教学材料《静力学》-第8章

8.1平面弯曲的概念8.1.1梁的平面弯曲弯曲是杆件的基本变形之一。工程上常遇到这样一类直杆，如公路桥梁(图8-1(a))、火车轮轴(图8-1(b)、摇臂钻床的横梁(图8-1(c)等，它们具有这样的特点:所受的外力垂直于杆的轴线，变形前为直线的轴线变形后成为曲线。这种变形形式称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。下一页返回8.1平面弯曲的概念工程中常见的梁的横截面一般都有一根对称轴，如图8-2所示。由梁的轴线与横截面的对称轴组成的平面称为纵向对称面，并且，当梁上所有外力均匀作用在纵向对称平面内时，梁变形后的轴线将在此纵向对称面内弯成一条平面曲线，如图8-3所示。这种梁的轴线弯曲后所在平面与外力所在平面相重合的弯曲变形称为平面弯曲。这是弯曲问题中最基本的情况。下一页返回上一页8.1平面弯曲的概念8.1.2梁的载荷和约束作用在梁上的外力，可以简化为下面三种类型。

(1)集中力。如前面公路桥梁上的车轮压力、火车车轮对车轴的压力，其作用范围远小于公路桥梁、车轴的长度，可视为集中作用于一点。这类力称为集中力或集中载荷，其单位常用牛顿(N)表示。下一页返回上一页8.1平面弯曲的概念

(2)分布载荷。沿梁的全长或部分长度连续分布的横向力叫分布载荷。均匀分布的称为均布载荷。图8-4所示为轧板机的工作示意图。工作时，下辊轴AB与板近似为线接触，且接触线平行于轴线，沿接触辊轴AN受到分布载荷的作用。为使板厚薄均匀，需保证辊轴变形很小，因此可以认为载荷是均布的。单位长度内的载荷叫均布载荷的集度，用q表示，其单位常用牛顿/米(N/m)表示。另外，图8-1(a)所示公路桥梁的自重也是均布载荷。下一页返回上一页8.1平面弯曲的概念

(3)集中力偶。如图8-5(a)所示圆锥齿轮，当只讨沦与轴线平行的载荷PA时，将PA平移到轴线上的C点，则成为一个沿轴线方向作用的集中力只和一个作用在梁轴线平面内的集中力偶MA=PAr，如图8-5(c)所示。集中力偶的单位常用牛顿·米(N·m)表示。下一页返回上一页8.1平面弯曲的概念梁的支座按其对梁的约束情况可以简化为以下三种形式。

(1)可动铰支座。能阻止支承处截面沿垂直方向移动，不能阻止发生横向移动和转动的支座称为可动铰支座。其简化形式如图8-6(a)或图8-6(b)所示。这种支座对梁仅有一个约束，相应地提供一个支反力，即垂直方向的支反力R，如图8-6(c)所示。注意:该支座在垂直方向既可承受压力，也可承受拉力。滑动轴承、滚动轴承均可简化为可动铰支座。下一页返回上一页8.1平面弯曲的概念

(2)固定铰支座。能阻止支撑处截面沿水平和铅垂方向移动，但不能阻止发生转动的支座称为固定铰支座。其简化形式如图8-6(d)或8-6(c)所示。固定铰支座对梁提供两个约束，相应地有两个支反力，即垂直方向的支反力R和水平方向的支反力H，如图8-6(f)所示。例如，止推轴承和桥梁下的固定支座可简化为固定铰支座。

(3)固定端支座(固定端)。这种支座使梁端既不发生移动也不发生转动。因此它对梁提供三个约束，相应地有三个支反力，即水平支反力H,铅垂支反力R和矩为M的支反力偶。其简化形式及支反力如图8-6(g)、图8-6(h)、图8-6(i)所示。图8-1(c)中的钻床横梁的左端以及长轴承、车刀刀架等均可简化为固定端支座。下一页返回上一页8.1平面弯曲的概念8.1.3静定梁及其分类由上面的分析可知，如果梁只有一个固定端，或者在梁的两个截面处分别有一个固定铰支座和一个可动铰支座，就可保证梁不产生刚体位移。此时梁的三个支反力均可由平面力系的三个平衡方程求得，这种梁称为静定梁。静定梁有三种基本形式。

(1)简支梁。一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，计算简图如图8-7(a)所示。

(2)悬臂梁。一端固定，一端自由的梁如图8-7(b)所示。

(3)外仲梁。梁的一端或两端仲出支座之外，这样的梁称为外仲梁，如图8-7(c)所示。返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩8.2.1计算梁的内力的截面法作用有均布载荷的悬臂梁如图8-8所示，用截面法计算任一截面m-m上内力的步骤如下。1.方程和弯矩

(1)切:用一假想平面，将梁沿横截面m-m切开，并分为两段。

(2)取:以左段为研究对象。

(3)代:由于左段梁上有外力的作用，左段梁沿m-m截面有向上错动趋势，同时将绕截面形心顺时针转动。因此，要使截面左侧梁段保持平衡，在m-m截面上必有向下的内力Q和位于梁纵向对称面内的、逆时牛l一转向且矩为M的内力偶。下一页返回8.2梁的内力—剪力和弯矩(4)平:根据左段的平衡条件列方程。下一页返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩2.剪力和弯矩的符号规定在材料力学中，一般需根据内力引起梁的变形情况来规定剪力和弯矩的正负号。其目的是使不沦选取梁的左段还是右段，在计算同一截面的剪力和弯矩时取得一致的符号。剪力符号规定为，使该截面的临近微段有顺时n-转动趋势时剪力取正号，反之取负号，如图8-9(a)所示;或剪力Q逆时针转90与截面外法线方向一致时，剪力为正，反之为负，如图8-9(b)所示。弯矩符号规定为，使梁弯曲成下凸变形时，弯矩为正，反之为负，如图8-10所示。下一页返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩3.利用截面法求指定截面上的内力例8-1如图8-11所示简支梁，其上作用力F=8kN，均布载荷g=12kN/m，图中尺寸单位为m，试求梁截面和截面2-2的弯矩和剪力。解:(1)求支反力。取全梁为研究对象，由静力平衡方程式得下一页返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩由得其指向如图8-11所示，均为向上。(2)求截面1-1上的内力。假想沿截面1-1将梁切开，取左段为研究对象，将所切截面上的内力用一个正剪力Q1和一个正弯矩M1代替，如图8-11(b)所示。由静力学平衡条件下一页返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩得由得剪力Q1及弯矩M1都是正号。下一页返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩(3)求截面2-2的内力。假想沿2-2截面将梁切开，取右段梁为研究对象，将所切截面上的内力用一个正剪力Q2和一个正弯矩M2代替，如图8-11(c)所示。由静力学平衡条件。列平衡方程解得剪力Q2为负值，弯矩M2为正值。下一页返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩8.2.2梁的内力计算规则1.梁的内力计算为了简化计算，可以不必用平面假设将梁截开，而是由梁截面一侧的外力直接计算得到该截面的内力。其规则是:利用理沦力学中力的平移定理和同平面内力偶等效定理，将截面一侧所有外力(包括力偶)移动到所求截面位置，直接进行求和计算。即剪力(Q)一截面一侧梁上所有外力的代数和弯矩(M)一截面一侧梁上所有外力对该截面形心的力矩代数和符号规定如下。下一页返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩对于剪力，若取左段梁为分离体时，则此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负剪力。对于右梁则符号相反。对于弯矩，无沦取左段梁还是右段为分离体时，梁上所有向上的外力都会使该截面上产生正弯矩，而所有向下的外力都会使该截面上产生负弯矩。左段梁上所有顺时牛一转向的外力偶会使该截面上产生正弯矩，而所有逆时牛一转向的外力偶会使该截面上产生负弯矩。对于右段梁，则符号相反。下一页返回上一页8.2梁的内力—剪力和弯矩2.利用内力计算规则求指定截面上的内力例8-2如图8-12悬臂梁作用有均布载荷q及力偶M=qa2

，求A点右侧截面、C,点左侧和右侧截面、Y点左侧截面的剪力和弯矩。解:对于悬臂梁不必求支座反力，可由自由端开始分析截面B-的内力，由截面右侧梁段得:MB-=qa2截面C+的内力，由截面右侧梁段得:MC+=qa2截面C-的内力，由截面右侧梁段得:MC-=qa2截面A+的内力，由截面右侧梁段得:MA+=-qa2返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图8.3.1剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁各截面上的内力是不相同的，即梁横截面剪力和弯矩是随截面的位置而变化的，如果沿梁轴线方向选取x表示横截面的位置，则梁各个横截面上的剪力和弯矩可表示为坐标x的函数，即Q=Q(x)M=M(x)这两个函数表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。下一页返回8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图8.3.2剪力图和弯矩图利用剪力图和弯矩图能方便地确定梁上最大剪力和最大弯矩，找出梁上危险截面所在的位置。以下讨沦剪力图、弯矩图的具体作法。如图8-13(a)所示，一悬臂梁A端固定，召端受集中力F作用。画出此悬臂梁的剪力图和弯矩图。下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图

(1)列剪力方程弯矩方程。首先建立坐标轴Lx，取召点为原点，然后在梁上取横坐标为二的任意截面，用一假想平面将梁切开。以梁的右段为研究对象，如图8-13(b)所示，并在所切的截面上假设一个正的剪力Q和一个正的弯矩M，画出分离段的受力图。根据平衡条件下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图

(2)画剪力图和弯矩图。由剪力方程式(1)看出，各横截面上的剪力均等于F。故剪力图是一条平行于二轴的直线，Q为正，应画在二轴的上方，如图8-13(c)所示。从梁的弯矩方程(2)可见，梁在各横截面的弯矩为二的一次函数，弯矩图应为一斜直线。只要确定直线上的两个点，便可画出此直线。下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图例8-3如图8-14(a)所示，一简支梁AB受均布载荷(q作用。试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。解:(1)首先求约束力。利用载荷与支座反力的对称性，可直接得到约束力为方向向上。下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图

(2)按图8-14(b)所示，列剪力方程和弯矩方程。由内力计算法则可得剪力方程弯矩方程下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图(3)作剪力图和弯矩图。由剪力方程(1)可知，梁的剪力是二的一次函数，剪力图应为一条斜直线。剪力图如图8-14(c)所示。由弯矩方程(2)可知，该梁的弯矩是二的二次函数，故弯矩图应为一条二次抛物线。先确定抛物线上三个特征点的弯矩:下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图根据梁的载荷与支座反力均具有对称性这一个特性，则弯矩图也必然为对称的，对称点即其抛物线的顶点在x=L/2处。作弯矩图，如图8-14(d)所示。由剪力图和弯矩图可见，在梁的两端支座处剪力值为最大|Q|max=ql/2,

;在梁跨度中点处，横截面上有最大弯矩值，而Q=0。由此题可知，受均布载荷的梁剪力图和弯矩图均是连续的曲线。剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图从以上绘制剪力图及弯矩图的过程，可归纳出绘制剪力图及弯矩图的步骤。

(1)建立直角坐标系。沿平行于梁轴线的方向，以各横截面的所在位置为横坐标二，以对应各横截面上的剪力值或弯矩值为纵坐标，建立直角坐标系。

(2)寻找分段点。即寻找剪力和弯矩图形的不连续点，一般以载荷变化点为分界点，确定剪力方程和弯矩方程的适用区间，即划定剪力图和弯矩图各自的分段连续区间。下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图

(3)计算控制点的内力值。分段点左右两侧面的剪力和弯矩值一般是不相同的，需要分别计算出来。假想在分段点把梁切开，将梁分成两段，分段点也称为控制点。计算控制点的内力值，实际上就是求各段连续内力曲线开区间的端点值。

(4)确定每段内力图的形状。由每段剪力方程和弯矩方程二的幂次，可判断出该段剪力图和弯矩图的图形形状。下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图(5)劝连线作图。在所划定的各段连续区间内，依据内力图的形状，连接各相应的控制点，即可作出整个梁的剪力图和弯矩图。

(6)注明数据和符号。在所绘制的剪力图和弯矩图中，注明各控制点的内力坐标值和各段剪力和弯矩的正负号。

(7)确定|Q|max和|M|max确定剪力图和弯矩图中绝对值最大的剪力值和弯矩值及相应截面的位置。下一页返回上一页8.3剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图8.3.3剪力图和弯矩图土木专业的剪力、弯矩图与机械专业的规定有所不同，对土木专业可按下述规定。当用于列梁内力方程绘梁内力图时，仍可应用上述梁内力符号规定，列梁内力方程。在按梁内力方程绘图时，剪力图仍然采用“第一象限”坐标(即竖坐标表示内力，横坐标表示横截面位置)，而对土木专业来说，弯矩图的竖坐标应向下取为正这样即可满足土木专业的“弯矩图必须画在梁的纵向纤维受拉的一边”的要求。返回上一页8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用8.4.1载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系在例8-3中，梁的剪力方程和弯矩方程分别为可以看出，弯矩、剪力与分布载荷之间存在着微分关系。现在就来推导这三者之间的普遍的微分关系。下一页返回8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用如图8-17(a)所示，梁上作用有任意的分布载荷，其集度为q=q(x)对，它是二的连续函数，并规定指向向上为正。在距O端距离为x处，截出微段梁dx来研究，如图8-17(b)所示。设此微段梁左边截面上的剪力和弯矩分别为Q和M，右边截面上的剪力和弯矩分别为Q+dQ和M+dM;作用在此微段梁载荷为均布载荷。设以上各力皆为正向。根据平衡条件下一页返回上一页8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用由得略去高阶微量后有将式(8-2)代入式(8-1)，可得下一页返回上一页8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用8.4.2载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系在无分布载荷作用的梁段上，即剪力图为一水平直线。弯矩图是斜直线，其斜率则随Q值而定。对于有均布载荷作用的梁段，剪力图是斜直线而弯矩图是抛物线。在集中力作用处，剪力Q有一突变(其突变的数值即等于集中力)，因而弯矩图的斜率也发生一突然变化，成为一个转折点。在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变的数值即等于力偶矩的数值。下一页返回上一页8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用例8-6简支梁及其所受载荷如图8-18(a)所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解:(1)求支座反力。由梁的平衡方程得返回上一页下一页8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用

(2)作剪力图。梁上的外力将梁分成AC,CD,DE,EB四段，在支座反力RA作用的截面A上，剪力图向上突变，突变值等于RA的大小16kN。在支座稍右的截面上，剪力QA右段受向下均布载荷的作用，剪力图为向下倾斜的直线，截面C上的剪力为确定剪力为零的截面G的位置返回上一页下一页8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用CD段和DE段上无载荷作用，截面D上受集中力偶的作用，故CE段的剪力图为水平线。截面E上受向下的集中力作用，剪力图向下突变，突变值等于集中力的大小20kV。EB段上无载荷作用，剪力图为水平线。截面E上受支座反力RB;作用，剪力图向上突变，突变值等于RB的大小。全梁的剪力图如图8-18(b)所示。返回上一页下一页8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用

(3)作弯矩图。AC段受向下均匀载荷的作用，弯矩图为向上凸的抛物线，截面A上的弯矩MA=0截面G上的弯矩为截面C上的弯矩为CD段上无载荷作用，且剪力为负，故弯矩图为向下倾斜的直线。D点稍左截面上的弯矩返回上一页下一页8.4载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用截面D上受集中力偶的作用，力偶矩为顺时一转向，故弯矩图向上突变，突变值等于集中力偶矩的大小。D点稍右截面上的弯矩DE段上无载荷作用，剪力为负，故弯矩图为向下倾斜的直线。截面E上的弯矩为EB段上无载荷作用，剪力为负，故弯矩图为向下倾斜的直线。截面E上的弯矩为零。全梁的弯矩图如图8-18(c)所示。梁的最大剪力发生在EB段各截面上，其值为Qmax=24kN(负值)。最大弯矩发生在D点稍右截面上，其值为Mmax=28kN·m(正值)。返回上一页8.5用叠加法作剪力图和弯矩图在前面所举的例题中，若仔细分析一下所建立的剪力图方程和弯矩方程，就会看到在这些方程中的剪力和弯矩都与载荷如(q,F,Me等)保持线性关系。同样，若如图8-20所示，在梁上同时作用有载荷g,F,从时，可求得此梁的剪力方程和弯矩方程分别具有如下形式。AC段：下一页返回8.5用叠加法作剪力图和弯矩图当要求梁的某一指定截面(即二等于某一常数的截面)上的剪力和弯矩时，上列各式中圆括弧内的数值都是常数，因而这些式子可改写成如下的统一形式即剪力Q(x)