“中点”模型专题复习教学课件2025-2026九年级数学人教版

2026年数学中考复习

——中点模型专题学习目标数学抽象：能从几何图形中识别“中点、中线、斜边中点、弦中点、多中点”等关键条件，抽象归纳出等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线、倍长中线、中位线、垂径定理五类中点模型的结构特征。逻辑推理：能依据中点条件，规范作出辅助线，推理证明模型结论；能运用中点模型进行简单计算、证明与推理，发展严谨的演绎推理能力。几何直观：借助图形、动态演示理解中点模型的构造原理，能通过画图、识图直观感知线段、角、平行、垂直关系，提升空间想象与图形表征能力。数学运算：能结合中点模型性质，进行线段长度、角度、面积、半径等相关计算，提高运算的准确性与简洁性。模型观念与应用意识：建立“遇中点→匹配模型→构造辅助线→解决问题”的思维路径；能在新情境中迁移运用中点模型解决简单综合问题，增强数学建模意识与应用能力。等腰三角形

的三线合一模型一：模型大招——三线合一在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.

【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AD=5，CD=3，则△ABC的面积为

．【典例2】（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为

度．【变式2】（2025•婺城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE＝BE．（1）若∠B＝40°，求∠DAE的度数．（2）若CA＝CE，求∠B的度数．直角三角形斜边

上的中线模型二：在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.模型大招——直角三角形斜边上的中线（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角.模型大招——直角三角形斜边上的中线【典例1】（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（）A．2个

B．3个 C．4个 D．5个【变式1】（2025•德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝（）A．3 B．2 C．1 D．12中位线模型三：有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则模型大招——中位线

倍长中线构造

全等三角形模型四：将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.模型大招——倍长中线构造全等三角形（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.模型大招——倍长中线构造全等三角形【典例1】（2025•南山区校级三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，

，则EF＝

．圆中垂径定理模型五：当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，

，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.模型大招——圆中垂径定理【典例1】（2024•通辽）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（）A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m【典例2】（2025•海