2026年高考数学复习讲练测查漏补缺04 平面向量（4大考点+17种题型突破）（原卷版）

查漏补缺04平面向量

（4大考点+查补知识点+17种题型突破）

内容导航

漏洞扫描通法锤炼能力强化

考点查缺

漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础

题型突破

考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁

融会贯通

实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合

考点01平面向量的概念及线性运算

1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．

2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：

三角形法则a＋b＝b＋a；

加法求两个向量和的运算

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

平行四边形法则

向量a加上向量b的相反向量

减法叫做a与b的差，即a＋(－b)a－b＝a＋(－b)

＝a－b三角形法则

(1)模：|λa|＝|λ||a|；

设λ，μ是实数．

(2)方向：

(1)λ(μa)＝(λμ)a

当λ>0时，λa与a的方向相

实数λ与向量a的积是一个(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ

数乘同；

向量，记作λaa

当λ<0时，λa与a的方向相

(3)λ(a＋b)＝λa＋λ

反；

b.

当λ＝0时，λa＝0

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

1．零向量与任何向量共线．

a

2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±.

|a|

→→→→→→

3．若存在非零实数λ，使得AB＝λAC或AB＝λBC或AC＝λBC，则A，B，C三点共线．

4．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

—→

5．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋

—→—→———→—→

A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

→1→→

6．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．

2

→→→→1→→

7．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝(AB＋AC)．

3

8．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

平行向量有关概念的五个关注点：

1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定

是平行向量，而平行向量未必是相等向量．

aa

4．非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量.

|a||a|

5．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．

1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（）

A．长度一样的两个向量相等B．平行的两个向量为共线向量

C．零向量的大小为0且没有方向D．方向相反的两个向量互为相反向量

2．（25-26高三上·甘肃天水·期末）若a为任一非零向量，b是模为1的向量，下列各式：①ab；②a//b；

③a0；④b1，其中正确的是（）.

A．①④B．③④C．①②③D．②③

3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB2BC2，M，N分别为边AB，CD的中点，

在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（）

A．12对B．18对

C．20对D．24对

4．（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量a，b是单位向量，则“a，b是相等向量”是“a，b的方向相同”

的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

5．（2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量a,b，下列命题中正确的是（）

A．若ab，则abB．若ab，则a//b

C．若ab，则abD．若ab，bc，则ac

6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体ABCDABCD中，E，F分别为棱AA，AB的中点，

与BB相等的向量为，与DA相反的向量为，与EF共线的向量为．

1.一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．

2.在进行向量的线性运算时，要注意运算律的应用.

1

1．（2026高三上·广东·学业考试）如图，在ABC中，BDBC,ABa,ACb，用a,b表示AD，则

3

AD．

2．（2026·江苏南通·一模）在ABC中，AD2DC,BE2EA，则DE（）

12211221

A．ABACB．ABACC．ABACD．ACAB

33333333

3．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量a、b分别表示向东和向北方向走10km，则ab表示（）

A．向东北方向走102kmB．向西北方向走102km

C．向东北方向走20kmD．向西北方向走20km

4．（25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形ABCD中，E为AC的中点，F为CD上更靠近C的三等分

点，且E关于F对称的点为G，则BG（）

14141313

A．ABADB．ABADC．ABADD．ABAD

1231236262

5．（2026·四川绵阳·二模）在ABC中，BDDC，若ABa，ACb，则AD（）

11

A．

abB．ab

22

1111

C．abD．ab

2222

6．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形ABCD中，M为CD的中点．记ABa,ADb，则MB（）

1111

A．abB．abC．abD．ab

2222

1.与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．

2.与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到

同一个平行四边形或三角形中求解．

3.求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．

1．（25-26高三上·江西南昌·期中）在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC3EC，点F是线段DE

的中点，若AFABAD，则（）

384

A．B．1C．D．

473

2．（2025高三·全国·专题练习）在ABC中，点D满足4BD3BC，当点E在线段AD（不含端点A,D）上

移动时，若AEABAC，则．

3．（2026·河北沧州·一模）在ABC中，点D在边AB上，BD3DA，记CBxCAyCD，则x,y分别是（）

A．4,3B．3，4C．4，3D．3，4

4．（2025·四川成都·一模）在平行四边形ABCD中，BC3CE0，F是线段DE的中点，连接BD交AF于

O，若AOmAF，则m（）

342

A．1B．C．D．

433

利用共线向量定理解题的策略

1.a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．

要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．

2.若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

3.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线

且有公共点时，才能得出三点共线．

1．（25-26高三上·内蒙古·期末）设e1,e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2与ne22e1共线，则k

（）

11

A．2B．C．2D．

22

2．（2025高三·全国·专题练习）若向量a，b不共线，且向量ab，a21b同向共线，则（）

111

A．1B．C．1或D．1或

222

uuurrruuurrr

3．（2025高三·全国·专题练习）已知e1,e2是两个不共线的向量，ABe12e2,BC2e1ke2，若A，B，C三

点共线，则实数k的值为（）

A．4B．1C．1D．4

4．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量a,b不共线，AB2a3b，BCa2b，CD5a4b，则

（）

A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线

C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线

5．（2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量a,b，且OAab，OBa2b，OCa3b，

求证：A，B，C三点共线．

考点02平面向量基本定理及坐标表示

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，

使a＝λ1e1＋λ2e2.

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．

1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

22

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1＋y1.

2.向量坐标的求法

（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→22

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x1＋y2－y1.

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

＋＋

x1x2，y1y2

已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为22；已知△ABC的顶点

＋＋＋＋

x1x2x3，y1y2y3

A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为33.

设P1、P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1、P2的任一点，则一定存在实数，使P1PPP2，叫做点

分所成的比。有三种情况：

PP1P2

(内分)0(外分)0(1)(外分)0(10)

，，

（1）定比分点坐标公式：若点P1(x1y1)，P2(x2y2)，为实数，且P1PPP2，

xxyy

则点P坐标为(12，12)，我们称为点P分PP所成的比。

1112

（2）点P的位置与的范围的关系：

①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；

0P1PPP2PP1P2

②当时，PP与反向共线，这时称点为的外分点。

0(1)1PP2PP1P2

MPMP

（3）若P分有向线段PP所成的比为，点M为平面内的任一点，则MP12；

121

MP1MP2

特别地P为P1P2的中点MP.

2

设O是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得

OCOA(1)OB.

1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算．

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决．

1．（2026高三·全国·专题练习）设e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底

的是（）

A．e1与e1e2B．e1e2与e13e2

C．e12e2与3e16e2D．2e13e2与e12e2

2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知ABCD的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若OAa,OBb，

则OM（）

111111

A．abB．abC．abD．ab

222222

3．（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为ABC的重心，若BGBCAG，则（）

3

A．0B．1C．D．3

2

1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它

们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．

2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知

的数量运算．

1．（2026高三上·江西南昌·周测）向量a2,3，b1,2，则ab（）

A．1,1B．1,2C．2,3D．3,3

x

2．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量a(0,1)，b(1,1)，c(1,2)，cxayb，则（）

y

111

A．3B．C．D．

322

3．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知2,m是过A0,2，B1,0两点的直线的一个方向向量，则实数m为

（）

A．4B．1C．1D．4

x2y2

4．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆C:1ab0的右焦点为F，上顶点为A，直线AF交C于另

a2b2

12

一点B．若OFOAOB，则C的离心率为（）

33

1132

A．B．C．D．

3232

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.

(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．

1．（2025·四川内江·一模）已知向量a1,2,b1,1，若ab与ab共线，则（）

A．1B．1C．2D．2

2

2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知A0,0，B(,1)，C(,2)，D(2,1)，若AB与DC共线，则（）

A．1B．2C．1或2D．2或1

3．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量a2,1，b3,，c2,4，若2ab与b3c共线，则实数

的值为．

常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）进行求解.

1．（25-26高三下·内蒙古包头·期中）已知点A3,1,B6,5，且C为AB上靠近B的三等分点，则C的坐标

为（）

71148

A．0,B．3,C．3,D．6,

3333

2．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点O0,0，向量OA2,3，OB8,3，AP2PB，则P点坐标为（）

A．6,1B．6,1C．4,1D．4,1

3．（2026·湖南永州·一模）设向量OM绕点O顺时针旋转得到向量ON，且3OM2ON2,1，则向量

2

OM（）

15473537

A．,B．,C．,D．,

1313131313131313

考点03平面向量的数量积

→→

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与

b的夹角．

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.

→→→

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A

→—→

和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b

—→

投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

几何表示坐标表示

数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2

22

模|a|＝a·a|a|＝x1＋y1

a·bx1x2＋y1y2

夹角cosθ＝cosθ＝

2222

|a||b|x1＋y1x2＋y2

a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

与的关系≤2222

|a·b||a||b||a·b||a||b||x1x2＋y1y2|≤x1＋y1x2＋y2

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.

(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.

计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

(3)利用基底法求数量积．

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．

1

1．（25-26高三上·云南昭通·期末）设向量，的夹角的余弦值为，且a2，b4，则2abb（）

ab4

A．12B．12C．20D．20

2.（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点O为ABC外接圆的圆心，且AB8,AC6，则AOBC（）

A．14B．7C．7D．14

3．（2026·湖北·二模）如图，ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，

若AD8，BD4，点M为线段CE上的动点，则(AMBC)MD的最大值为（）

64

A．B．21C．24D．40

9

求平面向量的模的方法

①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；

②几何法：利用向量的几何意义；

22

③坐标法：若a＝(x1，y1)，则|a|＝x1＋y1.

1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量e1与e2的夹角为60，则2e1e2（）

A．1B．3

C．2D．7

2．（25-26高三上·山东济宁·期末）已知向量a，b，c在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长

为1，则abc（）

A．8B．43C．213D．215

π

3．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量a(cos,sin),b(1,3)，若a与b的夹角不超过，则|ab|

3

的范围是（）

1313

A．[1,3]B．,C．[1,3]D．,

2244

π

4．（2026·新疆·二模）已知向量am,n,bx,y,e1,0，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足

3

2

b6eb50,则ab的最小值为（）

3333

A．2B．31C．3D．

22

5．（2026·广东湛江·一模）设a,b为单位向量，且ab2，则ab（）

A．1B．2C．3D．2

π

6．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量a与b的夹角为，a(0,1),|b|2，则|2ab|（）

6

A．2B．23

C．843D．843

7．（2026·贵州毕节·一模）已知向量a,b满足a1,2ab4，且a2ba，则b（）

A．5B．10C．5D．10

两个向量垂直的充要条件

（1）a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．

（2）a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

1．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）向量a2,1，b1,2，ck,2，若abc，则k的值

是（）

A．4B．－4C．6D．－6

2．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知向量a2,1,b1,1，若aab，则实数（）

A．1B．2C．3D．5

3．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A关于x轴的对称点为3,4，B2,3，

若OP1OA2OB且有OPOB，则（）

9911

A．B．C．D．

41422

求平面向量的夹角的方法

a·b

①定义法：cosθ＝；

|a||b|

x1x2＋y1y2

②坐标法：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝．

2222

x1＋y1x2＋y2

1．（2026·湖北十堰·一模）若向量a1,2，ba3,0，记a,b，则cos2（）

441010

A．B．C．D．

551010

2．（2026·广东茂名·一模）向量c2a2b，且abc0，则sinac,bc（）

1234

A．B．C．D．

5555

3．（25-26高三上·江苏·月考）已知平面向量a1,m，b1,3，若2abb，则a,b（）

πππ2π

A．B．C．D．

6343

4．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知向量a1,3,b1,2；

(1)求a2b；

(2)若ab//akb，求k的值；

(3)求a与2a2b的夹角的余弦值．

若，与的夹角为，

，ab

ax1,y1bx2,y2

上的；

1.a在b投影：

abxxyy

acos1212

22

bx2y2

上的

2.a在b投影向量：.

babbx1x2y1y2

acos22x2,y2

bbbx2y2

1．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知向量a2,5，b1,3，则ab在a方向上的投影向量的坐标

为．

2．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量a,b满足ab4,b2,2，则a在b方向上投影向量的坐标

为．.

3．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知ABC的外接圆圆心为O，且OAOBOC，则CB在CA上的

投影向量为（）

3311

A．CAB．CAC．CAD．CA

2222

y

4．（25-26高三上·广东汕头·期末）设Ox､Oy是平面内相交的两条数轴，e1､e2分别是与x轴､轴正方向同向

的单位向量，且它们的夹角为60.若向量OPxe1ye2，则把有序实数对x,y叫做OP在坐标系Oxy中的

坐标，即OPx,y.设a3,2,b1,1，则（）

A．a19B．ab1

11

C．a在b上的投影向量的坐标为,D．ab4,1

22

用向量方法解决实际问题的步骤

1．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出

发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度v1的大小为v125km/h，水流速度v2的大小为v25km/h.

设v1，v2的夹角为，当轮船的航程最短时，则cos（）

62612

A．B．C．D．

5555

2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力F1,F2同时作用于某质点上，其中F21,4，若对

该质点再施加一个力F32,1，使该质点恰好处于平衡状态，则cosF1,F3（）

22

A．B．

25

22

C．D．

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