全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第23讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式【正文】听课手册

第23讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式【课标要求】1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tanx.

2.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:.

(2)商数关系:.

2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α+2kπ(k∈Z)π+α-απ-απ2-π2+与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y=x对称正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα

正切tanα

-tanα-tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.同角三角函数的基本关系的常用变形(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα);cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα);(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.(2)sinα=tanαcosαα≠π2+k(3)sin2α=sin2αcos2α=cos2αsinαcosα=sinαcosα其中α≠π2+kπ,k∈Z2.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z).题组一常识题1.[教材改编]已知cosα=-45,且α为第二象限角,则sinα=tanα=.

2.[教材改编]已知tanα=2,则3sinα-cos3.[教材改编]已知cos(π+α)=-35,则sin32π+题组二常错题◆索引:运用平方关系时不考虑角为第几象限角致误;运用诱导公式时不注意符号致误;利用同角三角函数的基本关系求值时,不能根据角的取值范围判断出所求三角函数值的符号致误.4.若sinα=55,则tanα=5.化简cosα-π2sin6.已知tanα=3,π2<α<32π,则cosα-sinα的值为同角三角函数的基本关系角度1切弦互化例1(1)[2023·全国乙卷]若θ∈0,π2,tanθ=12,则sinθ-cos(2)[2025·辽宁重点中学协作体二模]已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α=.

总结反思(1)知一求二问题,注意判断角的取值范围,另外熟记以下常见勾股数,可以提高解题速度:32+42=52,62+82=102,92+122=152,52+122=132,82+152=172,72+242=252.(2)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sinαcosα=tanα可实现角变式题已知cosα=-513,则13sinα+5tanα=角度2齐次式例2(1)[2025·四川成都二诊]已知角θ的终边过点P(3,4),则sinθ+2cosθ(2)若tanα=-3,则sinα+2cosαsinα-2cosα=,sin2总结反思若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,这是同角三角函数关系中的一类基本题型,形如asinx+bcosxcsinx+dcosx,asin2x变式题已知tanαtanα-1=-1,则sinα-3cosαsinα+cos角度3和积转换例3(多选题)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=15,则下列结论正确的是 ()A.π2<α<π B.sinαcosα=-C.cosα=35 D.cosα-sinα=-总结反思对于已知sinα±cosα的求值问题,一般应用三角恒等式,利用整体代入的方法来解,涉及的三角恒等式有(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα等.变式题若0<θ<π,sinθcosθ=-60169,则sinθ-cosθ=诱导公式例4(1)计算:tan(π-(2)已知sinα+π3=-23,则sin2π3总结反思1.诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角的三角函数.2.诱导公式的两个应用(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了;(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.3.常见的互余的角:π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等.常见的互补的角:π6+α与5π6-α,π3+α与2π3-α变式题(1)(多选题)已知sinx+π4=-55,x∈π2A.cosx+πB.tanx+C.cosπ4-D.sin9π4-(2)[人教A版必修第一册P194习题5.3第3(2)题改编]求值:sin(-1071°)sin99°+sin(-171°)·sin(-261°)+tan585°=.

基本关系式与诱导公式的综合应用例5已知f(α)=sin-(1)化简f(α);(2)若f(α)=2,求sin2α-3sinαcosα的值;(3)若fα+π3=3,求sin

总结反思(1)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.(2)注意角的取值范围对三角函数值符号的影响.变式题(1)已知sin2