【对称性在曲线积分中的应用分析3000字】

对称性在曲线积分中的应用分析目录TOC\o"1-3"\h\u13650对称性在曲线积分中的应用分析 1296331.1第一类曲线积分中的对称性问题 15901.2第二类曲线积分中的对称性问题 3对称性原理不仅适用于定积分、二重积分和三重积分，也适用于曲线积分和面积分，在计算第一型曲线（面）积分和第二型曲线（面）的时候有些被积函数比较复杂会让人一开始没有头绪，在计算曲线积分的时候还要分三维还是二维的，不同情况方法不同，在本节中会介绍第一类和第二类曲线曲面积分对称性具体定理以及相关的题目[8].1.1第一类曲线积分中的对称性问题定理1.1(1)分段光滑曲线T关于y轴对称，连续函数f(x,y)是T上的，则Tfx,y其中T1是为T在y(2)分段光滑曲线T关于x轴对称，连续函数f(x,y)是T上的，则Tfx,y其中T1为T在x(3)第一类曲线积分轮换对称性,T关于y=x对称,则Tfx,y证明只证(1).T=T1+T1代入公式TfTfα=α最后代入原式我们就可以能得到Tfx,y=0,f(x,y)是关于x定理1.1可推广到空间曲线积分的计算.定理1.2(1)T是关于xoy面对称的空间曲线积分，连续函数f(x,y,z)是T上的，由此得出结论Tfx,y,z其中T1为T在xoy(2)T是关于yoz面对称的空间曲线积分，连续函数f(x,y,z)是T上的，由此得出结论Tfx,y,z其中T1为T在yoz(3)T是关于zox面对称的空间曲线积分，连续函数f(x,y,z)是T上的，由此得出结论Tfx,y,z其中T1为T在zox(4)因为空间曲线T有轮换对称性,由此得出结论Tfx=T=13T例1.11设T为椭圆x24+y2解由于T是关于x轴对称的，因此2xy是关于y的奇函数，所以T2T2xy+3（这题用到了定理1.1，对称性计算第一型曲线积分）例1.12计算Tx2ds,其中T是平面x+y+z=0解交线可以表示为x+y+z=0xTx所以原式=13（这题用到了定理1.1，对称性计算第一型曲线积分）在计算第一型曲线积分的时候可以利用对称性简化积分，利用积分曲线的方程带入表达式中将积分简化或者根据几何意义来简化积分，总之这些对于计算第一型曲线积分来说是会带来简便，前提是学会观察发现它的对称性，有思路，这才是关键，题目有非常多种但是方法是不变的，学会运用才是最重要的，在不同的题目里面可能曲线积分L不一样，f(x,y)或f(x,y,z)，关键看曲线积分L能否转化为和f(x,y)一样的式子，可以的话直接代入再按照符合的对称性来计算；如果不能转化或没有直接告诉你的，首先确定L的表达式得出它的几何意义，再按照相应的对称性以及几何意义来计算.总之在做的时候曲线积分L和对称性是关键，只要得出具体的就等计算出结果.1.2第二类曲线积分中的对称性问题定理1.3L是平面上有分段光滑的定向曲线，同时P(x,y)和Q(x,y)在L上连续,(1)L关于y轴对称，我们可以得出结论LLQx,ydy=其中L1为L(2)L关于x轴对称，我们可以得出结论LPLQx,ydy=其中L1为L定理1.3可以推广到空间曲线积分的计算.定理1.4(1)若有向分段光滑空间曲线L关于zox面对称，且P(x,y,z)在I上连续，我们可以得出结论LPx,y,zdx=其中L1为L在zox(2)若有向分段光滑空间曲线L关于xoy面对称，且P(x,y,z)在I上连续，我们可以得出结论LPx,y,zdx=其中L2为L在xoy(3)若有向分段光滑空间曲线L关于yoz面对称，且P(x,y,z)在I上连续，我们可以得出结论LPx,y,zdx=其中L3为L在yoz类似的LQx,例1.13已知曲线L为y=1−x,x∈−1,1,起点为解由于L关于y轴对称，所以得到xy是关于x的奇函数，所以得到Lxydx=0,x2是关于x的偶函数，所以L（这题用到了定理1.3，对称性计算第二型曲线积分）注意第二型曲线积分与第一型曲线积分的区别.第一型曲线积分与曲线L的方向无关，而在计算第二型曲线积分的时候则与方向有关，因此在利用对称性的时候不仅要观察它的对称性同时也要注意方向的改变.同时如果符合条件还可以运用格林公式来计算.第二型曲线积分在对x轴对称时,P(x,y)是关于y的偶函数时为0，奇函数时为2L1Px,ydx,，Q(x,y)则是关于y的奇函数时为0，偶函数时为2L1Qx,ydy,；反之则是在关于y轴对称的时候，P(x,y)是关于x的奇函数时为0，偶函数时为2L1P在具体计算的时候关键看符合怎样的对称性，得出P(x,y)和Q(x,y)按照对称性的结果是0还是其