1.3 命题公式与翻译

CHAPTER01命题逻辑1.3命题公式与翻译PROPOSITIONALFORMULASANDTRANSLATION1.3命题公式与符号化1.3.1命题公式▌合式公式的定义

由命题变元、联结词和圆括号，按照一定规则组成的字符串，是命题逻辑中合法的表达式。▌联结词的优先级

规定运算的先后顺序：否定(¬)>合取(∧)>析取(∨)>蕴含(→)>等价(↔)。1.3.2命题符号化▌符号化步骤

1.分析自然语言中的原子命题与联结词；

2.用命题变元表示原子命题；

3.依据语义，用联结词连接变元构成公式。▌实例讲解

将复杂的自然语言陈述句（如“如果明天下雨，那么我就待在家里看书”）转化为严谨的逻辑公式。1.3.3公式的赋值▌赋值的定义

给公式中的每一个命题变元指定一个确定的真值（真T或假F），构成该公式的一个“解释”。▌两类特殊赋值

•成真赋值：使公式真值为真的赋值

•成假赋值：使公式真值为假的赋值定义1.13：命题演算的合式公式(wff)01基础(Basis)单个命题变元本身是一个合式公式。例如：P,Q,R均为最简单的合式公式。02归纳1(InductionI)如果A是合式公式，那么¬A(A的否定)也是合式公式。例如：若P是合式公式，则¬P也是合式公式。03归纳2(InductionII)如果A和B是合式公式，那么(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)都是合式公式。例如：若P、Q是合式公式，则(P∧Q)、(P→Q)等也是。04界限(Boundary)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)所得到的，包含命题变元、联结词和括号的符号串，才是合式公式。辨别合法的命题公式合法的命题公式(Well-Formed)•(P∧Q)→(P∨Q)•¬(P↔Q)•P→(Q∨R)•P∧¬Q→R(根据运算优先级，括号可省略)•P∨Q→R(根据运算优先级，括号可省略)非法的“公式”(Ill-Formed)•P∧→Q(错误：缺少命题变元，联结词使用不当)•(P∧¬Q)∨¬P)↔R(错误：左右括号数量不匹配)•¬P∨(Q,R)(错误：包含不合法的符号“,”)•PQ→T(错误：缺少必要的二元联结词)核心思想：必须严格遵守合式公式(WFF)的递归定义规则，避免语法错误。联结词的运算优先级优先级顺序1.¬(否定)-最高优先级2.∧(合取)-"且"运算3.∨(析取)-"或"运算4.→(条件)-"如果...则..."5.↔(双条件)-"当且仅当"同级处理规则当公式中出现同一优先级的联结词时，遵循“从左到右”的运算顺序进行计算。例如：p∧q∧r等价于(p∧q)∧r括号的作用1.强制优先：括号内的子公式，无论联结词优先级如何，总是最先进行运算。2.改变顺序：利用括号可以打破默认的优先级规则，明确指定运算逻辑。3.书写简化：公式最外层的括号，通常在书写时可以省略。例题1.21：运算顺序解析题目描述：请结合逻辑运算符的优先级规则，分步解析公式¬P∨¬Q→R∧S↔T的运算步骤。01最高优先级：否定¬P和¬Q

(先处理所有单目否定运算)02次高：析取(¬P)∨(¬Q)

(左结合律，处理析取运算)03次高：合取R∧S

(处理右侧的合取运算)04再次：条件((¬P)∨(¬Q))→(R∧S)

(处理蕴含关系)05最低：双条件[上一步结果]↔T

(最后处理等价关系)最终加括号形式：(((¬P)∨(¬Q))→(R∧S))↔T例题1.22：运算顺序解析题目：分析复合命题公式T↔¬P∨(¬Q→R)∧S的运算优先级与加括号步骤。01¬P、¬Q第一步：处理最高优先级的否定(¬)02(¬Q→R)第二步：优先计算括号内的条件运算(→)03((¬Q→R)∧S)第三步：处理合取运算(∧)，高于析取04(¬P)∨((¬Q→R)∧S)第四步：处理低优先级的析取运算(∨)05T↔((¬P)∨((¬Q→R)∧S))第五步：最后处理最低优先级的双条件(↔)最终加括号形式：T↔((¬P)∨((¬Q→R)∧S))如何将自然语言翻译成命题公式？定义：命题的符号化把一个文字描述的命题，写成由命题标识符、逻辑联结词和圆括号表示的标准命题形式，这一转换过程就称为“命题的符号化”。核心原则符号化后的表达式⇌原句语义必须保证二者在逻辑上完全一致，无歧义一般化符号化步骤01明确语义准确理解自然语言

所表达的逻辑关系02拆分原子命题提取基本陈述句

用P,Q,R等符号表示03选择联结词根据逻辑关系连接

原子命题公式例题1.23：命题符号化(1)如果我有智能手机，那么2+3=8。设P：我有智能手机。Q：2+3=8。形式化表示为：P→Q(2)A集合中没有元素，A是空集。设P：A集合中没有元素。Q：A是空集。形式化表示为：P↔Q(3)如果3是合数，则4是素数，并且如果4是素数，则它不能被2整除。设P：3是合数。Q：4是素数。R：4能被2整除。形式化表示为：(P→Q)∧(Q→¬R)(4)如果2+3>5当且仅当5是合数，则2和3都是有理数。设P：2+3>5。Q：5是合数。R：2是有理数。S：3是有理数。形式化表示为：(P↔Q)→(R∧S)例题1.24：复杂句式的符号化背景设定：P：你陪伴我|Q：你代我叫车子|R：我将出去命题01如果你陪伴我并且代我叫辆车子，则我将出去。符号化表达(P∧Q)→R命题02如果你不陪伴我或不代我叫辆车子，我将不出去。符号化表达(¬P∨¬Q)→¬R命题03除非你陪伴我或代我叫车子，否则我将不出去。语义等同：非(P∨Q)→¬R方法一(¬P∧¬Q)

→¬R方法二

(逆否命题)R→(P∨Q)定义1.14：命题公式的赋值设A是一个命题公式，P₁,P₂,...,Pₙ是出现在A中的所有命题变元，给P₁,P₂,...,Pₙ指定一组真值，称为对公式A的一个赋值(也称翻译、解释、指派)。成真赋值(SatisfiedAssignment)若指定的一组值使公式A的值为T(真)，则称这组值为A的成真赋值。成假赋值(FalsifiedAssignment)若指定的一组值使公式A的值为F(假)，则称这组值为A的成假赋值。思考：一个含有n个命题变元的公式，共有多少组不同的赋值？答案：2ⁿ组。(每个变元有真/假2种可能，n个变元总组合数为2×2×...×2(n次))例题1.25：赋值实例设逻辑公式：G=P→(¬Q∧R)赋值1：P=0，Q=1，R=0G=0→(¬1∧0)=0→(0∧0)=0→0=1(真/True)结论：该组赋值为公式G的成真赋值赋值2：P=1，Q=0，R=0G=1→(¬0∧0)=1→(1∧0)=1→0=0(假/False)结论：该组赋值为公式G的成假赋值例题1.26：赋值实例题目：设有命题公式A=¬(P∨Q)→R赋值1：{P=T,Q=T,R=F}A=¬(T∨T)→F=¬T→F=F→F=T(真)结论：{T,T,F}是该公式的成真赋值赋值2：{P=F,Q=F,R=F}A=¬(F∨F)→F=¬F→F=T→F=F(假)结论：{F,F,F}是该公式的成假赋值本节核心要点回顾01.命题公式(wff)由命题变元、联结词和括号按递归规则构成的合法表达式。它是进行逻辑推理的基础语言单位。02.联结词优先级从高到低依次为：¬(否定)>∧(合取)>∨(析取)>→(蕴含)>↔(等价)。

括号可以改变运算的优先级顺序，在复杂公式中起到关键作用。03.