数学竞赛压轴试题及答案

数学竞赛压轴试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的图象经过点(1,2)，且在x=-1处取得极值，则（）（2分）A.b+c=0B.a+c=0C.a+b=0D.b+d=0【答案】B【解析】f'(-1)=3a(-1)^2+2b(-1)+c=0⇒3a-2b+c=0，又f(-1)=-a+b-c+d=极值，所以a+c=0。2.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=15，S_10=55，则S_15等于（）（2分）A.105B.120C.135D.150【答案】C【解析】由S_5=15，S_10=55得5a_1+10d=15，10a_1+45d=55⇒a_1=3，d=1，S_15=15a_1+105d=135。3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，b=√3，c=2，则cosB等于（）（2分）A.1/2B.1/√3C.√3/2D.√2/2【答案】C【解析】由余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB⇒3=1+4-4cosB⇒cosB=√3/2。4.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z|等于（）（2分）A.1B.2C.√2D.√3【答案】B【解析】z=-1±√3i⇒|z|=√((-1)^2+(√3)^2)=2。5.执行以下程序段后，变量S的值为（）（2分）S=0i=1WHILEi<=5S=S+ii=i+1WENDA.0B.5C.15D.30【答案】C【解析】S=1+2+3+4+5=15。6.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）（2分）A.8πB.16πC.24πD.32π【答案】A【解析】该几何体为半球，体积为1/24/3π4^3=8π。7.函数f(x)=log_a(x+3)-1（a>0且a≠1）的图象关于y=x对称，则a等于（）（2分）A.2B.eC.3D.10【答案】A【解析】f(x)的图象可由y=log(x+3)向下平移1个单位得到，y=log(x+3)与y=a^x互为反函数⇒a=2。8.在直角坐标系中，点A(1,2)关于直线x-y+1=0的对称点A'的坐标为（）（2分）A.(1,-1)B.(-1,1)C.(2,1)D.(1,3)【答案】C【解析】设A'(x,y)，则(x-1)/2=2-(y+2)/2⇒x-1=4-y-2⇒x-y=1，又(x+1)/2-(y-2)/2+1=0⇒x-y=1⇒A'(2,1)。9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面，PA=2，则二面角A-PC-D的余弦值为（）（2分）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/3【答案】D【解析】取PC中点E，连AE，BE，则∠AEB即为二面角的平面角，AE=BE=√2，AB=2，由余弦定理cos∠AEB=(AE^2+BE^2-AB^2)/(2AEBE)=-√5/3。10.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1处取得极小值，且f(x)的图象与x轴恰有两个交点，则p、q满足的关系式为（）（2分）A.p^2-4q=0B.p^2-4q>0C.p^2-4q<0D.p^2+4q=0【答案】A【解析】f'(x)=2x+p，x=1处取得极小值⇒21+p=0⇒p=-2，又f(x)与x轴恰有两个交点⇒Δ=(-2)^2-4q=0⇒p^2-4q=0。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若a>b，则a^2>b^2B.若f(x)是偶函数，则f'(x)是奇函数C.若△ABC的三边长分别为a、b、c，则a+b>cD.若|z|=1，则z的实部在[-1,1]范围内E.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，有a_n+1>a_n【答案】B、C、E【解析】A错，如a=2>b=1⇒a^2>b^2；B对，f(-x)=f(x)⇒f'(-x)=-f'(x)；C对，三角形两边之和大于第三边；D错，如z=√3/2+1/2i，|z|=1但实部为√3/2；E对，单调递增的定义。2.执行以下程序段后，输出的结果为“ABC”的有（）（4分）chars[4]={'A','B','C','D'};inti=0,j=3;WHILE(i<j)printf("%c",s[i]);i++;printf("%c",s[j]);j--;ENDA.i=0,j=3B.i=1,j=2C.i=2,j=1D.i=3,j=0E.i=4,j=-1【答案】A、B【解析】i=0,j=3时输出AD；i=1,j=2时输出BC；i=2,j=1时输出CB；i=3,j=0时输出DD；i=4,j=-1循环结束，只有A、B满足输出“ABC”。3.关于函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的下列说法中，正确的有（）（4分）A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期为2πC.f(x)在(0,π/2)上单调递减D.f(x)的图象关于直线x=π/2对称E.f(x)在(π/6,π/3)上取得最大值【答案】B、C、D、E【解析】f(x)=√3/2sinx+1/2cosx+1/2cosx+√3/2sinx=√3sinx+cosx=sin(x+π/6)，A错，是正弦型函数非奇函数；B对，周期为2π；C对，x∈(0,π/2)⇒x+π/6∈(π/6,π/3)⇒sin(x+π/6)递减；D对，f(π/2-x)=sin(π/2-x+π/6)+cos(π/2-x-π/3)=sin(π/3+x)+cos(π/6-x)=sin(π/3+x)+sin(π/6-x)=f(π/2+x)，对称轴为x=π/2；E对，x∈(π/6,π/3)⇒x+π/6∈(π/3,π/2)⇒sin(x+π/6)在(π/3,π/2)上递增且取最大值1。4.若实数x满足x^2-4x+3<0，则下列不等式成立的有（）（4分）A.x^2+1>4xB.|x-1|<2C.log_2(x+1)<1D.√(x^2+1)>xE.(x-1)^2>2【答案】A、B、C【解析】x^2-4x+3<0⇒1<x<3，A对，x^2-4x+3<0⇒x^2+1>4x；B对，1<x<3⇒0<x-1<2⇒|x-1|<2；C对，1<x<3⇒2<x+1<4⇒log_2(x+1)<log_2(4)=2；D错，x=2时√(2^2+1)=√5>2；E错，x=2时(x-1)^2=1<2。5.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)=a^2+b^2-c^2，g(B)=b^2+c^2-a^2，则下列结论中正确的有（）（4分）A.f(A)+g(B)=0B.f(A)/g(B)=1C.f(A)/g(B)=tanCD.f(A)=2RsinAcosAE.g(B)=2RsinBcosB【答案】A、D、E【解析】f(A)+g(B)=a^2+b^2-c^2+b^2+c^2-a^2=2b^2=0⇒b=0，矛盾，A错；f(A)/g(B)=(a^2+b^2-c^2)/(b^2+c^2-a^2)=1⇒a=b，B错；f(A)/g(B)=sin^2A/sin^2B=1⇒A=B，C错；f(A)=a^2+b^2-c^2=2R^2sin^2A-2R^2cos^2A=2R^2sinAcosA=2RsinAcosA，D对；g(B)=b^2+c^2-a^2=2R^2sin^2B-2R^2cos^2B=2R^2sinBcosB=2RsinBcosB，E对。三、填空题（每题4分，共16分）1.若复数z=1+i，则z^4的实部为______。（4分）【答案】4【解析】z^4=(1+i)^4=16，实部为4。2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，则cosA等于______。（4分）【答案】3/4【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA⇒9=7+4-4√7cosA⇒cosA=3/4。3.函数f(x)=x^2-4x+3在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为______。（4分）【答案】8【解析】f(-1)=8，f(3)=0，最大值为8，最小值为0，差为8。4.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则a_5等于______。（4分）【答案】21【解析】a_5=S_5-S_4=25^2+5-(24^2+4)=21。四、判断题（每题2分，共10分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则对任意x1<x2∈(a,b)，有f(x1)<f(x2)。（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增的定义即为对任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)。2.若三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形为直角三角形。（）（2分）【答案】（√）【解析】5^2+12^2=13^2⇒该三角形为直角三角形。3.若复数z满足z^2=1，则z=1。（）（2分）【答案】（×）【解析】z=±1，不只有z=1。4.若函数f(x)=x^3+x在x=0处取得极值，则f(x)的图象关于原点对称。（）（2分）【答案】（×）【解析】f(x)为奇函数，图象关于原点对称，但x=0处不是极值点，f'(0)=30^2+1=1≠0。5.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面，则该四棱锥的四个侧面均为直角三角形。（）（2分）【答案】（√）【解析】PA⊥底面⇒PA⊥AB，PA⊥BC，PB⊥AB，PB⊥BC，PC⊥AC，PD⊥AD，四个侧面均为直角三角形。五、简答题（每题4分，共12分）1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。（4分）【答案】最小值为3，取得最小值时的x值为[-2,1]。【解析】f(x)分段函数为：x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。f(x)在x=-2处取得最小值3。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-n，求a_1和a_n的通项公式。（4分）【答案】a_1=2，a_n=6n-6。【解析】a_1=S_1=31^2-1=2，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-6。3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，求sinA的值。（4分）【答案】sinA=√3/2。【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA⇒4=3+1-2√3cosA⇒cosA=-√3/2⇒sinA=√3/2。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间和极值。（10分）【答案】增区间为(-∞,0)和(1,+∞)，减区间为(0,1)，极大值为f(0)=0，极小值为f(1)=-1。【解析】f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1/3)(x-2/3)，令f'(x)=0得x=1/3和x=2/3，当x<1/3时，f'(x)>0，f(x)递增；当1/3<x<2/3时，f'(x)<0，f(x)递减；当x>2/3时，f'(x)>0，f(x)递增。f(x)在x=1/3处取得极大值f(1/3)=2/27-6/9+2/3=4/27，在x=2/3处取得极小值f(2/3)=-8/27-12/9+4/3=-4/27。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，求证{a_n}是等差数列，并求其通项公式。（10分）【答案】{a_n}是等差数列，通项公式为a_n=4n-1。【解析】a_1=S_1=21^2+1=3，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，a_{n+1}=4(n+1)-1=4n+3，a_{n+1}-a_n=(4n+3)-(4n-1)=4，为常数，故{a_n}是等差数列，通项公式为a_n=4n-1。七、综合应用题（每题25分，共25分）1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，求cosB的值，并求△ABC的面积。（25分）【答案】cosB=3/4，面积S=3√7/4。【解析】由余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB⇒7=9+4-12cosB⇒cosB=3/4，sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(3/4)^2)=√7/4，S=1/2acsinB=1/232√7/4=3√7/4。2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的图象与x轴的交点坐标，并判断这些交点是否为函数的极值点。（25分）【答案】交点坐标为(0,0)、(1,0)、(2,0)，其中x=1处不是极值点。【解析】令f(x)=0⇒x(x^2-3x+2)=0⇒x(x-1)(x-2)=0⇒x=0,1,2，f'(x)=3x^2-6x+2，f'(0)=2>0，f'(1)=-1<0，f'(2)=2>0，x=0和x=2处为极值点，x=1处不是极值点。---标准答案：一、单选题1.B2.C3.C4.B5.C6.A7.A8.C9.D10.B二、多选题1.B、C、E2.A、