4.三次函数及应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

三次函数的图像与性质及应用三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数，因为其导函数二次函数是中学阶段研究最深的函数之一，于是在学习完导数后，我们可以通过对其导函数二次函数的详细研究来弄清楚三次函数的基本性质.通过对三次函数的系统研究，能够增强学生对导数的应用价值的认识和理解.正因如此，三次函数在高考中自然也是热门的考察方向，特别是在24年连续出现在两套新高考试题中后，再一次引起了研究热潮.本节试图从三次函数的基本性质出发，展示其重要的一些应用手法.基本命题原理对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下：1.根的个数（）.对于三次函数，其导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=，（1）若，则恰有一个实根；（2）若,且，则恰有一个实根；（3）若,且，则有两个不相等的实根；（4）若,且，则有三个不相等的实根.注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.2.极值情况：三次函数（）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=，（1）若，则在上为增函数；（2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.证明：,△=，（1）当即时，在R上恒成立，即在为增函数.（2）当即时，解方程，得由得或，在和上为增函数.由得，在上为减函数.总结以上得到结论:三次函数（）（1）若，则在上无极值；（2）若，则在上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.3.对称中心三次函数的对称中心为点，该点是三次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.4.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式有三个根,设为（2）由三次方程根与系数的关系：二．典例应用★1.小题训练（主要围绕性质，多记多便利）例1．关于函数，下列说法正确的是（

）①曲线在点处的切线方程为；②的图象关于原点对称；③若有三个不同零点，则实数的范围是；④在上单调递减.A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④解析：函数，求导得，对于①，，而，则切线方程为，即，①正确；对于②，，则的图象关于原点不对称，②错误；对于③，当或时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标，因此当直线与函数图象有3个交点时，，③正确；对于④，在上单调递减，④正确，故选：D以下选择题均为多选题.例2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在，使得为曲线的对称轴D．存在，使得点为曲线的对称中心解析：A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD例3．设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，无极值点C．，使在上是减函数D．图象对称中心的横坐标不变解析：对于A，当时，，求导得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；对于B，，当时，，即恒成立，函数在R上单调递增，无极值点，B正确；对于C，要使在R上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为R，C错误；对于D，由，得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD例4．已知函数，则（

）A．是函数的极小值点B．存在3个不同的值，使得函数有2个零点C．有且仅有一个值，使得曲线有对称轴D．存在无数多个值，使得曲线有对称中心解析：由题意可知：函数的定义域为R，且，对于选项A：例如，则，令，解得或；令，解得；可知在0,1内单调递减，在内单调递增，可知是函数的极大值点，故A错误；对于选项B：因为，可知0不为的零点，令，可得，令，则，若函数有2个零点，则与有2个交点，令，则，当时，；当或时，，可知在内单调递增，在内单调递减，且，当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，

由图象可得或或，则或或，即存在3个不同的值，使得函数有2个零点，故B正确；对于选项C：若曲线有对称轴，设为，则，即，整理可得，结合的任意性可知，解得，所以有且仅有一个值，使得曲线有对称轴，故C正确；对于选项D：若，则，所以的对称中心为，即存在无数多个值，使得曲线有对称中心，故D正确；故选：BCD.例5．已知函数，则（

）A．存在实数使得B．当时，有三个零点C．点是曲线的对称中心D．若曲线有两条过点的切线，则解析：对A，根据已知的导函数，令则，令，，当时，根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确；对B，根据题意知，令得到，在和上，所以在和单调递增，在上，所以在单调递减，是的极大值，且的极大值大于极小值，，，所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误；对C，令，该函数定义域为R，且，所以为奇函数，是的对称中心，将向下移动两个单位得到的图像，所以点是曲线的对称中心，故C正确；对D，过的切线的切点为，切线斜率为，则切线方程为，把点代入可得，化简可得，令，则，令可得或，在和上大于零，所以在和上单调递增，在上小于零，所以在单调递减，要使有两个解，一个极值一定为，若函数在极值点时的函数值为，可得，所以若函数在极值点时的函数值为，可得，所以，故D不正确.故选：AC6．（2024·全国·高考真题）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，解析：对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，f′x<0，当或时，f函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在0,1上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.解答题部分例7.已知曲线在点处的切线与曲线的另外一个交点为为线段的中点,为坐标原点.（1）求的极小值并讨论的奇偶性.（2）当函数为奇函数时,直线的斜率记为,若,求实数的取值范围.解析：（1），当时,；当时，.当时,显然，所以为奇函数.当时，显然.且，所以为非奇非偶函数.（2）,所以曲线在点处的切线方程为，其与原曲线方程，联立化简得:.从而.所以,.由于；即当时，都有.令,则，易知当时,；当时,.即在上递减，在上递增，所以当时,，所以，从而实数的取值范国为.注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.例8.（切割线定理）如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点的切线与三次函数的图象交于点，同时，过的割线与三次函数的图象交于三点.我们有以下结论：三次函数切割线定理.；；（3）.证明：显然，方程①整理可得：.结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：，结论（1）证毕.（2）设直线的方程为，代入的表达式结合韦达定理可得：,再联立，可证得：.（3）同理，如图，再联立，可得：.例9．（2025四川绵阳一诊）已知函数有两个不同的极值点，.（1）求证：函数有3个相异零点；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的最大值.解析：（1），令，则是的两个实数根，所以，故，且是极小值点，是极大值点，由于当或时，，当，故在单调递减，在单调递增，由于，且，故，又因此函数有3个相异零点.（2），即，代入可得，化简可，则，由于方程无实数根，所以，故，（3）由可得，即，由于，故，由于可得，将其代入上式可得，化简可得，进而由于，故，即，由于，故，当且仅当时取到等号，故，故，因此的最大值为三．习题演练1．已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．解析：，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根，即，则，即，所以A错误；因为三次函数有三个不同的零点，所以，所以，同理，所以，故C正确，D错误；由的图象与直线的交点可知，B正确．故选：BC．

2．（2025·浙江杭州·一模）设函数，若，则（

）A．2 B．1 -1 D．-2解析：因为，所以，即，令，，所以在上为单调递增的奇函数，由于，，所以，则，故选：D．3．设函数，则（）A．当时，在处取极大值B．当时，方程有个实根C．当时，是的极大值点D．存在实数，恒成立解析：当时，，则，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以，，故A正确；因为，如下图所示：由图可知，直线与函数的图象有三个交点，即时，方程有个实根，故B正确；对于C选项，，当时，，此时函数在上单调递增，故C错误；当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确．故选：ABD4．（2025·浙江金华·一模）已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（

）A． B．C．的解集为 D．解析：对于A，，由题意可知，解得，此时，故A正确；对于B，由，其为二次函数，开口向上，对称轴为，则到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即，即，故B错误；对于C，解不等式，即，整理为，因式分解得，解得，故解集为，故C正确；对于D，对于，有，当且仅当时取等号，同时，由于，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，，所以，故D正确．故选：ACD．5．设直线与曲线的三个交点分别为，且．现给出如下结论：①的取值范围是；②为定值；③.其中正确结论的为解析：设，则，令，解得：或；当或时，，当时，；∴在上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当时，取得极大值，当时，取得极小值；作出函数的图象如图所示：∵直线与曲线有三个交点，由图象知.令，则是的三个实根．∴，即，∴，，，①③正确；∴，∴②正确；综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．6.椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且．（1）当时，讨论函数零点的个数；（2）已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：；（3）已知，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标．参考公式：解析：（1）由题设