全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第42讲空间点、直线、平面之间的位置关系【答案】听课手册

第42讲空间点、直线、平面之间的位置关系●课前基础巩固【知识聚焦】1.不在一条直线上两个点平行2.这条直线外相交平行3.(1)相交平行任何(2)相等或互补4.10无数0无数【对点演练】1.④[解析]对于①,共线的三点不能确定一个平面,故①错误;对于②,若两个平面有一个公共点,则这两个平面有一条经过该点的公共直线,该交线上有无数个公共点,故②错误;对于③,三条平行直线可能共面,也可能有一条直线在另外两条平行直线确定的平面外,故③错误;对于④,当三条直线两两相交且三个交点不重合时,三条直线共面,当三条直线两两相交于一个点时,这三条直线可能在同一个平面内,也可能不共面,此时其中任意两条直线都可以确定一个平面,共可以确定3个平面,故④正确.故填④.2.直线CD[解析]由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.3.60°或120°[解析]角α的两边和角β的两边分别平行且α=60°,由等角定理可知,β=α或β+α=180°,则β=60°或120°.4.④[解析]依题意,m∩α=A,n⊂α,∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例),m与n一定不平行.故填④.5.∠D1DC,∠D1C1C,∠A1B1B[解析]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥DC,AA1∥DD1,并且∠D1DC与∠A1AB的方向相同,根据等角定理,∠D1DC=∠A1AB,又四边形A1ABB1、四边形D1DCC1都是平行四边形,所以∠A1B1B=∠D1C1C=∠A1AB,所以与∠A1AB相等的角是∠D1DC,∠D1C1C,∠A1B1B.6.(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD[解析](1)由题意知,EF∥AC,EH∥BD,HG∥AC,FG∥BD,且EF=12AC,EH=12BD,HG=12AC,FG=12BD,∴四边形EFGH为平行四边形,∵四边形EFGH为菱形,∴EF=EH,(2)∵四边形EFGH为正方形,∴EF=EH且EF⊥EH,∴AC=BD且AC⊥BD.●课堂考点探究例1[思路点拨](1)欲证B,D,E,G四点共面,观图作出辅助线,只需证GE∥BD,即可得结果;(2)欲证AF,BG,DE三条直线交于一点,先说两线交于一点,即延长AF,BG,设它们交于一点,再证DE经过这个交点,利用三角形相似与相似比,即可得结果.证明:(1)如图①,取AB,AD的中点分别为S,T,连接GS,ET,ST,则ST∥BD,因为四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形,AB=2FG,且AB∥FG,AD∥EF,所以四边形FGSA,FETA均为平行四边形,所以GS∥FA∥ET,GS=FA=ET,所以四边形GETS为平行四边形,所以GE∥TS,所以GE∥BD,所以B,D,E,G四点共面.(2)如图②,延长AF,BG,设它们交于一点S,因为AB∥FG,且AB=2FG,所以△SFG∽△SAB,则SFSA=FGAB=延长AF,DE,设它们交于一点Q,因为AD=2EF,且AD∥EF,所以△QEF∽△QDA,则QFQA=EFAD=综上,S和Q是同一个点,所以AF,BG,DE三条直线交于一点. 变式题证明:(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线,所以EF∥B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以D,B,F,E四点共面.(2)设平面ACC1A1为α,平面BDEF为β,因为Q∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,所以P,Q,R三点共线.(3)因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交,设交点为M,由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于一点.例2[思路点拨](1)由已知,结合正方体的结构特征及基本事实4、异面直线的定义,逐项判断;(2)借助长方体,判断直线a,c的位置关系.(1)D(2)D[解析](1)对于A,如图①,因为PQ∥CD∥AB∥MN,所以M,N,P,Q四点共面,故A不符合题意;对于B,如图②,因为MP∥GH∥EF∥NQ,所以M,N,P,Q四点共面,故B不符合题意;对于C,如图③,因为MP∥KL∥NQ,所以M,N,P,Q四点共面,故C不符合题意;对于D,如图④,因为PQ∈平面MPQ,N∉平面MPQ,M∈平面MPQ,M∉直线PQ,所以MN与PQ是异面直线,故D符合题意.故选D. (2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中.①若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线B1A1记为直线c,此时a和c相交;②若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线DD1记为直线c,此时a和c平行;③若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线C1D1记为直线c,此时a和c异面.故选D.变式题(1)C(2)BD[解析](1)若α∩β=a,因为m⊥平面α,a⊂α,所以m⊥a,同理n⊥a,过m上一点作直线n的平行线n1,则n1⊥a,设由m和n1确定的平面为γ,则a⊥γ,而l⊥m,l⊥n,同上可知l⊥γ,故a∥l,选项C正确;有可能l⊂α,所以选项A错误;由上可知a∥l,且a⊂β,所以l∥β或l⊂β,选项B错误;α⊥β不一定成立,选项D错误.故选C.(2)对于A,因为M,C,C1三点都在平面CDD1C1内,M点不在直线CC1上,A点不在平面CDD1C1内,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;对于B,因为B,N,B1三点都在平面BCC1B1内,B1点不在直线BN上,M点不在平面BCC1B1内,所以直线BN与MB1是异面直线,故B正确;对于C,如图,取DD1的中点E,连接AE,EN,因为N为C1C的中点,所以EN∥CD∥AB,AB=CD=EN,所以四边形ABNE是平行四边形,所以AE∥BN,又AM∩AE=A,所以AM与BN不平行,故C错误;对于D,连接MN,BA1,CD1,因为M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,所以MN∥D1C,由正方体的性质可知BA1∥D1C,所以MN∥A1B,所以A1,B,M,N四点共面,所以直线A1M与BN共面,故D正确.故选BD.例3[思路点拨]观察空间图形的特征,利用等角定理,判断∠BAC与∠B'A'C',∠ABC与∠A'B'C'的关系,再利用OAOA'=OBOB'=OCOC'49[解析]因为AA'∩BB'=O,且OAOA'=OBOB'=23,所以AB∥A'B',同理AC∥A'C',BC∥B'C',因为A'B'∥AB,A'C'∥AC,所以∠BAC=∠B'A'C',同理∠ABC=∠A'B'C',所以△ABC∽△A'B'C',因为ABA'B'=变式题BC[解析]由三角形中位线的性质知MQ∥BD,MQ=12BD,NP∥BD,NP=12BD,所以MQ∥NP,MQ=NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,但不能确定是否为菱形或矩形,故