23. 球的切接问题与应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

全国卷球的切接问题与应用一．基本原理★1．球的截面若用一个平面去截半径为的球，得到的截面是一个圆：（1）若平面过球心，则截面圆是以球心为圆心的圆；（2）若平面不过球心，如图所示，小圆圆心为，则，记，则.（3）外接圆半径的计算：常用★2．正方体（长方体）与补形（1）正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.（2）正四面体：由四个全等\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"正三角形围成的空间\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"封闭图形，所有\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"棱长都相等.正四面体的外接球：补成正方体进行，假设正四面体棱长为,其外接球半径为，内切球半径为，则，如图1所示.（3）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图2所示★3．墙角模型.三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，如下图．★4．直棱柱（圆柱）1.基本定义：棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直\t"/item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank"棱柱叫做正棱柱.正棱柱是\t"/item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank"侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱.2.外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。3.计算公式：设底面小圆的半径为，棱柱高为，则.★5．等腰四面体.（圆锥）四面体中中，.性质1：顶点在底面的投影为底面外接圆圆心.证明：如图，由于，故根据勾股定理：，即顶点在底面的投影恰好是底面的外心.既然如此，根据外接球的性质，三棱锥外接球的球心在线段或者线段的延长线上，再次根据勾股定理，设外接球的半径为，的外接圆半径为，线段的长度为，则有：或.性质2：解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（棱锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．★6．二面角模型如下图，所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．如图，设、为面与面的外接圆圆心，其半径分别为、，两相交面的二面角记为，公共弦为的弦长为，四面体球的半径.两圆、的弦心距:；两圆、的圆心距:，由于四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径，而，则由正弦定理：，于是外接球的半径可得，进一步整理： ①特别地，当时，代入可得：②★7．垂面模型此模型的解决方法与上一类型相似，只是此时二面角成为直二面角，需要注意的是，垂面模型多出现在面面翻折过程中，当体积最大时，会出现面面垂直，这就相当于一个90度的二面角，用上一类型的方法即可处理，只是该类题目出现较多，所以单独整理.★8．棱台模型★9．直角三角形共斜边拼接★10．内切球问题如图1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球半径.第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.图1图2如图2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径，第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.2.等体积法三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径，方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.第一步：先算出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为，建立等式：第三步：解出二．真题汇编与巩固练习一、单选题1．（2022·新高考全国1卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．4．（2020·全国2卷·高考真题）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（

）A． B． C．1 D．5．（2020·全国1卷·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．6．（2019·全国1卷·高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．7．（2018·全国3卷·高考真题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．8．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．9．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．10．如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（

）A． B．2 C．3 D．11．已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（

）A． B． C．2 D．3二、多选题12．（2023·新课标1卷高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体13．已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（

）A．是钝角三角形B．直线与平面所成角为定值C．三棱锥的体积的最大值为D．三棱锥的外接球的表面积为三、填空题14．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有__________个公共点．15．（2020·全国3卷·高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________．16．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为_________．18．两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角的大小为，则的边长为__________．19.（2025新高考2卷）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为__________．参考答案一、单选题1．（2022·新高考全国1卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，(当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C.3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【详解】，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.4．（2020·全国2卷·高考真题）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（

）A． B． C．1 D．【详解】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离.故选：C.5．（2020·全国1卷·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A

6．（2019·全国1卷·高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.7．（2018·全国3卷·高考真题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.8．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】方法一：，如图，，而，，，即，由于到距离，则到距离，设正方形外接圆圆心，则设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径，，故外接球表面积为，故选;A.方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图：设圆的半径为，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半径为，所以球的表面积为.故选：A.9．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．【详解】令外接球的半径为，依题意，，，过点作，则，所以，又，所以，所以圆台的侧面积，球的表面积，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.故选：C10．如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（

）A． B．2 C．3 D．【详解】如图，，又放入的球的半径为，由于圆台的体积，由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切；下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则，由于，则，则，那么，则，那么在上方，即该小球先与上下底面相切．故选：D2．已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（

）A． B． C．2 D．3【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为，因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为，取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，如下图所示：根据线面角的定义知，则，因为，，所以，在中，，所以，解得或，即.（若球心O在的延长线上时，，求得，此时）故选：D.二、多选题12．（2023·新课标1卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.13．已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（

）A．是钝角三角形B．直线与平面所成角为定值C．三棱锥的体积的最大值为D．三棱锥的外接球的表面积为【详解】如下图所示：易知，由可得；固定平面，由二面角的大小为可知为一个与平面夹角为的平面与的交点（在的右侧），如图中过平面的虚线形成的劣弧所示：取的中点为，作平面，则有，又易知，如下图所示：在劣弧上运动，对于A，易知，因此可得是钝角三角形，即A正确；对于B，设直线与平面所成的角为，则，为定值，即B正确；对于C，作，易知三棱锥的体积的最大值为，即C错误；对于D，设三棱锥的外接球的球心为，如下图：由于是的外心，则平面，因此三点共线，设，在中由勾股定理可得，解得；因此三棱锥的外接球的表面积为，即D正确.故选：ABD三、填空题14．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的