素养导向的深度探究：因式分解之提公因式法进阶（八年级数学 下册）

素养导向的深度探究：因式分解之提公因式法进阶（八年级数学下册）

  一、高阶思维导向的学情深度分析

  在本单元第一课时的学习中，学生已经初步建立了“因式分解”作为“整式乘法”逆运算的基本概念，掌握了从单项式到多项式的“公因式”识别基础技能，并能够对公因式为单项式的多项式进行因式分解，例如分解6x²y-9xy²

为3xy(2x-3y)

。然而，既往的教学实践与认知科学研究表明，学生此时的认知结构仍处于“浅层联结”阶段，存在若干制约其思维向高阶发展的关键节点与迷思概念。

  首先，在概念理解层面，学生容易将“因式分解”视为一种孤立的代数变形技巧，未能将其置于“式的运算”整体框架中，与整式的乘除、幂的运算、乃至未来学习的分式运算、二次方程求解建立有意义的、结构化的联系。这种联系的缺失导致学习迁移困难，无法在复杂情境中灵活调用该工具。

  其次，在技能掌握层面，学生面临三大核心挑战：1.公因式为多项式的识别障碍。当公因式不是单一的字母或数字，而是一个整体多项式时，学生普遍缺乏“整体思想”，无法将如(x-y)

这样的多项式视为一个不可分割的“因子块”。他们常错误地将(x-y)

与(y-x)

视为不同的代数对象，而无法洞察其通过提取负号实现的相互转化关系，这是本课时需要突破的首要认知冲突。2.指数概念在因式分解中的深化应用。当公因式中涉及相同字母的不同次幂时，学生对于“最低次幂”的理解停留在机械记忆层面，未能从“乘法分配律的逆用”本质理解为何要提取最低次幂。3.分解彻底性的判断标准模糊。学生常满足于第一步的提取，而忽视检查剩余括号内的多项式是否仍含有公因式，或是否可继续用其他方法分解，导致分解不彻底。

  最后，在思维与素养层面，学生主动探究、批判性检验和结构化反思的意识薄弱。他们习惯于接受标准步骤，进行模仿性练习，而在面对非常规问题（如需要先变形再分解）时，缺乏策略性思考和元认知监控能力。

  因此，本课时的设计逻辑必须从“技能操练”跃升至“思维建构”。教学的核心任务是引导学生在挑战性任务中，主动发现认知冲突，通过合作探究与深度对话，深化对“公因式”本质（即“最大公约式”）的理解，特别是掌握“多项式公因式”与“符号转化”这一难点，并建立“分解必须彻底”的严谨意识。同时，将因式分解的初步应用嵌入实际问题情境，让学生体验其工具价值，为后续学习奠定坚实的观念与能力基础。

  二、融合核心素养的三维教学目标叙写

  基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对初中阶段“数与代数”领域的要求，结合深度学习理论，制定以下教学目标。目标叙写采用“行为主体（学生）+行为表现+行为条件+表现程度”的格式，力求可观察、可测量、可评价。

  （一）知识与技能目标

  1.在独立探究与小组讨论中，学生能准确识别出公因式为单项式或多项式的复杂多项式，并能规范表述公因式的组成。

  2.在面对公因式为互为相反数的多项式（如(a-b)

与(b-a)

）时，学生能通过主动添加负号，将其转化为相同的多项式公因式，并完成因式分解，正确率达到90%以上。

  3.给定一个需要提公因式法分解的多项式，学生能独立、完整、规范地书写分解步骤，并自觉进行“分解是否彻底”的检验，形成稳定的操作技能。

  （二）过程与方法目标

  1.经历从“单项式公因式”到“多项式公因式”的认知飞跃过程，通过对比、类比、归纳等思维活动，学生能概括出提公因式法（包括多项式公因式）的一般步骤与注意事项，发展数学抽象与概括能力。

  2.在解决“符号转化”难题和探究“分解彻底性”的过程中，学生能运用“整体思想”和“逆向思维”，体验化归与转化的数学思想方法。

  3.通过解决嵌入简单实际背景的问题（如几何图形面积表示、简单规律探究），初步尝试将因式分解作为工具进行应用，感受数学与现实的联系。

  （三）情感、态度与价值观与核心素养目标

  1.在突破“多项式公因式”和“符号处理”难点的过程中，培养不畏艰难、勇于探究的科学精神，以及细致观察、严谨推理的学习习惯。

  2.通过小组合作解决挑战性任务，增强数学交流与协作能力，学会倾听、表达与反思，在思维的碰撞中深化理解。

  3.在建构因式分解知识体系的过程中，进一步体会数学的简洁美、统一美和逻辑力量，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。

  三、教学重难点分析与突破策略预设

  教学重点：准确、熟练地提取多项式公因式进行因式分解。

  分析：这是提公因式法从“基础”到“进阶”的关键技能，是后续学习分组分解法、分式化简、方程求解等诸多内容的必备前提。其熟练度直接影响学生代数变形能力的发展。

  突破策略：采用“概念变式”与“过程可视化”相结合的策略。设计一系列阶梯式变式练习，从公因式为明显的多项式，过渡到需要识别隐藏的公因式，再上升到需要符号转化的公因式。在讲解符号转化时，利用彩色粉笔或动态课件，将(b-a)=-(a-b)

这一步单独高亮标注，强调“提取负号”的本质是乘法运算律的应用，并将(a-b)

用方框圈起来，强化“整体因子”的视觉表征。

  教学难点：1.将互为相反数的多项式识别并转化为相同的公因式；2.确保因式分解的彻底性。

  分析：难点1源于学生思维定势和“整体观念”的欠缺。难点2源于学生元认知能力的不足，容易满足于中间结果。

  突破策略：

  对于难点1，设计“认知冲突”情境。例如，先让学生尝试独立分解2x(a-b)+3y(b-a)

。预设大部分学生会卡壳。此时不直接讲解，而是抛出引导性问题链：“这两个括号里的式子看起来一样吗？有没有什么内在联系？我们学过什么运算能改变括号内各项的顺序和符号？”引导学生回忆b-a=-(a-b)

。接着，进行“替代演示”：将(b-a)

替换为-(a-b)

，原式变为2x(a-b)+3y[-(a-b)]=2x(a-b)-3y(a-b)

。此时公因式(a-b)

一目了然。最后，引导学生归纳口诀：“遇到相反数，提负转整体”。

  对于难点2，实施“反思性实践”策略。在每个例题和练习后，强制加入“检验环节”作为分解步骤的必需部分。检验问题包括：“括号内还有公因式吗？”“括号内的多项式还能用其他已知方法分解吗？”并设计针对性练习，如分解4a³b²-6a²b³+2a²b²

，学生提取2a²b²

后得到2a²b²(2a-3b+1)

，必须检查(2a-3b+1)

是否可再分解。通过反复强化，将检验内化为自动化操作。

  四、融合信息技术与多元资源的教学准备

  1.教师准备：

   -深度备课材料：除教材外，研读《数学思维教育学》、《中学数学课例研究》中关于代数概念教学的相关章节，形成高阶问题库。

   -课件设计：使用几何画板或PPT制作动态演示课件。例如，用动画展示(b-a)

如何通过提取“-1”转化为-(a-b)

；设计可拖拽的单项式卡片，让学生上台进行“寻找最大公约式”的互动游戏。

   -评估工具：设计课堂即时反馈量表（如拇指法则卡片：绿色“已掌握”、黄色“有疑问”、红色“未听懂”）、小组合作评价量规、分层课后作业单。

   -实物教具：准备不同颜色的磁贴，代表不同的单项式因子，用于黑板上的多项式组合与分解演示。

  2.学生准备：

   -知识回顾：复习巩固第一课时内容，完成关于“公因式概念”和“单项式公因式提取”的课前诊断小练习（3-5题）。

   -学具准备：课堂练习本、彩色笔（用于圈画公因式、标注关键步骤）。

   -预习思考：提前阅读教材相关段落，思考“公因式一定是一个字母或数字吗？能不能是一个式子？”

  3.环境准备：教室桌椅布置为4-6人合作学习小组模式，每组配备一块小白板或白板纸，便于展示小组探究成果。

  五、指向深度学习的教学实施过程

  本过程共设计五个环环相扣、层层递进的环节，预计用时45分钟。教师角色定位为设计者、促进者和思维教练，学生角色定位为探究者、建构者和协作者。

  第一环节：锚定旧知，创设冲突——在回顾中孕伏新问题（预计用时：6分钟）

  教师活动：

  1.快速诊断：通过课件快速呈现3道回顾性题目，请学生口答或举手反馈。

    (1)什么是多项式的公因式？（概念辨析）

    (2)找出12a²b³c,-8ab⁴c²

的公因式。（单项式公因式识别）

    (3)分解因式：3x²y-6xy²

。（单项式公因式提取应用）

    通过反馈，迅速了解学生基础，并强调公因式是“各项都含有的、次数最低的公共因子”。

  2.情境导入，引发冲突：

    呈现问题：“有一块长方形场地，它的长可以表示为(2a+3b)

，宽可以表示为(a+b)

。现在要在场地上规划出两个区域：一个区域是原场地，另一个区域是长、宽均为(a+b)

的小正方形场地。你能用两种不同的代数式表示出剩余区域的面积吗？”

    引导学生列出面积表达式：总面积S总=(2a+3b)(a+b)

，小正方形面积S正=(a+b)²

，剩余面积S剩=(2a+3b)(a+b)-(a+b)²

。

    提问：“S剩

这个式子看起来复杂，能否简化？我们学过的运算中，乘法公式？合并同类项？似乎都不行。那能否逆向思考，把它‘分解’成几个式子乘积的形式？观察这个式子，它有什么结构特点？”

    学生观察后可能发现，两项都含有(a+b)

。教师追问：“这个(a+b)

，它是一个单项式吗？不是，它是一个多项式。那么，它能不能作为‘公因式’被提取出来呢？这就是我们今天要探究的核心问题。”

  设计意图：从实际情境出发，引出含有多项式公因式的复杂表达式，制造认知冲突（公因式可以是多项式吗？），激发学生的探究欲望。同时，将因式分解置于“代数式简化”的应用背景下，彰显其工具价值。

  第二环节：核心探究，建构新知——从“单项”到“多项”的思维跃迁（预计用时：15分钟）

  活动一：发现与归纳——多项式作为公因式

  1.类比迁移：教师板书刚才的式子：(2a+3b)(a+b)-(a+b)²

。提问：“如果把(a+b)

看成一个整体，用大写字母M

来代替，即令M=(a+b)

，那么这个式子变成了什么？”引导学生得出：(2a+3b)M-M²

或M(2a+3b)-M·M

。

  2.提取演示：提问：“现在，这个式子有公因式吗？公因式是什么？如何分解？”学生容易得出公因式为M

，分解为M[(2a+3b)-M]

。

  3.还原与理解：将M=(a+b)

代回，得到(a+b)[(2a+3b)-(a+b)]

。化简括号内：(2a+3b-a-b)=(a+2b)

。所以，S剩=(a+b)(a+2b)

。

  4.归纳定义：教师强调：“在这里，(a+b)

这个多项式，就是原式(2a+3b)(a+b)-(a+b)²

各项的公因式。因此，公因式既可以是一个数字、一个字母，也可以是一个多项式。关键是要有‘整体思想’，把多项式看作一个不可分割的‘因子块’。”

  5.初步尝试：给出例1：分解因式2x(x+y)-3y(x+y)

。让学生模仿刚才的“整体思想”尝试完成。请一名学生板演，并讲解思路。师生共同规范步骤和书写格式。

  活动二：挑战与突破——处理互为相反数的多项式公因式

  1.抛出挑战：给出例2：分解因式3m(x-y)-2n(y-x)

。让学生先独立思考1分钟，然后在小组内讨论。

  2.暴露困惑：巡视中，会发现学生对(x-y)

和(y-x)

的关系感到困惑。小组讨论后，请持不同看法的小组代表发言。

  3.引导转化：教师不直接判断对错，而是提问：“(x-y)

和(y-x)

是什么关系？我们能否让它们变得一样？回忆一下，y-x

可以怎样表示？”引导学生得出：y-x=-(x-y)

。

  4.演示过程：教师板书关键转化步骤：

    原式=3m(x-y)-2n[-(x-y)]

（将(y-x)

替换为-(x-y)

）

     =3m(x-y)+2n(x-y)

（注意：减去负的等于加上正的，此处详细解释符号变化）

     =(x-y)(3m+2n)

  5.提炼策略：引导学生总结：“当公因式是互为相反数的多项式时，我们可以通过提取其中一个多项式的负号，使其变成相同的多项式，然后再提取公因式。”可以简记为：“遇相反，提负号，化统一。”

  6.变式巩固：立即给出变式练习：分解5a(b-c)+10b(c-b)

。让学生独立完成，同桌互查，重点关注符号处理步骤。

  活动三：深化与严谨——追求因式分解的彻底性

  1.设置陷阱：给出例3：分解因式4a³-8a²+2a

。让学生快速完成。

  2.展示对比：请两位学生板演不同答案：

    学生A：2a(2a²-4a+1)

    学生B：4a(a²-2a)+2a

（错误示范）

    学生C：a(4a²-8a+2)

（不彻底）

  3.引发辩论：提问：“哪个答案正确？为什么？学生C的答案对吗？”

  4.建立标准：引导学生分析：公因式应提取各项系数的最大公约数（这里是2）和各项相同字母的最低次幂（a

的最低次幂是a¹

），所以公因式是2a

。学生A正确。学生C虽然提取了公因式，但括号内的系数4,-8,2

还有公因数2，说明提取的a

不是“最大”公因式，分解不彻底。

  5.强化检验：教师强调：“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。提取公因式后，一定要养成习惯，检查括号内的多项式：①是否还有公因式？②是否符合公式特点？（为后续学习埋伏笔）”

  设计意图：本环节是整堂课的核心。通过三个层层递进的探究活动，将“多项式公因式”、“符号转化”、“分解彻底性”三大难点逐一突破。采用“问题驱动-探究发现-策略提炼-即时巩固”的模式，让学生亲身经历知识的再创造过程，将外在的数学知识内化为自身的认知结构。

  第三环节：综合应用，迁移创新——在变式与联结中固化能力（预计用时：12分钟）

  练习设计遵循“巩固-变式-综合-拓展”四层次，以小组合作探究与个人竞技相结合的形式展开。

  层次一：基础巩固（个人完成，组内核对）

  1.分解因式：(p+q)²-5(p+q)

  2.分解因式：2a(x-2y)-3b(2y-x)

    （旨在巩固多项式公因式及符号转化）

  层次二：变式辨析（小组讨论，白板展示）

    问题：下列分解因式是否正确？若不正确，请指出错误并改正。

    (1)2x(m-n)-3y(n-m)=(m-n)(2x-3y)

    (2)a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a+b)

（错误）

    (3)6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(6-x)

    （旨在辨析符号处理中的常见错误，培养批判性思维）

  层次三：综合应用（小组合作探究）

    探究任务：“请利用提公因式法，简化下列代数式，并说明每一步的依据。”

    3(x+1)²-6(x+1)

    延伸思考：若x+1=5

，请不通过代入原式，而利用你分解后的结果，快速求出该代数式的值。

    （旨在综合应用，并体会因式分解在求值中的简便性，渗透整体代入思想）

  层次四：拓展联结（思维挑战，可选）

    挑战题：已知a+b=5,ab=6

，求a²b+ab²

的值。

    提示：观察代数式的结构，能否先进行因式分解？

    （旨在建立因式分解与整体求值、乃至未来与根与系数关系的初步联结，培养优生思维灵活性）

  教师巡视各组，提供差异化指导。对层次三、四的成果，邀请小组上台用白板展示讲解，促进生生互学。

  设计意图：通过分层、变式的练习，满足不同层次学生的学习需求，实现从“掌握”到“熟练”再到“灵活应用”的跨越。小组合作与展示环节，培养了学生的协作交流与数学表达能力。拓展题则为学有余力的学生打开了更广阔的思维空间。

  第四环节：反思梳理，体系内化——从“术”到“道”的升华（预计用时：7分钟）

  1.自主梳理：给学生2分钟时间，独立回顾本节课的学习过程，在笔记本上绘制“提公因式法（进阶）”的思维导图或知识要点清单。建议维度包括：公因式的类型（单项式/多项式）、一般步骤、注意事项（符号、彻底性）、思想方法。

  2.全班分享：邀请2-3位学生分享他们的梳理成果。教师和其他学生进行补充、质疑和完善。

  3.教师精讲：教师出示自己梳理的框架图，进行系统性总结：

    核心概念：公因式（最大公约式，可多项式）。

    一般步骤：一“找”（找最大公因式，注意整体与符号）、二“提”（提出公因式）、三“验”（检验是否彻底）。

    关键思想：整体思想、化归思想、逆向思维。

    易错警示：符号处理错误（特别是相反数情形）、提取不彻底。

  4.呼应导入：回顾开头的“场地面积”问题，我们通过提取多项式公因式(a+b)

，将复杂的面积差表达式(2a+3b)(a+b)-(a+b)²

简洁地化为(a+b)(a+2b)

。这不仅是一个代数变形，从几何上看，(a+b)

正好是剩余部分的一条边长，分解结果揭示了图形结构的本质联系，体现了数学的深刻与优美。

  设计意图：反思梳理是深度学习不可或缺的一环。它促使学生将零散的知识点系统化、结构化，将操作技能升华为策略思想和数学观念。教师的总结起到画龙点睛的作用，将整堂课推向思想方法的高度。

  第五环节：分层评价，持续发展——作业设计与教学评估（预计用时：课下完成）

  （一）课堂即时评价

   -过程性评价：通过观察学生在探究活动中的参与度、提问质量、小组贡献，运用“拇指法则”收集即时反馈。

   -表现性评价：利用小组白板展示、个人板演、口头表达等，评价学生的理解深度、思维逻辑和规范性。

  （二）分层课后作业

  作业分为“基础过关”、“能力提升”和“探究挑战”三个必做板块，以及一个“数学阅读”选做板块。

  A.基础过关（全体必做，巩固双基）

   1.课本对应章节的基础练习题。

   2.判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解，并说明理由。

   3.分解因式（均涉及多项式公因式或符号处理）：

     (1)5x(a-b)+10y(b-a)

     (2)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q)

     (3)2(x-y)²-4(y-x)³

  B.能力提升（全体必做，深化理解）

   1.先因式分解，再计算求值：3.14×7.8+3.14×1.3+3.14×0.9

，体会简便运算。

   2.已知2x+y=6

，xy=4

，求2x²y+xy²

的值。

   3.小明在分解因式a(x-y)+b(y-x)

时，得到的结果是(x-y)(a-b)

；小华得到的结果是(y-x)(b-a)

。他们的结果都正确吗？为什么？这说明了因式分解结果的什么性质？（唯一性？）

  C.探究挑战（学有余力者必做，发展思维）

   1.探究规律：计算下列各式，并观察结果，你能发现什么规律？

     3²-1²=()×()

     4²-2²=()×()

     5²-3²=()×()

     ……

     请用含有整数n的式子表示这个规律，并尝试用提公因式法证明你的结论。（为平方差公式做铺垫）

   2.试说明：对于任意整数n，代数式(n+2)²-n²

的值都能被4整除。（利用因式分解进行论证）

  D.数学阅读（选做，拓展视野）

   推荐阅读：《数学与生活》中关于“素数分解唯一性”的科普短文，思考“整数的质因数分解”与“多项式的因式分解”有何异同，写一篇100字左右的心得。

  （三）教学反思预设备忘录（供教师课后使用）

   1.本节课“符号转化”难点突破的有效性如何？有多少学生真正理解了“提负号”的原理而非机械模仿？