16.三角恒等变换中的十大常考类型-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

三角恒等变换备考中务必熟练的十大类型一．同角三角函数的基本关系1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系:.（2）商数关系:.（3）（4）2.同角三角函数的三大应用2.1正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化2.2已知正切求齐次式的值2.3应用1.正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化例1．若，且为第三象限角，则（

）A． B． C． D．解析：∵，且为第三象限角，∴，∴．故选:D．应用2.例2．已知，，则（

）A． B． C． D．解析：，，，，.故选：D.应用3.已知正切求齐次式的值例3．已知方程，则（

）A． B． C． D．解析：因为方程，所以，即，则或（舍去），所以，所以，，故选：B小结：已知，我们可计算如下齐次式：（约定分母不为0）（1）（2）（3）二．万能公式：（齐次式切弦互化）作为齐次切弦互换的一个应用典例，推导出的万能公式及应用也是非常常见常考的问题.，，例4．已知，且，则（

）A． B． C． D．或解析：由，所以，则，由，则.故选：A例5．已知第二象限角满足，则（

）A． B． C． D．解析：∵，∴，解得或（舍去），所以.故选：D例6．已知为锐角，且，，则（

）A． B． C． D．分析：显然，解出参数的值是关键，这自然想到了万能公式.解析：∵，解得，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．三．诱导公式诱导公式记不住，就利用两角和差公式现场推导即可，例如例7．已知.（1）求的值；（2）求的值.解析：（1）由可得，即；（2）.四.两角和与差与二倍角公式1.两角和差公式（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.（6）.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）;（2）;（3）.3.常见角的拆分与组合:例8．（

）A． B． C． D．解析：．故选：B．下面讨论常见的三类应用（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．例9．（给值求值）已知，则的值为（

）A． B． C． D．解析：，因为，所以，则在第二或第三象限，因为，当在第三象限时，由于，又在上递增，且，所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，因为，所以．因为，所以，则．因为，所以．所以，即．故选：A．例10．（给值求角）若，，且，，则（

）A． B． C． D．解析：，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故选：A．例11．（给值求角）已知，且，，则的值___________解析：，，，，，.故答案为：.例12．已知，，，则___________解析：因为，所以，若，则，所以，因为，所以，若，则，所有，故.故答案为：.注：在给值求角过程中，一定要注意“缩角”，即已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好．五．辅助角公式辅助角公式:形如的式子可做如下变换:--------(1)令(1)式=,其中.例13．已知函数.（1）当时，求的取值范围；（2）若锐角，满足，，求.解析：（1）,因为，则，所以，所以.（2）由第（1）问知，所以，因为，所以，因为，为锐角，所以，因为，所以，所以.例14．已知函数在处取得最大值，则（

）A． B． C． D．解析：因为，其中，当时，取得最大值，即，所以，所以故选：A六．和差化积与积化和差公式三角函数和差化积公式，一个出现在新教材必修一226页习题！（凌晨讲数学）一．基本原理1.公式汇编与证明:；；；.证明：由，，得.也可利用单位圆予以证明：证明：线段AB的中点M的坐标为.过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则.在中，.在中，.2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式（1）平方差公式：即（2）证明：左边右边，所以原式得证.3利用和差化积公式解决抽象函数（1）将上述公式予以抽象，若令，则上述积化和差公式可进一步抽象得：（2）若令，则有（3）进一步，倘若令，那么上述和差化积公式可以表示为：，抽象为：（4）若令，那么：则有：综上所述，有关和差化积，我们可以得到如下的抽象函数模型；①.②.③.二．典例分析★应用1.利用和差化积（积化和差）公式求值与化简例1．如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于两点，且若直线的斜率为，则（

）

A． B． C． D．解析：由题意可设，，则直线的斜率，所以，所以．故选：A．例2．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．解析：由和差化积公式，得，，两式相除，所以.所以.故选：B．例3．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（

）A．B．C．当面积为时，点在圆上运动D．点的坐标为解析：由已知，得，则，依题意为的中点，则，故A正确；由题意，得，，则，，所以，故B正确；由题意可得，，因为的中点，则，其中，因故，故D正确；由，则，，设，则，将两式平方相加得，即，即点在园上运动，故C错误.故选：ABD例4．已知函数，则（

）A．的一个周期为 B．的图像关于中心对称C．的最大值为2 D．在上的所有零点之和为解析：对于A，，所以A正确；对于B，，所以B正确；对于C，若最大值为2，则，，当，，此时，，，故C不正确；对于D，，令得，所以或，又，所以或或或或，解得或或或或，即所有零点之和为，故D正确.故选：ABD★应用2.利用和差化积（积化和差）公式处理抽象函数例5.（2022新高考2卷）已知函数的定义域为，且，则A.B.C.D.解析：方法1.由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意.于是，周期为6，且，进一步，故选A.方法2.因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．例6．已知函数对任意实数，都满足，且，则（

）A．是偶函数B．是奇函数C． D．解析：（方法1.函数模型）由①，构造，易得结果选AC.（方法2.赋值分析）：在中，令，可得，即，解得，故B错误；令可得,即，故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；令，则，故，令，可得,故，故C正确；因为是偶函数，所以，故,即，所以,所以，故函数的周期为2，因为，，所以，.所以，故D错误.故选：AC.例7．已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（

）A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．在内单调递减解析：（方法1.函数模型）由③，构造，且，，易得结果：,故选：BC（方法2.赋值分析）：对于A，令，得，因为，，所以，所以，所以A错误，对于B，令，则，因为，所以，所以为奇函数，所以B正确，对于C，令，则，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，所以C正确，对于D，因为，，，的周期为，所以，令，则，所以，得，所以，所以在上不单调，所以D错误，故选：BC例8．已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（

）A．为偶函数 B． C． D．解析：方法一：由于．由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误．因为，故选项B正确．因为，故选项C正确．因为，故，故选项D错误．方法二：对于选项A，因为的定义域为R，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误．对于选项B，令，则．而，所以，故选项B正确．对于选项C，由选项B可知，，令，则，所以．又因为为奇函数，所以，故C正确．对于选项D，由选项B以及，可得，所以，同理可得．因为，故，故D错误．故选：BC七．二次函数型（1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值.（2）或.对于,由二倍角公式,得,令,则问题转化为关于的二次函数问题.类似地,对于,用二倍角公式,使其转化为二次函数问题.例16．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A八.和差与乘积结合型函数如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.例17．已知函数，则的最大值为（

）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，则.故选：A.九．三倍角公式：例18．函数的值域为____________．解析：，设，，则，，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为.其他例19..解析：.例20.（1）；（2）.解析：（1）.（2）.习题演练1．若，则（

）A． B． C． D．解析：将式子进行齐次化处理得：．故选：C．2．若，则（

）A． B． C． D．解析：，，，，解得，，.故选：A.3．已知，则（

）．A． B． C． D．解析：因为，而，因此，则，所以.故选：B4．已知，且，则（

）A． B．C． D．解析：，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.5．若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．解析：，令，得，∴函数在，单调递增，由题知在上单调递增，∵，∴，解得.故选：B.6．已知.求的单调递增区间.解析：化简得，令，，解得，所以单调递增区间为