2026年高考数学复习讲练测专题 07 解三角形（高频考点专练）（解析版）

专题07解三角形

目录

高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

聚焦题型精准解密（8大题型精讲+变式拔高训练）

题型一利用正弦定理解三角形（）​

题型二正弦定理与三角形解的存在性和个数（）​

题型三利用余弦定理解三角形（）

题型四三角形中的几何计算（）​

题型五解三角形面积与周长（）

题型六解三角形的实际应用（）​

题型七解三角形的最值问题（）

题型八三角函数与解三角形的综合（）

实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

有关解三角形的北京高考试题，解三角形一般以课程学习基础内容为主;大题一般以边角互化为主,求算面积、

周长及边长,作为载体的三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点:

(1)熟练掌握正余弦定理及变形，巧妙的进行变角互化，做到灵活驾驭;(2)求算三角形面积周长问题时优先

考虑全部换成边好呢还是角好呢，选择合适的条件,快速求解，同时也要注意三角形内部的隐含条件及余弦

正负号的准确判断，同学们也要加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学

探索的学科素养的培养

基础知识必备：熟练正余弦定理边角互换；三角形面积公式的应用；三角恒等变换化简问题

2026高考预测：解三角形小题一般求三角形解的个数、边或角,突出基础性，大题一般侧重面积与周长定值

（主要）与最值的问题

重难知识汇总：

1.正弦定理

abc

正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：

sinAsinBsinC

（1）正弦定理适合于任何三角形；

abc

（2）可以证明2R（R为ABC的外接圆半径）；

sinAsinBsinC

（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．

（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．

2.余弦定理

三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

余弦定理的变形公式：

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

cosA,cosB,cosC

2bc2ac2ab

3.三角形中定值面积求算

三角形面积公式

111

①SabsinC,SacsinB,SbcsinA

ABC2ABC2ABC2

11

②Srabcrl其中r,l分别为ABC内切圆半径及ABC的周长

ABC22

推导：将ABC分为三个分别以ABC的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法

即可得到上述公式

2abc

③S2RsinAsinBsinC（R为ABC外接圆的半径）

ABC4R

12sinBsinC2

推导：将a2RsinA代入Sa可得S2RsinAsinBsinC

ABC2sinAABC

将代入2

a2RsinA,b2RsinB，c2RsinCSABC2RsinAsinBsinC

abc

可得S

ABC4R

12sinBsinC12sinAsinC12sinAsinB

④Sa,Sb,Sc

ABC2sinAABC2sinBABC2sinC

1

⑤海伦公式Sppapbpc（其中pabc）

ABC2

a2b2c2

推导：根据余弦定理的推论cosC

2ab

2

111a2b2c2

2

SABCabsinCab1cosCab1

2222ab

1221

2aba2b2c2abcbcacababc

44

1

令pabc，整理得Sppapbpc

2ABC

4.三角形中周长定值求算

类型一：已知一角与两边乘积模型

第一步：求两边乘积

第二步：利用余弦定理求出两边之和

类型二：已知一角与三角等量模型

第一步：求三角各自的大小

第二步：利用正弦定理求出三边的长度

常用技巧方法：

1.利用余弦定理解三角形

利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；

②已知三角形的三条边，求其三个角．

2.正弦定理在解三角形中的应用

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

3.利用正、余弦定理解三角形

已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边

时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．

在ABC中，已知a,b和A时，解的情况主要有以下几类：

absinA无解

absinA一解(直角)

①若A为锐角时：

bsinAab二解(一锐，一钝)

ab一解(锐角)

absinAab

一解一解

bsinAababsinA

两解无解

ab无解

②若A为直角或钝角时：

ab一解(锐角)

4.三角形的形状的判定

特殊三角形的判定：

（1）直角三角形

勾股定理：a2b2c2，

互余关系：AB900，cosC0，sinC1；

（2）等腰三角形

ab，AB；

用余弦定理判定三角形的形状（最大角A的余弦值的符号）

b2c2a2

（1）在ABC中，00A900cosA0b2c2a2；

2bc

b2c2a2

（2）在ABC中，A900cosA0b2c2a2；

2bc

b2c2a2

（3）在ABC中，900AcosA0b2c2a2；

2bc

5.解三角形应用题的步骤

解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题

时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：

（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关

系；

（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；

（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；

（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．

核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?

⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角

⑵当每一项都有角《sin》且次数一样时，采用角化边

⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题

⑷当每一项都有角《sin》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可

易错避坑提效：

1.忽视三角形三角间的联系与范围限制

在解答过程中易忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思路受阻或解答出

现增解现象.

2.利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个

数。

正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定

理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其

中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间0,内不严格格单调，此时三角形解的情况

可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。

3.解三角形时，在ABC中忽视cosA0的解

解题时容易习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当abac(a0)此时，可以左右两边约去

a，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记。

题型一利用正弦定理解三角形​

π7π

【例1】（2024·北京东城·二模）在ABC中，A，C，b2，则a（）

412

A．1B．2C．3D．2

【答案】D

π

【分析】由题意可得：B，结合正弦定理运算求解.

6

π

【详解】由题意可得：BπAC，

6

2

2

abbsinA

由正弦定理可得a22.

sinAsinBsinB1

2

故选：D.

π1

【变式1-1】（23-24高三上·北京朝阳·期末）在ABC中，若a2,A,cosC，则c（）

63

32838

A．B．C．D．

3393

【答案】D

【分析】利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理来求得正确答案.

2

1122

【详解】由于cosC0，所以C为钝角，所以sinC1，

333

ac2c228

,,c22

由正弦定理得sinAsinC12233.

23

故选：D

7

【变式1-2】（2022·北京丰台·一模）在△ABC中，a2,b3,cosB，则A（）

4

55

A．B．C．D．或

63666

【答案】A

【分析】先求出sinB，再借助正弦定理求解即可.

223

773ab1

【详解】由cosB得sinB1，由正弦定理得，sinA3，解得sinA，

sinAsinB2

4444

又ac，故AC，A.

6

故选：A.

1

【变式1-3】（24-25高三上·北京西城·期末）在ABC中，若a3，b4，cosB，则sinA.

4

3153

【答案】/15

1616

15

【分析】根据同角三角函数关系得sinB，最后利用正弦定理即可解出sinA.

4

2

1115

【详解】因为cosB，B为三角形内角，则sinB1，

444

34

ab315

则由正弦定理得，即sinA15，解得sinA.

sinAsinB16

4

315

故答案为：.

16

题型二正弦定理与三角形解的存在性和个数​

【例2】（23-24高一下·北京大兴·期中）在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，给出下

列四个条件：

①a4，b5，A45；②a5，b6，c8；

③a6，b63，C105；④a23，b5，A60．

能判断三角形存在且有唯一解的是（）

A．①④B．②③

C．①②③D．②③④

【答案】B

【分析】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假．

【详解】①中，a4，b5，A45，

45

ab52252

由正弦定理可得，即2sinB，可得sinB，1

sinAsinB

2828

因为角A为锐角，所以角B有两解，所以①不正确；

②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确；

③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确；

b535

④中，由正弦定理可得sinBsinA1，所以不存在这样的三角形，所以④不正确．

a2324

故选：B．

π

【变式2-1】（25-26高三上·北京·月考）在ABC中，已知A，b2，am，若ABC存在且唯一，

5

则m的一个整数取值为．

【答案】2（答案不唯一，满足m2,3,即可）

π

【分析】法一，根据条件，数形结合，即可求解；法二，根据条件，利用正弦定理得2sin，再结合

sinB5

m

π

题设条件得m2sin2,，即可求解.

5

π

【详解】法一：如图，A，b2，要使三角形存在且唯一，则amb2.

5

π

2sin

abm2

法二：由正弦定理，得到sinB5，

π

sinAsinBsinsinBm

5

π4π

又A，则B0,，

55

π

因为三角形存在且唯一，所以当sinB0,sin1时，角B存在且唯一．

5

π

所以m2sin2,，

5

ππ

又12sin2sin2，所以其中一个整数取值为大于等于2的任意整数即可，

65

故答案为：2（答案不唯一，满足m2,3,即可）

【变式2-2】（2023·北京朝阳·一模）在ABC中，a42，bm，sinAcosA0．

（1）若m8，则c；

（2）当m（写出一个可能的值）时，满足条件的ABC有两个．

【答案】426（答案不唯一）

【分析】（1）求出A，再由余弦定理求解即可；

（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出m的范围即可得解.

【详解】（1）sinAcosA0，tanA1，

π

0Aπ，A，

4

2

由余弦定理，a2b2c22bccosA，即3264c216c，

2

解得c42.

π

（2）因为A,,

4a42

所以当bsinab时，方程有两解，

4

即42m8，

取m6即可满足条件（答案不唯一）

故答案为：42；6.

【变式2-3】（22-23高三上·北京大兴·期末）在ABC中，a2，b22.若A，则c；若

4

满足条件的三角形有两个，则A的一个值可以是.

【答案】2

6

【分析】利用正弦定理即可求解.

ab

【详解】（1）由正弦定理，

sinAsinB

222

代入条件得：，

sinsinB

4

解得：sinB1，所以B，

2

所以若A时，ABC为直角三角形，

4

所以ca2.

ab

（2）由正弦定理，

sinAsinB

代入条件化简得：sinB2sinA，

因为0B，所以0sinB1，

所以02sinA1，

2

即0sinA，0A

2

又ab，所以A为锐角，所以A0,，故可取A.

46

故答案为：2；.

6

题型三利用余弦定理解三角形

3

【例3】（2024·北京海淀·二模）在ABC中，AB4,AC5,cosC，则BC的长为（）

4

3

A．6或B．6C．332D．3

2

【答案】A

【分析】根据余弦定理即可求解.

2222

ACCBAB52CB423

【详解】由余弦定理可得cosC,

2ACBC10BC4

23

故2CB15BC180BC6或，

2

故选：A

1

【变式3-1】（2022·北京通州·一模）在ABC中，已知cosA，a23，b3，则c（）

3

△

A．1B．3C．2D．3

【答案】D

【分析】直接利用余弦定理求解即可

1

【详解】因为在ABC中，cosA，a23，b3，

3

△222

所以由余弦定理得abc2bccosA，

1

129c26c，得c22c30，

3

解得c3，或c1（舍去），

故选：D

π

【变式3-2】（2024·北京西城·三模）在ABC中，若c2，a3，A，则sinC，b.

6

31

【答案】/332

33

【分析】在ABC中，运用正弦定理求得sinC，运用余弦定理求得b即可.

32

ac3

【详解】由正弦定理，有πsinC，所以sinC，

sinAsinCsin3

6

2π

由余弦定理a2b2c22bccosA，有3b22222bcos，

6

解得b32.

3

故答案为：，32.

3

【变式3-3】（2023·北京丰台·三模）在ABC中，AC3,BC7,AB2，则AB边上的高等于（）

33263

A．23B．C．D．

222

【答案】B

【分析】根据余弦定理求cosC，再得sinC，利用ABC的面积公式即可求AB边上的高.

【详解】在ABC中，因为AC3,BC7,AB2，

AC2BC2AB297427

由余弦定理得cosC

2ACBC2377

21

因为C0,π，所以sinC=1-cos2C=

7

11

设AB边上的高为h，则SACBCsinCABh，

ABC22

21

3733

所以ACBCsinC733，即AB边上的高等于.

h2

AB22

故选：B.

题型四三角形中的几何计算​

2

【例4】（25-26高三上·北京海淀·期末）在ABC中，CD是AB边上的中线，且CD2,CDA，ABC

3

的面积为23，则BD，AC.

【答案】223

【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理进行求解.

1

【详解】因为CD是AB边上的中线，所以SS3，

BDC2ABC

22

又CDA，所以CDB，

333

113

所以SBDDCsinBDCBD23，所以BD2，

BDC222

所以ADBD2，

所以AC2AD2DC22ADDCcosADC，

即AC244412，所以AC23，

故答案为：2;23

1

【变式4-1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在ABC中，sinA，AB23，D、E分别在边BC、

3

AC上，ECEB，EDBC且DE1.则cosC值是；ABE的面积是.

3727

【答案】/2

366

1

【分析】分析可得AEB2C，EB，在AEB中，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得cosC

sinC

的值；求出EB的长，利用两角和的正弦公式求出sinABE的值，利用三角形的面积公式可求得ABE的面

积.

【详解】因为EBEC，则EBCC，故AEB2C，

DE1

因为EDBC，则D为BC的中点，且EB，

sinEBCsinC

ABBE233

在AEB中，由正弦定理可得，即，

sinAEBsinAsin2CsinC

2333

易知C为锐角，故，可得cosC，

2sinCcosCsinC3

622

所以，sinC1cos2C，则sinAEBsin2C2sinCcosC，

33

1

cosAEBcos2C12sin2C，

3

1622

EBAB，故在ABE中，A为锐角，故cosA1sin2A，

sinC23

7

所以，sinABEsinAEBAsinAEBcosAcosAEBsinA，

9

172

因此，S△ABBEsinABE.

ABE26

372

故答案为：；.

36

【变式4-2】（2023·北京大兴·三模）如图，平面四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，

ABDCBD，ACAD，AEEB3，DE5.

(1)求ADB的面积；

(2)求sinBAC的值及EC的长度.

48

【答案】(1)

5

515

(2)sinBAC，EC

511

3

【分析】（1）根据勾股定理可得AD4，结合sinADE再根据面积公式求解即可；

5

（2）根据等腰三角形性质可得AED2BAC，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得

5

sinBAC，然后根据sinBCEsinCBEBEC，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解

5

EC即可.

【详解】（1）∵ACAD，AE3，DE=5

311348

22，，

AD=DEAE4sinADESABD=DADBsinADB48;

52255

2

433

（2）AEEB，AEDEAB+EBA，sinAED，则cosAED1.

555

3

AED2BAC，cosAED12sin2BAC=，

5

π

BAC0,

2

525

sinBAC，cosBAC1-sin2BAC=，

55

又CBD=ABD=BAC，在BCE中，CBE+BEC+BCEπ

sinBCEsinCBEBEC

53254115

sinCBEcosBECcosCBEsinBEC，

555525

ECBE

由正弦定理可知，，

sinCBEsinBCE

5

3

BEsinCBE515

EC.

sinBCE11511

25

【变式4-3】（2023·北京丰台·二模）在四边形ABCD中，AB1，CDDA2，BC3，再从条件①，条

件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．

(1)求BD的长；

(2)求四边形ABCD的面积．

5

条件①：cosDBC；

3

条件②：DCBDABπ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)选①，BD5；选②，BD7

(2)选①，51；选②，23

【分析】（1）选①，利用余弦定理得到BD5；选②，利用互补得到cosBADcosBCD0，结合余弦

定理列出方程，求出答案；

（2）选①，在（1）的基础上，得到AB⊥AD，结合三角形面积公式求出△ABD和△BCD的面积，相加

2ππ

即可；选②，在（1）的基础上求出BAD和BCD，利用三角形面积公式求出△ABD和△BCD的

33

面积，相加得到答案.

DB2BC2CD2DB2945

【详解】（1）选①，由余弦定理得cosDBC，

2DBBC6DB3

解得BD5，

AB2AD2BD214BD25BD2

选②，在△ABD中，由余弦定理得cosBAD，

2ABAD44

CD2BC2BD249BD213BD2

在△BCD中，由余弦定理得cosBCD，

2CDBC1212

因为DCBDABπ，所以cosBADcosBCD0，

5BD213BD2

即0，解得BD7.

412

2

（2）选①，BD5，sinDBC1cos2DBC，

3

112

故SBDCBsinDBC535，

BCD223

22211

在△ABD中，ABADBD，所以AB⊥AD，故SABDABAD121，

22

所以四边形ABCD的面积为51；

5712π

选②，BD7，故cosBAD，故BAD，

423

π

因为DCBDABπ，所以BCD，

3

1133

故SABADsinBAD12，

ABD2222

11333

SBCCDsinBCD23，

BCD2222

333

故四边形ABCD的面积为23.

22

题型五解三角形面积与周长

1

【例5】（2023·北京房山·二模）在△ABC中，cos2B，c8，b7．

2

(1)求sinC；

(2)若角C为钝角，求△ABC的周长．

43

【答案】(1)

7

(2)18

【分析】（1）用二倍角公式及正弦定理即可求解；

（2）用角C余弦定理即可求出a.

【详解】（1）

11

在ABC中，因为cos2B，所以12sin2B，

22

3

因为0Bπ，sinB0，所以sinB，

2

78

bc

由，得3sinC，

sinBsinC

2

43

解得sinC

7

2

431

（）因为22，C为钝角，所以，

2sinCcosC1cosC1

77

2221

由c2a2b22abcosC，得8a72a7，

7

整理得a22a150，解得a3或a5（舍），所以a3.

所以ABC的周长为abc37818.

【变式5-1】（2025·北京昌平·二模）在ABC中，B为锐角，2asinAcosCcsin2A3a．

(1)求B；

5

(2)若b7,csinB3，求ABC的面积．

2

【答案】(1)B

3

(2)103

【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角；

（2）先根据正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，最后根据三角形面积公式求解.

ac

【详解】（1）由2asinAcosCcsin2A3a及正弦定理，

sinAsinC

得2sinAsinAcosC2sinCsinAcosA3sinA．

因为在ABC中，sinA0，所以2sinAC3．

3

因为ABC，所以sinB．

2

因为B为锐角，所以B．

3

5

（2）由B，且csinB3，解得c5．

32

a2c2b2

由余弦定理cosB，得a25a240，解得a8或a3（舍）．

2ac

113

所以ABC的面积SacsinB85103．

222

【变式5-2】（2025·北京朝阳·二模）在ABC中，ac25，且tanB2，则sinB；ABC

面积的最大值为．

25

【答案】5

5

【分析】利用同角三角函数基本关系求出sinB；利用三角形面积公式及基本不等式求出最大值.

25

【详解】在ABC中，由tanB2，得sinB2cosB0，而sin2Bcos2B1，所以sinB；

5

155ac2

ABC的面积SacsinBac()5，当且仅当ac5时取等号，

ABC2552

所以ABC面积的最大值为5.

25

故答案为：；5

5

【变式5-3】（2025·北京·三模）在△ABC中,a2b2abc2,sinC3sinB.

(1)求∠B；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长.

条件①:ab；

33

条件②：△ABC的面积为；

4

3

条件③：AC边上的高等于.

2

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

π

【答案】(1)

6

(2)答案见解析

【分析】（1）由余