北京市某重点校2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市某重点校2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（

）A. B. C. D.2.点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（

）A. B. C. D.3.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（

）A. B. C. D.4.设函数的导函数为，则（

）A. B.

C. D.5.如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（

）

A. B.2 C. D.6.如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量．把铜环权的质量从小到大排列后，前三项成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢），若某物体的质量恰为第3，5，8枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（）

A.3两5铢 B.3两15铢 C.4两5铢 D.4两15铢7.已知m>0,n>0,直线y=x+2n与曲线y=3x-m+4相切,则+的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.48.在等比数列中，．则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知A、B是圆O:+=4上两个动点,点P的坐标为(2,1),若PAPB,则线段AB长度的最大值为()A.3+ B.2+ C.3 D.+10.对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（

）A.若，则数列不具有性质

B.若，则数列具有性质

C.存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质

D.若数列和均具有性质，则具有性质二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。11.已知函数，则

．12.在长方形中，，，且，则

，

．13.已知双曲线C：-y2=1（m＞0）的一条渐近线为x+my=0，则C的焦距为

.14.已知函数．若在区间上的最大值为，则

．15.已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为

．16.设函数，①若有两个零点，则实数的一个取值可以是

；②若是上的增函数，则实数的取值范围是

．17.如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论：①若，则点的轨迹的长度为；②若，则点的轨迹的长度为；③若，则的最小值为；④若，则的最小值为.其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题10分)已知无穷等比数列的前项和为.(1)求的值；(2)设，求数列的前项和.19.(本小题10分)如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，，点是棱的中点，连接．(1)求证：平面；(2)若平面平面，平面与平面的夹角的余弦值，求线段OP的长．20.(本小题10分)已知函数，.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若和有相同的最小值，求的值.21.(本小题10分)在中，.(1)求；(2)若，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：设CD为AB边上的高，.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.22.(本小题10分)已知函数．(1)当时，求证：直线是曲线的切线(2)当时，求证：函数存在极小值；(3)直接写出函数的零点个数23.(本小题15分)设和均为各项互不相等的N项数列，其中，．记数列C：，，…，，其中，．(1)写出所有满足条件的数列和，使得数列；(2)若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值；(3)若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值．

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】

12.【答案】

；

；

；

；

；

；

13.【答案】4

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】-1（

；

；

内的值都可以）

；

；

或

；

17.【答案】①②③

18.【答案】解：（1）当时，，因为是等比数列，所以，又因为，所以.（2）由（1）知，因为，且，所以是以6为首项，9为公比的等比数列，

19.【答案】解：（1）因为底面是菱形，所以是中点，因为是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）因为，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为菱形的边长为2，，所以，，所以，，设，所以，，设为平面的一个法向量，由，得，所以，取，，，所以，因为，，，平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为，所以，所以，所以，所以，因为，所以．所以线段OP的长为．

20.【答案】解：（1）因为，，所以，所以，，所以，曲线在点处的切线方程，即．（2）函数的定义域为，所以，，所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增；当时，时，，单调递减；时，，单调递增，综上，当时，单调递增区间为，无递减区间；当时，单调递减区间为，单调递增区间为.（3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增，所以，，因为，令得，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，因为和有相同的最小值，所以，即，令，，,令，，,所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以​​​​​​​，即，所以，在上单调递增，因为，所以，等价于，即的值为.

21.【答案】（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，解得，又，所以.（2）选择条件①：，而，余弦函数在上单调递减，则，，与矛盾，因此不存在.选择条件②：，由（1）及余弦定理，，得，解得，，经检验存在且唯一确定，所以的面积.选择条件③：CD为AB边上的高，且，则，由（1）及余弦定理，，得，解得，，经检验存在且唯一确定，所以的面积.

22.【答案】解：（1）的定义域为，，因为，所以，所以曲线在处的切线方程为，所以直线是曲线的切线．（2）令，，因为且，所以在上恒成立，所以在上单调递增，且，所以在区间的变化情况如下表：↘极小值↗所以当时，取得极小值，问题得证．（3）函数的定义域为，，显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，令，，则，令，则，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，，即有，函数在，上都单调递减，令，，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，即，恒有，当且仅当时，等号成立，当时，，当时，，所以在上单调递减，取值集合为，在上单调递减，取值集合为，于是得当且时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，所以当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点．

23.【答案】解：（1）显然，因为，根据，，则，，，从而满足条件的答案有4组，分别为：；；；.（2）记等差数列的公差为，由，得，则.由，得.因为，且和均为各项互不相等的2024项数列，所以，所以，即.所以公差.不妨设公差，则，而只能由1和2024得到，去除两端的数后只能由2和2023得到以此类