教学材料《静力学》-第9章

9.1平面弯曲时横截面上的正应力9.1.1纯弯曲、剪切弯曲的概念为解决梁的强度问题，在求得梁的内力后，必须进一步研究横截面上的应力分布规律。通常，梁受外力弯曲时，其横截面上同时有剪力和弯矩两种内力，于是在梁的横截面上将同时存在剪应力和正应力，如图9-1(a)所示。只有横截面上的切向内力元素才能构成剪力，只有法向内力元素才能构成弯矩，如图9-1(b)所示。下一页返回9.1平面弯曲时横截面上的正应力如图9-2(a)所示，在一简支梁纵向对称面内，关于跨度中点对称的两个集中力P作用在梁的两端的C，D两点，此时梁靠近支座的AC,DB段内，各横截面内既有弯矩又有剪力，这种情况称为剪切弯曲或横力弯曲。在中段CD内的各横截面上剪力等于零，弯矩为一常数，这种弯曲情况称为纯弯曲。为了更集中地分析正应力与弯矩之间的关系，先考虑纯弯曲梁横截面上的正应力。上一页返回下一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力9.1.2纯弯曲、剪切弯曲的概念在矩形截面的梁表面上分布有垂直于轴线的横向线mm,nn和平行于轴线的纵向线aa

bb，如图9-3(a)所示，然后使梁发生纯弯曲变形，如图9-3(b)所示。从梁的表面变形情况可观察到下列现象。(1)横向线仍为直线，但转过了一个小角度;(2)纵向线变为曲线，但仍与横向线保持垂直;(3)位于凹边的纵向线缩短，凸边的纵向线仲长;(4)观察横截面情况，在梁宽方向，它的上部仲长，下部缩短，分别和梁的纵向缩短(上部)或仲长(下部)存在简单的比例关系。下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力根据上述表面变形现象，对梁的变形和受力作如下假设。

(1)弯曲的平面假设。梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并且仍然垂直于变形后的梁的轴线，只是绕横截面上的某轴转过了一个角度。

(2)单向受力假设。纵向“纤维”之间互不牵扯，每根纤维都只产生轴向拉仲或压缩。实践表明，以上述假设为基础导出的应力和变形公式符合实际情况。同时，在纯弯曲情况下，由弹性理论也得到了相同的结论。下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力9.1.3纯弯曲时的正应力公式

1.变形几何关系用1-1,2-2两横截面截取相距为dx的一段梁(图9-4(a)，令y轴为横截面的对称轴，二轴为中性轴(其位置待定)。弯曲变形后，与中性层距离为y的纤维bb变为弧线b’b’(图9-4(b))，且，而原长bb=dx=O1O2=。这里。为中性层的曲率半径，dB是两横截面1’-1’2‘-2’的相对转角。由此得纤维bb的线应变为下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力2.物理关系由假设(2)，纵向纤维只受单向拉仲或压缩，因此在正应力不超过材料比例极限时，由虎克定律可得式(2)表明，横截面上任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性分布，而在距中性轴等距离的各点处正应力大小相等，中性轴上正应力等于零。这一变化规律如图(9-4)所示。下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力

3.静力学关系由于中性轴的位置以及中性层的曲率半径均未确定，因此式(2)还不能用于计算应力。为此考虑正应力应满足的静力学关系。在横截面上任取一点，其坐标为yz，过此点的微面积dA上有微内力dA(图9-5)。在整个截面上这些微内力构成空间平行力系。而纯弯曲时梁横面上的内力只有位于纵向对称面内的弯矩M，于是根据静力学条件有下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力式中，A为横截面面积。将式(2)代入式(3)得并令称为截面静矩，由于E/p不能为零，则静矩S2=o，这说明中性轴二轴必过截面形心，因此中性轴位置被确定，具有唯一性。将式(2)代入式(4)可得下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力并令称为截面惯性矩，于是此即为梁的曲率公式。可见弯矩越大，梁的曲率也越大，即弯得越厉害;相同弯矩下，EIz大，曲率越小，即说明梁比较刚硬，不易弯曲。常将EIz称为梁的抗弯刚度，它表示梁抵抗弯曲变形的能力。式(9-1)是研究弯曲变形的基本公式。下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力将式(9-1)代回到式(2)，则得到纯弯曲时横截面上的正应力计算公式式中，M是横截面的弯矩sy是横截面上的一点到中性轴的距离。在实际计算时，M和y均可用绝对值代入，至于所求点的应力是拉应力还是压应力，可直接根据梁的变形情况，即判断纤维的仲缩情况来确定。下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力4.惯性矩的计算圆形截面矩形截面对于相对中性轴不对称的截面，其惯性矩可由平行移轴公式进行算。下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力

5.平行移轴公式若已知图形对其形心轴yc的惯性矩为Iyc且轴y与其形心轴yc平行，两轴间垂直距离为a，图形面积为A，则平行移轴公式为6.最大正应力、抗弯截面模量由式(9-2)可知，横截面上的正应力发生在距离中性轴最远处，即下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力合并截面的两个几何量Iz和ymax，令则有对于矩形截面，如图9-6(a)所示下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力对于圆形截面，如图9-6(b)所示各种轧制型钢的抗弯截面模量可查型钢表。例9-1图9-7所示工字形截面，已知b,h试求截面对形心轴y，二的惯性矩。下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力解:(1)求Iy。此组合截面可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个矩形，y轴既是通过组合截面形心轴，也是矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的形心轴。故有下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力(2)求Iz。可以将此组合截面理解为bXh的矩形A1减去两个的矩形A2，于是得下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力9.1.4剪切弯曲时横截面上的正应力公式工程中常见的弯曲问题大多是横截面上既有剪力又有弯矩的剪切弯曲。这时由于剪力的存在，横截面将不再保持为平面(发生翘曲)。但是根据实验和弹性理论分析，对于一般较细长的梁(跨度与高度之比l/h>5),剪力对正应力分布的影响很小，因此可将弯曲正应力公式(9-5)直接推广应用到剪切弯曲。但是在剪切弯曲时，弯矩不是常量，此时为求等直梁内的最大正应力，应将全梁的最大弯矩Mmax代替式(9-5)中的M，即下一页返回上一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力例9-2如图9-8(a)所示简支梁，梁的横截面为bXh=120mmX180mm的矩形，跨长l=3m，均布载荷(q=35kV/m。求:(1)如果将截面竖放，如图9-8(c)所示，求危险截面上a,h两点的正应力。

(2)如果截面横放，如图9-8(d)所示，求危险截面上的最大应力。返回上一页下一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力解:(1)作弯矩图，如图9-8(b)所示，跨中截面弯矩最大，为危险截面。最大弯矩为(2)竖放时，z轴为中性轴。a点距z轴为返回上一页下一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力所以b点距中性轴yb=50mm根据上面的分析，b点为拉应力返回上一页下一页9.1平面弯曲时横截面上的正应力由于该截面弯矩为正值，即梁在该截面的变形为凸边向下，故中性轴下面纤维受拉，上面纤维受压。a点在中性轴上面，而且ya=ymax故为最大压应力。(3)横放时，y轴为中性轴最大正应力发生在z=60mm处各点返回上一页9.2弯曲正应力的强度条件9.2.1梁的正应力强度由于横截面上距中性轴最远处切应力，正应力

的绝对值最大，材料处于简单拉仲或压缩的状态。如果限制梁的最大工作正应力不超过材料的许用弯曲正应力，就可以保证梁的安全。因此，由式(9-7)得梁弯曲正应力强度条件为下一页返回9.2弯曲正应力的强度条件要注意，式(9-8)的强度条件只适用于抗拉和抗压许用应力相等的材料，通常这样的梁截面做成与中性轴对称的形状，如矩形、圆形等。对于拉、压许用应力不等的材料，为了使材料能充分发挥作用，通常将梁的横截面做成与中性轴非对称形状，如T形、槽形截面等，这一类梁应分别列出抗拉强度条件和抗压强度条件:下一页返回上一页9.2弯曲正应力的强度条件对于变截面梁，由于Wz不是常量，应综合考虑M和Wz两个因素来确定梁的最大正应力即应用强度条件，可校核梁的强度、设计截面尺寸及确定梁的许可载荷。在具体计算中，材料的许用弯曲正应力可以近似用单向拉仲(压缩)的许用应力代替。下一页返回上一页9.2弯曲正应力的强度条件9.2.2梁的正应力强度的应用例9-3矩形截面的悬臂梁，如图9-9(a)所示，L=1m，在自由端有一载荷P=20kN,。要求:(1)如a=70mm，试校核梁的强度是否安全?(2)设计截面尺寸a的最小值;(3)如采用工字钢，试选择工字钢型号。条件为下一页返回上一页9.2弯曲正应力的强度条件解:(1)为求最大弯矩，作弯矩图，如图9-9(b)所示，由图可见，校核强度故安全。下一页返回上一页9.2弯曲正应力的强度条件(2)选择截面尺寸由得(3)根据以上Wz计算结果，查表得知，选18号工字钢比较合适，其Wz=185cm3.下一页返回上一页9.2弯曲正应力的强度条件例9-4一矩形截面的简支梁，如图9-10(a)所示，已知梁的跨度L=5m,截面高h=180mm，宽h=90mm，均布载荷q=3.6kN/m,许用应力，试校核此梁的强度，并确定许可载荷。解:(1)强度校核。绘出梁的弯矩图，如图9-10(b)所示，由图可知，梁的最大弯矩发生在跨中截面。

下一页返回上一页9.2弯曲正应力的强度条件梁内最大正应力故梁的强度不够。

(2)确定许可载荷。从上面的计算可知，梁承受q=3.6kN/m的载荷是不安全的。那么，该梁可以承受的载荷为多大呢?根据强度条件式(9-8)下一页返回上一页9.2弯曲正应力的强度条件已知又将式(2)、式(3)代入式(1),整理后得所以，本梁允许承受的最大均布载荷q=1.56kN/m返回上一页9.3弯曲剪应力简介9.3.1矩形截面梁如图9-13所示为一矩形截面梁，高为h,宽为b,剪力Q在某一横截面的截面对称轴坐标为y的直线上的切应力分布情况。根据切应力互等定理可知，截面两侧边上各点的切应力沿Z方向分量为零，即。因此，切应力的方向一定与侧边相切，且平行于Q。由对称关系可知，横截面中点处切应力的方向，也必然与Q方向相同，由此可见整个截面上的切应力均与Q平行。由以上分析，可对切应力的分布规律作出假设。下一页返回9.3弯曲剪应力简介(1)截面上每一点处切应力的方向都与剪力Q平行。(2)距中性轴等距离处的切应力相等，切应力沿宽度方向均匀分布。根据以上假设，经理论分析得切应力公式为式中，为距中性轴为y处切应力;Iz为全横截面对中性轴二的惯性矩;b为横截面在所求切应力处的宽度Sz为距中性轴为y的横线以下(或以上)，阴影部分面积对中性轴的静矩，如图9-14(a)所示。下一页返回上一页9.3弯曲剪应力简介代入式(9-12)，得距中性轴y处的切应力下一页返回上一页9.3弯曲剪应力简介由式(9-13)可知，矩形截面梁横截面上的切应力沿截高度按二次抛物线规律变化，如图9-14(b)所示，当，即在横截面上、下边缘处，当y=0，即在中性轴上，一。应力最大，为式中，A=bh，为矩形截面的面积，由式(9-14)可见梁的最大切应力为截面上的平均切应力1.5倍。下一页返回上一页9.3弯曲剪应力简介9.3.2工字形截面梁工字形截面梁如图9-15所示，其腹板和翼缘均由窄长的矩形组成。翼缘面积上的切应力基本沿水平方向，且数值很小，可略去不。中间腹板部分是窄长矩形，所以矩形截面切应力公式推导中的两个假设对这部分是适用的。腹板上的剪应力为中性轴处的最大剪应力为下一页返回上一页9.3弯曲剪应力简介9.3.3其他横截面梁1.T字形截面梁

图9-16(a)所示的T字形截面是由两个矩形组成的，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板类似，该部分上的切应力仍用下式算。即下一页返回上一页9.3弯曲剪应力简介2.圆形及环形截面梁对于圆形及环形这两种截面(图9-16(b),(c))，它们的最大弯曲切应力均发生在中性轴处，并沿中性轴均匀分布，其值分别为圆形环形下一页返回上一页9.3弯曲剪应力简介9.3.4弯曲切应力强度条件及其应用当最大切应力发生在最大剪力所在横截面的中性轴处，而该处的正应力为零，是纯剪切。所以，梁的弯曲切应力强度条件为利用式(9-12)，式(9-18)可写为下一页返回上一页9.3弯曲剪应力简介例9-7图9-17(a)所示矩形截面简支梁，承受均布载荷(q的作用，已知:q,l,b,h。试求梁内最大正应力和最大切应力，并求两者之比值。解:(1)确定Qmax和Mmax，画出梁的剪力图和弯矩图。由图9-17(b)可知，梁的最大剪力发生在A和B截面处，其值由图9-17(c)可知，最大弯矩发生在跨中点截面处，其值返回上一页下一页9.3弯曲剪应力简介(2)计算最大正应力和最大切应力。由式(9-7)可知，梁的最大弯曲正应力为由式(9-14)可知，梁的最大切应力返回上一页下一页9.3弯曲剪应力简介(3)最大正应力和最大切应力之比值由此例可知，当梁的跨度l与截面高度h相近时，弯曲切应力不能忽略。只有当梁的跨度远大于截面高度，而且材料的抗剪能力又比较好时，方可忽略切应力对梁的强度的影响。返回上一页9.4提高梁弯曲强度的措施所谓提高梁的强度，是指用尽可能少的材料，使梁能承受尽可能大的载荷，达到既经济又安全，以及减轻重量等目的。在一般情况下，梁的强度主要是由正应力强度条件控制的。所以要提高梁的强度，应该在满足梁承载能力的前提下，尽可能减小梁的弯曲正应力。由正应力强度条件可见，在不改变所用材料的前提下，应从减小最大弯矩Mmax和增大抗弯截面模量W两方面考虑。下一页返回9.4提高梁弯曲强度的措施9.4.1弯曲切应力强度条件及其应用

1.合理布置载荷

图9-18所示四根相同的简支梁，受相同的外力作用，但外力的布置方式不同，则相对应的弯矩图也不相同。比较图9-18(a)和图9-18(b)，图9-18(b)所示梁的最大弯矩比图9-18(a)的小，显然图9-18(b)载荷布置比图9-18(a)的合理。所以，当载荷可布置在梁上任意位置时，则应使载荷尽量靠近支座。例如，机械中齿轮轴上的齿轮常布置在紧靠轴承处。下一页返回上一页9.4提高梁弯曲强度的措施比较图9-18(a)和图9-18(c)、图9-18(d)，图9-18(c)与图9-18(d)梁的最大弯矩相等，且只有图9-18(a)梁的一半。所以，当条件允许时，尽可能将一个集中载荷改变为均布载荷，或者分散为多个较小的集中载荷。例如工程中设置的辅助梁，大型汽车采用的密布车轮等。

2.合理布置支座

图9-19(a)所示简支梁，其最大弯矩下一页返回上一页9.4提高梁弯曲强度的措施图9-19(b)所示外仲梁，其最大弯矩由以上计算可见，图9-19(b)梁的最大弯矩仅是图9-19(a)梁最大弯矩的1/5.所以图9-19(b)支座布置比较合理。下一页返回上一页9.4提高梁弯曲强度的措施9.4.2提高弯曲截面系数弯曲截面系数是与截面形状、大小有关的几何量。在材料相同的情况下，梁的自重与截面面积A成正比。为了减轻自重，就必须合理设计梁的截面形状。从弯曲强度方面考虑，梁的合理截面形状指的是在截面面积相同时，具有较大的弯曲截面系数Wz的截面。例如一个高为h,宽为b的矩形截面梁(h>b),截面竖放(图9-20(a))比横放(图9-20(b))抗弯强度大，这是由于竖放时的弯曲截面系数比横放时的弯曲截面系数大。下一页返回上一页9.4提高梁弯曲强度的措施比较各种不同形状截面的合理