北师大版七年级数学上册知识点总结

北师大版七年级数学上册知识点总结同学们，初中数学的学习是一个全新的开始，它不仅是小学知识的延伸，更是逻辑思维和抽象能力培养的关键时期。这份北师大版七年级数学上册的知识点总结，希望能帮助你系统梳理所学内容，夯实基础，为后续学习打下坚实的根基。第一章丰富的图形世界本章是我们从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的重要开端，旨在培养我们的空间观念。1.1生活中的立体图形我们生活在一个三维的世界中，周围充满了各种各样的立体图形。常见的立体图形可分为：*柱体：包括圆柱和棱柱。圆柱有两个圆形底面，侧面是曲面；棱柱则有两个互相平行且全等的多边形底面（底面可以是三角形、四边形、五边形等，相应地称为三棱柱、四棱柱、五棱柱），侧面是长方形。*锥体：包括圆锥和棱锥。圆锥有一个圆形底面，侧面是曲面；棱锥有一个多边形底面，侧面是三角形，这些三角形有一个公共顶点。*球体：由一个曲面围成，球面上任意一点到球心的距离都相等。我们要能识别这些基本立体图形，并了解它们各自的构成特点，比如顶点、棱、面的数量和形状（平面或曲面）。1.2展开与折叠许多立体图形是由平面图形围成的。将一个立体图形的表面适当剪开，可以展开成一个平面图形，这个平面图形称为该立体图形的表面展开图。反之，一些平面图形也可以折叠成立体图形。*正方体的表面展开图是学习的重点，它有多种不同的形式，但需注意，并非所有由六个正方形组成的平面图形都能折叠成正方体（如“田”字形就不行）。*通过动手操作和空间想象，理解平面图形与立体图形之间的转化关系。1.3截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状与几何体本身的形状以及截面的角度和方向有关。*例如，用一个平面去截正方体，截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形。*我们要能根据几何体的形状和截面的方向，判断截面可能的形状，或根据截面形状推断几何体的某些特征。1.4从三个方向看物体的形状为了全面了解一个立体图形的形状，我们通常从三个不同方向进行观察：*从正面看（主视图）：得到物体的正面形状。*从左面看（左视图）：得到物体的左面形状。*从上面看（俯视图）：得到物体的上面形状。由这三个方向看到的平面图形（三视图），可以帮助我们还原出立体图形的大致形状。学习画简单几何体的三视图，并能根据三视图描述几何体的形状，是本章的核心技能之一。第二章有理数及其运算有理数是整个初中数学的基石，本章的内容贯穿于后续几乎所有数学学习。2.1有理数*正数与负数：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。负数的引入是为了表示具有相反意义的量。*有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。*有理数的分类：*按定义分：有理数->整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）*按性质符号分：有理数->正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）2.2数轴*数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。*数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。*数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定都表示有理数（以后会学习无理数）。*利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。2.3绝对值*相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等。*绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。*绝对值的性质：*正数的绝对值是它本身；*负数的绝对值是它的相反数；*0的绝对值是0。即：如果a>0，那么|a|=a；如果a=0，那么|a|=0；如果a<0，那么|a|=-a。*绝对值的非负性：任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。2.4有理数的加法*有理数加法法则：*同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。*异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。*一个数同0相加，仍得这个数。*加法交换律：a+b=b+a*加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)*进行有理数加法运算时，要先确定和的符号，再计算和的绝对值。2.5有理数的减法*有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。*减法运算可以转化为加法运算，体现了数学中的转化思想。2.6有理数的加减混合运算*有理数的加减混合运算，可以统一成加法运算，写成省略加号和括号的和的形式（代数和）。*在进行加减混合运算时，可以运用加法交换律和结合律，使运算简便。通常把正数、负数分别结合相加；或把互为相反数的数结合相加；或把能凑整的数结合相加。2.7有理数的乘法*有理数乘法法则：*两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。*任何数同0相乘，都得0。*多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。然后把各数的绝对值相乘。如果其中有一个因数为0，则积为0。*乘法交换律：a×b=b×a*乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)*乘法对加法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.8有理数的除法*有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。*有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。*0不能作除数。2.9有理数的乘方*乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。*乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。*乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法）。2.10科学记数法*科学记数法的定义：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。*用科学记数法表示数时，关键是确定a和n的值。a是整数位只有一位的数，n的值比原数的整数位数少1。2.11有理数的混合运算*运算顺序：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。*在进行混合运算时，要认真审题，看清运算符号，选择合理的运算律简化运算。2.12用计算器进行运算*了解计算器的基本操作方法，会用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方等基本运算。第三章整式及其加减本章是代数式的入门，是从具体数的运算向代数式运算过渡的关键。3.1字母表示数*用字母表示数，可以简明地表达数学规律、公式、运算律以及问题中的数量关系。字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式或符合条件的某一个数。3.2代数式*代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。*代数式的书写规范：*数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或用“·”表示，且数字要写在字母前面。*除法运算一般写成分数形式。*带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。*当字母前面的系数是1或-1时，1通常省略不写。*代数式后面有单位时，如果代数式是和或差的形式，要将代数式用括号括起来。3.3整式*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。*单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。*单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。*多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。*多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*整式：单项式和多项式统称为整式。3.4整式的加减*同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。*合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。*合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。*去括号法则：*如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；*如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。*整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。整式的加减运算结果还是整式。第四章基本平面图形本章将学习一些基本的平面图形及其性质。4.1线段、射线、直线*线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看作线段。线段有两个端点，可以度量长度。*射线：将线段向一个方向无限延伸就得到一条射线。射线有一个端点，无法度量长度。*直线：将线段向两个方向无限延伸就得到一条直线。直线没有端点，无法度量长度。*基本事实：*经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。*两点之间，线段最短。*两点间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。*线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。此时AM=MB=1/2AB。4.2角*角的定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。*角的表示方法：可以用三个大写字母（顶点字母写在中间）、一个大写字母（顶点处只有一个角时）、一个数字或一个希腊字母表示。*角的度量：角的度量单位是度、分、秒。把一个周角平均分成360份，每一份就是1度的角，记作1°。1°=60′，1′=60″。*角的比较：可以用量角器量出角的度数，然后比较大小；也可以把两个角叠合在一起比较大小。*角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。*角的分类：*锐角：大于0°而小于90°的角。*直角：等于90°的角。*钝角：大于90°而小于180°的角。*平角：等于180°的角（一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时所成的角）。*周角：等于360°的角（一条射线绕它的端点旋转一周所成的角）。*互为余角和互为补角：*如果两个角的和是90°（直角），那么称这两个角互为余角，简称互余。*如果两个角的和是180°（平角），那么称这两个角互为补角，简称互补。*性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。4.3多边形和圆的初步认识*多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。多边形有几条边就叫做几边形。*多边形的基本元素：顶点、边、内角、对角线（连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线）。*正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。*圆：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的端点叫做圆心，这条线段叫做半径。*圆的相关概念：*圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。*扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。*圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。第五章一元一次方程方程是解决实际问题的重要数学工具，本章将学习最基本的方程——一元一次方程。5.1认识一元一次方程*方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。*方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。*一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是