为清晰的逻

辑语句或代数表达式。⊆

4.构造与反例：验证性质时，若需证明“存在性”，常尝试构造具体实例；若判断真伪，寻找反例是关键方法。

x2

【变式5-1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：ABx,yA,B.若集合

2y

15

ABxN1x4，Cx,yyx，则ABC（）

63

A．B．4,1

22

C．1,D．4,1,6,

33

【变式5-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集A，定义集合MmRaA,都有ma，若M是

非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA.以下说法正确的是（）

A．若数集A中有2025个元素，则supA一定存在

B．若数集A中没有最大值，则supA不存在

C．若数集A，B有上确界，则数集ab∣aA,bB一定也有上确界，为supAsupB

D．若数集A，B有上确界，则数集ab∣aA,bB一定也有上确界，为supAsupB

题型06判断命题的充分条件、必要条件

【例6-1】（2025·北京延庆·三模）已知等比数列an单调递减，各项均为正数，前n项的乘积记为Tn.则

“a3a13a9”是“Tn有唯一的最大值T7”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

【例6-2】（2025·北京海淀·三模）在ABC中，“cosAcosBsinAsinB”是“ABC为锐角三角形”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

对判断命题的充分条件、必要条件题型的方法：

1、先分辨出题目中的条件部分与结论部分

2、命题判断法：

①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件；

②如果命题：“若�，则�”为假命题，那么�不是�的充分条件，同时��也不是的必要条件．

3、集合法：（小集合�可以推�出大集合）若对应�的集�合为，对应的集合�为，�若，则是的充分条

件；若，则是的必要条件．�����⊆���

�⊆���

【变式5-1】（2025·北京·三模）设a,b,c是非零平面向量，则“abcbca”是“abc”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【变式6-2】（2025·北京大兴·三模）已知数列an为无穷等比数列，Sn为其前n项和，“存在M10，对于

**

任意的n

N，anM1”是“存在M20，对于任意的n

N,SnM2”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

题型07全称量词命题、存在量词命题

【例7-1】（2025·云南·一模）已知命题“x[2,3],2xa0”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A．(,4)B．(4,)C．(,6)D．(6,)

【例7-2】（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在R上的函数fx，则命题“M0，xR，fxM”

的否定为（）

A．M0，xR，fxMB．M0，xR，fxM

C．M0，xR，fxMD．M0，xR，fxM

1、对全称量词命题、存在量词命题的判断：来自推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明。

2、对全称量词命题、存在量词命题的否定：将与互换。将结论P(x)否定，定义域D保持不变。

∀∃

【变式7-1】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“xR，使x2xa20”是假命题，则实数a的取值范围

是（）

9

A．,0B．0,4C．4,D．,

4

π142

【变式7-2】（2025·安徽·模拟预测）若“0,,m1恒成立”为真命题，则实数m的

2sin2cos2

取值范围是.

题型01集合的新定义问题

【例1-1】（2025·北京延庆·三模）已知数集Aa1,a2,...,an(1a1a2...an,n2)具有性质P:对任意的

k(2kn)，i,j(1ijn)，使得akaiaj成立.

(1)分别判断数集{1,2,3,6,10}与{1,2,4,5,9}是否具有性质P，并说明理由;

(2)求证an2a1a2...an1(n2);

(3)若an36，求数集A中所有元素的和的最小值.

(4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式.

【例1-2】（2025·北京海淀·三模）设n3和M均为正整数，Q:A1,A2,,An是两两不同的M元集合组成的

集合序列，若存在i,j,k1,2,,n，使得AiAjAjAkAkAi，就称Q中存在“三叶草”，并称i,j,k

为Q中的一片三叶草．

(1)若n5,M2，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草：

Q1:1,3,1,4,2,3,2,4,1,5，

Q2:1,2,2,3,3,4,4,5,1,5；

(2)若n16,M4,Q:A1,A2,,A16满足Aipi,qi,ri,si，其中pi1,2,qi3,4,si5,6，

ri7,8,i1,2,,16，证明：Q中不存在三叶草；

(3)若n2MM!，其中M!MM121，证明：Q中一定存在三叶草．

特征：题干定义一个或多个陌生概念（新集合、新运算、新关系、新性质），要求在此基础上进行推理、

判断或证明。

总纲：解题过程即“翻译—探究—建模—应用”的循环。关键在于将陌生情境转化为熟悉语言，并用数学工

具进行系统化研究。

，

【变式1-1】（2025·北京·三模）已知整数数列anbn的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质：

①0a1a2amQ,0b1b2bmQ；

②a1a2amb1b2bm.

∣∣∣∣∣∣

记Sa1b1a2b2ambm.

,,,

(1)若m=3，且a11,a37b13b24b36，写出a2,S的值；

∣，∣，

(2)记umaxakbk1km,kZvmaxbkak1km,kZ其中maxA表示集合A中元素的最大值.

（i）若m3，Q5，求uv的最大值；

（ii）当m10时，若S100，求Q的最小值.

【变式1-2】（2025·北京海淀·二模）记M表示有穷集合M的元素个数．已知m,n是正整数，集合

S1,2,,n．若集合序列Q:A1,A2,,Am满足下列三个性质，则称Q是“平衡序列”：

①Ak2，其中k1,2,,m；

②AkS，其中k1,2,,m；

③对于⫋S中的任意两个不同元素i,j，都存在唯一的k1,2,,m，使得i,jAk．

(1)设mn5，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）

Q1:1,2,1,3,4,5,2,3,2,4,2,5

Q2:1,2,3,1,4,5,2,4,3,4,3,5

∣

(2)已知n3且集合序列Q:A1,A2,,Am是“平衡序列”，对于i1,2,,n，定义：BikiAk,k1,2,,m.

证明：

（i）当1A1时，B1A1；

（ii）mn．

1．（2025·广东·模拟预测）已知集合A2,4,a,Ba,2a，若BA，则a（）

A．1B．0C．1D．2

2

2．（2025·四川南充·一模）已知集合AxZ1x4,Bxx3x40，则AB（）

A．x1x4B．x1x4C．1,2,3D．1,2,3,4

ð

3．（2025·河南·模拟预测）已知全集UxN1x10，集合AxN3x7，则UA（）

A．1,2,8,9B．1,2,8,9,10C．1,8,9,10D．3,4,5,6,7

4．（2025·四川成都·一模）已知a，b为非零向量，则“存在实数，使ab”是“abab”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

x

5．（2025·山东济南·二模）已知集合Ax,y