6. 盘点全国卷中的比较大小问题-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

6.盘点全国卷中的比较大小问题1.单调性再搭桥具体操作步骤如下：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.⑤换底公式要记牢！例1．（2019全国1卷）已知，则A． B． C． D．解析：则．故选B．点评：送分题.例2．(2019年3卷)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A．B．C．D．解析：是上的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C．例3．(2016年3卷理科)已知,,,则 ()A． B． C． D．解析:因为,,故选A.例4．(2016年1卷理科)若，则 ()A.B.C.D.解析：对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B：由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；对C：要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和构造函数，则，在上单调递增，因此又由得，∴，C正确对D：要比较和，只需比较和而函数在上单调递增，故又由得，∴，D错误，故选C．例5．(2017年1卷理科)设为正数,且,则 ()A． B． C． D．解析：令,则,,∴,则，,则,故选D．2．结合重要不等式基本不等式，糖水不等式以及一些重要的恒等关系等需注意.例6．（2018全国3卷）设，，则A． B．C． D．详解：.,即，又，即，故选B.例7.（2020全国3卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b解析：由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.例8.（2020新高考1卷）.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A. B.C. D.解析：对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD3．结构一致可同构例9．(2020年高考2卷理科)若，则 ()A． B． C． D．解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定．故选：A．例10．(2020年高考1卷理科)若，则 ()A． B． C． D．解析：设，则为增函数，因为所以，所以，所以．，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误．故选：B．4.构造函数比较大小1.构造相同函数，比较不同函数值2.构造不同函数，比较相同函数值这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!3.构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.4.先同构，再构造，再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.例11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．解析：方法1.，，由，，可得，又为上增函数，则，即，故选：B方法2.设，则，当时，，所以在上递增，在上递减.由于，，故选.例12．若，则（

）A． B．C． D．解析：设，则，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以；故.故选：A.注：在这里，我们需要特别注意函数在相关比较大小问题中的出镜率，以及结合对数性质，所出现的型等等，比如可以看下例.例13．设，，，则（

）A． B． C． D．解析：设，，所以在上单调递增，在上单调递减.而，，，因为，所以．故选：A．二．构造不同函数，比较相同函数值这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!例14．（2022新高考1卷）设，则（

）A． B． C． D．解析：方法1.构造函数，作差（商）比较大小，即讨论差（商）函数的性质.令，，，为了方便比较，做如下处理：，；，所以，所以，所以，，令，所以，所以，所以，所以，所以．方法2.构造函数，利用泰勒展开直接估值.构造函数.则可以看到：，由于较小，所以对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开：；（公众号：凌晨讲数学）；.在处，显然，故.例15．设，，，，则（

）A． B． C． D．解析：方法1.（构造函数，泰勒展开估计）设，，，，注意到题干实质在比较：，且考虑到接近于0，故对上述函数在进行泰勒展开即：，代入到上式，显然易得：，故选：B方法2.（构造函数，作差比大小）易得.设，则令有，故在上单调递增.①因为，即，故，即，故，即.②设，则，设，则.设，则，故为增函数，故，即.故，当时，为增函数，故，故当时为增函数，故，故.③设，，易得当时，故，即.综上三．构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.1.切线不等式：高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式：；1.2；将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：①②；③；2.高次不等式放缩2.1；2.2；2.3；2.4.3.分式不等式放缩3.13.2例16．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．解：设，，令，解得.，，单调递减，，，单调递增.所以，即，当且仅当时取等号.所以.又，故，所以；设，，令，解得.，，单调递增，，，单调递减.所以，即，当且仅当时取等号.所以，故，又，所以，故.故选：B.例17.设，（e是自然对数的底数），则（

）A． B．C． D．解析：由于，故所以对也用帕德逼近，故.当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.例18.已知且且且，则（）A. B. C. D.解析：因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．例19.已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（

）A． B． C． D．解析：由，可得，即，设，可得，因为，可得，又因为，所以，即，所以，当时，，可得函数在为单调递增函数，所以，即.故选B.例20.（2025年新高考1卷）．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（

）A． B．C． D．解析：法一：设，所以,令，则，此时，A有可能；令，则，此时，C有可能；令，则，此时，D有可能；故选：B．法二：设，所以，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B．例21.（广东省2026届高三第一次模拟考试）已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（

）A． B． C． D．解析：因为，，，，则，故，又，，，，，故最小值是，故选：C．例22.（福建省泉州市2026届高三9月调考）．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（

）A． B． C． D．解析：令，得，在同一坐标系内作出函数的图象，则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标，观察图象得，当时，；当时，；当时，，因此ABC都可能，D不可能.故选：D例23.（浙江省嘉兴市2026届高三一模）若实数满足，则下列结论不可能成立的是（

）A． B．C． D．解析：由，得，由选项知只需要讨论及两种情况.当时，，所以，因为函数在上单调递增，所以，即，得成立，故A正确；又因为，所以，即，得，所以，故B正确；当时，，所以，因为函数在上单调递增，所以，即，得成立，故C正确；因为，所以，所以，得，即，故D错误，故选：D.三．习题演练1．已知函数，记，则（

）A． B． C． D．解析：因为，所以；又因为，所以，又因为在上单调递减，所以，故选：D．2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则a,b,c的大小关系是（

）A． B． C． D．解析：令，由是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数，又因为时，，所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数，构建，则，可知在内单调递增，则，可得；构建，则，可知在内单调递增，则，可得；由，可得，故，所以；设，则，所以在单调递增，故，所以，即，所以，所以，故选：D3．已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．解析：令，对于任意的实数都有，即为偶函数；；当时，，当时，为增函数；又，，即.故选：C.4．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．解析：因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.5．已知正实数，满足，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．解析：由题，构造函数，则，显然在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当，时等号成立.所以的最大值为0.故选：A.6．已知，则（

）A． B． C． D．解析：设，则，所以在单调递增，所以，即当时，有，所以．同理可得，所以，即．设，则0，所以在单调递增，所以，即当时，有，所以．又因为，所以．综上可知，．故选：B．7．已知实数，分别满足，，且，则（

）A． B． C． D．解析：由，，得，，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，同理可证，所以，当时，可得，即，设，则，所以当时，f′x<0，单调递减，当时，f′x>0，单调递增，所以，即，整理得，即，所以.故选：C8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．解析：A选项，根据可得，在R上单调递增，因为，所以，A正确；B选项，因为，，且，总有，所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，因为，所以，B正确；C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.

故选：ABD9．已知函数，且，则（

）A． B．C． D．解析：，则，函数是定义在上的奇函数，在上单调递减且下凸（类似于反比例函数），由题意，，可得.对于A，，，即，故A不正确；对于B、D，函数在上单调递减且下凸，，即，故B正确，，即，故D正确；对于C，，设，，当时，，故C错误.故选：BD.10．已知定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．若，，，则，，的大小关系为___________．（用符号“”连接）解析：因为，所以，所以函数f(x)在上单调递减，因为函数f(x)满足，所以因为即，所以，又，，所以，所以即.故答案为：.11.（2023年教育部四省联考）已知a，b，c满足，，则（

）A．， B．，C．， D．，解析：（方法1）由题意得，即，则，则，令，根据减函数加减函数为减函数的结论知：在上单调递减，当时，可得，，两边同取以5为底的对数得，对通过移项得，两边同取以3为底的对数得，所以，所以，所以，且，故此时，，故C，D选项错误，时，，，且，故A错误，下面严格证明当时，，，，根据函数在上单调递增，且，则当时，有，，，下面证明：，，要证：，即证：，等价于证明，即证：，此式开头已证明，对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得，则故当时，，则，当时，可得，，两边同取以5为底的对数得，对通过移项得，两边同取以