选修1-1第三章导数及其应用-学案教案

§变化率问题【学习目标】：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.【学习重点】：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】问题1气球膨胀率我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数,那么在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________hthto在高台跳水运动中，,运发动相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t〔单位：s〕存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运发动在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?在这段时间里，=_________________在这段时间里，=_________________问题3平均变化率函数，那么变化率可用式子_____________,此式称之为函数从到___________.习惯上用表示，即=___________,可把看做是相对于的一个“增量”，可用代替，类似有__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________学习探究问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：试试：设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即=或者=，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即=；如果它们的比值，那么上式就表示为，此比值就称为平均变化率.典型例题例过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.变式：函数的图象上一点及邻近一点，那么=当堂检测1．函数在区间上的平均变化率是〔〕A、4B、2C、D、2.在内的平均变化率为〔〕A．3B．2C．1D．03.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为〔〕A．B．C．D．4.质点运动动规律，那么在时间中，相应的平均速度为〔〕A．B．C．D．5.，从到的平均速度是_______学习小结求函数的平均变化率的步骤：〔1〕求函数值的增量〔2〕计算平均变化率§导数的概念【学习目标】：1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；会运用瞬时速度的定义．【学习重点】：导数概念的形成，导数内涵的理解【学习过程】：学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为________.一般地，假设物体的运动规律为，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=____________时，在这段时间内时，在这段时间内探究任务二：导数问题2：瞬时速度是平均速度当趋近于0时的得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即注意(1)函数应在点的附近有定义，否那么导数不存在(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点〔〕及点〕的割线斜率(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.典型例题例将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时，原油的温度〔单位：〕为.计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.步骤如下：第一步，求函数的增量；第二步：求平均变化率；第三步：取极限得导数.当堂检测1.在例题中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.2.求函数在处的导数;函数在=1处的导数3.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在时的瞬时速度学习小结=1\*GB3①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同=2\*GB3②定义的变化形式：=；=；=；，当时，，所以=3\*GB3③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”.课后练习1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为〔〕Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时物体的平均速度2.在中，不可能〔〕A．大于0B．小于0C．等于0D．大于0或小于04设函数可导，那么=〔〕A、B、C、不存在D、以上都不对7.假设，那么等于8.函数在处的导数是______________§导数的几何意义【学习目标】：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.【学习重点】：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.【学习过程】：1.曲线的切线及切线的斜率〔1〕如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为.〔2〕割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即==2.导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即=.3.导函数〔1〕由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.〔2〕函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系是什么？典型例题例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比拟曲线在附近的变化情况.例2如图,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)※知识拓展导数的物理意义：如果把函数看做是物体的运动方程〔也叫做位移公式，自变量表示时间〕，那么导数表示运动物体在时刻的速度，，即在的瞬时速度.即而运动物体的速度对时间的导数，即称为物体运动时的瞬时加速度.学习小结函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.即=，其切线方程为课后练习1.曲线上一点,那么点处的切线斜率为〔〕A.4B.16C.8D2.曲线在点处的切线方程为〔〕A．B．C．D．3.在可导，那么〔〕A．与、都有关B．仅与有关而与无关C．仅与有关而与无关D．与、都无关4.假设函数在处的导数存在，那么它所对应的曲线在点的切线方程为5.函数在处的导数为11，那么=6.求双曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.§几个常用函数导数【学习目标】：1.握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；【学习重点】：四种常见函数、、、的导数公式及应用【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：复习1：导数的几何意义是：曲线上点〔〕处的切线的斜率.因此，如果在点可导，那么曲线在点〔〕处的切线方程为复习2：求函数的导数的一般方法：〔1〕求函数的改变量〔2〕求平均变化率〔3〕取极限，得导数＝=二、新课导学学习探究1．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.2．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.3．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.4．利用导数定义求函数的导数.5．利用导数定义求函数的导数.典型例题例画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程.变式1：求出曲线在点处的切线方程.变式2：求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程.当堂检测练1.求曲线的斜率等于4的切线方程.练2.求函数的导数学习小结利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.三、课后练习1.的导数是〔〕A．0B．1C．不存在D．不确定2.,那么〔〕A．0B．2C．6D．93.在曲线上的切线的倾斜角为的点为〔〕A．B．C．D．4.过曲线上点且与过这点的切线平行的直线方程是5.物体的运动方程为，那么物体在时的速度为，在时的速度为.6.圆面积，根据导数定义求.7.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么天后，氡气的剩余量为，问氡气的散发速度是多少？§根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么【学习目标】：1．熟练掌握根本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数【学习重点】：根本初等函数的导数公式、导数的四那么运算法那么【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：1．根本初等函数的导数公式表函数导数2.导数的运算法那么导数运算法那么1．2．3．4.推论：典型例题例1：求以下函数的导数〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例2:求以下函数的导数〔1〕〔2〕复合函数求导的根本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、课后练习1.函数的导数是〔〕A．B．C．D．2.函数的导数是〔〕A．B．C．D．3.的导数是〔〕A．B．C．D．4．函数在处的导数为3，那么的解析式可能为：ABCD5．函数的图像与直线相切，那么ABCD16.设函数在点〔1,1〕处的切线与轴的交点横坐标为，那么()ABCD17.曲线在点〔0,1〕处的切线方程为-------------------8.函数，且，那么=9.曲线在点处的切线方程为10.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线在点P处的切线的斜率为2，那么P点的坐标为11.函数的图像过点P〔0,2〕，且在点处的切线方程为，求函数的解析式.12.函数.〔1〕求这个函数的导数；〔2〕求这个函数在点处的切线方程.§函数的单调性与导数【学习目标】：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【学习重点】：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.【学习过程】：学习探究问题：我们知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数.从函数的图像来观察其关系：y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)(－∞，2)在区间〔2，〕内，切线的斜率为，函数的值随着x的增大而，即时，函数在区间〔2，〕内为函数；在区间〔，2〕内，切线的斜率为，函数的值随着x的增大而，即0时，函数在区间〔，2〕内为函数.新知：一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的减函数.试试：判断以下函数的的单调性，并求出单调区间：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.典型例题例1导函数的以下信息：当时，；当，或时，；当，或时，.试画出函数图象的大致形状.例2如图，水以常速〔即单位时间内注入水的体积相同〕注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.当堂检测1.判断以下函数的的单调性，并求出单调区间：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.2.求证：函数在内是减函数.三、课后练习与提高1.假设为增函数，那么一定有〔〕A．B．C．D．2.〔2004全国〕函数在下面哪个区间内是增函数〔〕A．B．C．D．3.假设在区间内有，且，那么在内有〔〕yxOyxyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．C．D．不能确定4.〔2007年浙江卷〕设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是〔〕5.函数，那么〔〕A．在上递增B．在上递减C．在上递增D．在上递减6.函数的单调递增区间是_____________．7.函数的增区间是，减区间是8.，那么等于9.判断以下函数的的单调性，并求出单调区间：〔1〕；〔2〕；〔3〕.§函数的极值与导数【学习目标】：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.【学习重点】：利用导数求函数的极值【学习过程】：学习探究如以下图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？我们把点a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；点b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的，刻画的是函数的.试试：〔1〕函数的极值〔填是，不是〕唯一的.(2)一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的(内，外)部，区间的端点〔能，不能〕成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比方：函数在x=0处的导数为，但它〔是或不是〕极值点.即：导数为0是点为极值点的条件.典型例题例1求函数的极值.小结：求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)=0的根〔4〕用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.变式2：函数.〔1〕写出函数的递减区间；〔2〕讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；〔3〕画出它的大致图象.当堂检测1.求以下函数的极值：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.课后练习1.函数的极值情况是〔〕A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也极小值2.三次函数当时，有极大值4；当时，有极小值0，且函数过原点，那么此函数是〔〕A．B．C．D．3.函数在时有极值10，那么a、b的值为〔〕A．或B．或C．D．以上都不正确4.函数在时有极值10，那么a的值为5.函数的极大值为正数，极小值为负数，那么的取值范围为6.如图是导函数的图象,在标记的点中，在哪一点处〔1〕导函数有极大值？〔2〕导函数有极小值？〔3〕函数有极大值？〔4〕导函数有极小值？7.求以下函数的极值：〔1〕；〔2〕.8.函数f〔x〕=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值,求函数f〔x〕的解析式及单调区间.9.f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围.§函数的最大〔小〕值与导数【学习目标】：⒈理解函数的最大值和最小值的概念；⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.【学习重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【学习过程】：学习探究探究任务：函数的最大〔小〕值问题：观察在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大〔小〕值吗？最大值，最小值呢？图2图1图2图1在图1中，在闭区间上的最大值是，最小值是；在图2中，在闭区间上的极大值是，极小值是；最大值是，最小值是.新知：一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值.试试：上图的极大值点，为极小值点为；最大值为，最小值为.反思：1.函数的最值