福州大学《高等数学下》课件-第10章常数

第十章常数一、常数项级数的概念与基本性质二、常数项级数的审敛法三、幂级数四、泰勒级数福州大学《高等数学下》一、级数的概念二、基本性质三、收敛的必要条件四、小结

第一节常数项级数的概念与基本性质一、级数的概念1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和2.级数的收敛与发散:余项解

收敛

发散

发散

发散

综上解二、基本性质结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.发散未必发散证明

说明在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.证明注意(1)加括号后的级数收敛,原级数不一定收敛.

收敛

发散(2)若级数中每项为正,则加括号后不改变原级数的敛散性三、收敛的必要条件证明注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件不充分.由性质4推论,调和级数发散.四、小结常数项级数的基本概念基本审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛四、小结

常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.基本定理证明即部分和数列有界3.比较审敛法1:比较审敛法的不便:须有参考级数(基本级数)解由图可知重要基本级数:几何级数,p-级数,调和级数.证明4.比较审敛法的极限形式(比较审敛法2):设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;

(2)当时，若收敛,则收敛;

(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法的推论,得证.解故原级数发散.故原级数收敛.比值法的优点:不必找参考级数.两点注意:解(4)(4)级数收敛.例5判定的敛散性二、交错级数及其审敛法定义:

正、负项相间的级数称为交错级数.证明定理证毕.解(1)原级数收敛.三、绝对收敛与条件收敛定义:

正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明上述定理的作用：任意项级数正项级数解（1）故由定理知原级数绝对收敛.例9判断下列级数的敛散性四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较审敛法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;思考由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.∑（-1）n（——）n发散∑（-1）ntan—条件收敛nn+1n=1∞1nn=1∞1.2.设数列{an}单调减少，且liman=0，级数∑an发散，则∑an

（x-1）n的收敛域是——————。[0,2）n→∞n=1∞∞n=13.求幂级数∑(2n+1)xn的收敛域及和函数S（ｘ）．ｎ=0∞4.设正数列{an}单调减少,且级数∑

(-1)nan发散,证明：级数∑

(√1+an-1)发散．n=1∞_____n∞n=1一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结幂级数一、函数项级数的一般概念1.定义:2.收敛点与收敛域:函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域?)解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:证明证明由(1)结论推论定义:上述正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛区间、收敛域几何说明收敛区域发散区域发散区域规定问题如何求幂级数的收敛半径?解该级数收敛该级数发散例2

求下列幂级数的收敛域:发散收敛故收敛域为(0,1].解级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中(2)乘法(其中柯西乘积2.和函数的性质:(收敛半径不变)(收敛半径不变)解两边积分得解收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:性质1.函数项级数的概念:思考题

幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是一、泰勒级数二、函数展开成幂级数泰勒级数泰勒(Taylor)公式---拉格朗日余项泰勒级数注：0!=1,f(0)(x0)=f(x0)的级数称为f(x)的泰勒级数麦克劳林级数的级数称为f(x)的麦克劳林级数2.展开条件且展开式唯一。二、函数展开成幂级数(麦克劳林级数)1.直接法(泰勒级数法)步骤:(4)写出收敛域例1解例2解例3解牛顿二项式展开式注意:2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如例4将下列函数展开为x的幂级数(2)f(x)=ln(1+x)例6解例8将级数的和函数展开成的幂级数.一、近似计算二、计算定积分

第五节函数的幂级数展开式的应用例1解e≈2.71828第四项取前三项作为积分的近似值,得例3解收敛的交错级数三.1.设生产某种产品的数量与所用两种原料A,B的数量x,y间有关系式f(x,y)=0.005x2y,欲购150元原料，已知A,B原料的单价分别为1元，2元，问购进两种原料各为多少可使生产的数量最多？生产的最多的数量是多少？2.由z3-3xyz=1所确定的函数为z=z(x,y),求dz.四.1.计算二次积分∫

dx∫cos(y2)dy.2.设f(u,v)具有二阶连续的偏导数,z=f(2xy,x2+y2),求——，——，——五.1.将f(x)=————展开为x-1的幂级数.01x1əzəxəzəyəxəyə2z1x2+3x+22.计算二重积分∫——

dxdy

其中D:x2+y2≤4,x+y≥2.六.1.求微分方程y/

cosx+ysinx=1的通解。2.求幂级