专题01 集合（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第13页（共14页）专题专题01集合

1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B

⫌A)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．►考点01集合的含义与表示▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼解决集合含义问题的关键点(1)一是确定构成集合的元素．(2)确定元素的限制条件．(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．【例1】（2025•泰安校级模拟）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④【答案】【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项．【解答】解：对于①，不满足元素的确定性，不能组成集合，故①错误；对于②，方程在实数集内的解组成的集合为，故②正确；对于③，直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为，，故③正确；对于④，不满足元素的确定性，不能组成集合，故④错误．故选：．【例2】（2024•沈河区校级模拟）下列四个命题：①是空集；②若，则；③集合中有2个元素；④集合是无限集．其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．0【答案】【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①中有元素0，不是空集，故①不正确；②若，则，不正确，例如，，而；③集合有1个元素，故③不正确；④当为正整数的倒数时，，故集合是无限集，故④正确．故选：．【例3】（2022•渭滨区校级模拟）设集合，，，若，则A．或或2 B．或 C．或2 D．或2【答案】【分析】分别由，，求出的值，代入观察即可．【解答】解：若，则，，，4，；若，则或，时，，，，；时，（舍，故选：．【例4】（2024•东湖区校级三模）若以集合，，，的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形【答案】【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的结合的元素个数即可得到结果．【解答】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；满足题意的可能是梯形．故选：．【例5】（2024秋•深圳校级期末）若集合，，，则实数的取值可以是A．2 B．3 C． D．5【答案】【分析】根据集合中元素的互异性求解．【解答】解：由元素的互异性可得，，解得，，，观察四个选项可知，符合．故选：．►考点02集合间的基本关系▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【例6】（2025•雨花区校级模拟）已知集合，则集合的真子集个数是A．3 B．6 C．7 D．8【答案】【分析】化简集合，可得集合的真子集个数．【解答】解：集合，4，，则集合的真子集个数为．故选：．【例7】（2025•河北模拟）已知集合，，，若，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】先求出集合，再根据，即可求出实数的取值范围．【解答】解：由题意得，因为，则，所以实数的取值范围是．故选：．【例8】（2025•安徽模拟）已知集合，，若，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，【答案】【分析】根据集合的包含关系即可求解．【解答】解：因为集合，，且，所以，即实数的取值范围是，．故选：．【例9】（2025•安徽模拟）在下列选项中，能正确表示集合，0，和关系的是A． B． C． D．【答案】【分析】先求出集合，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：解方程，得或，所以，，又，0，，所以．故选：．【例10】（2025•青羊区校级模拟）集合，，若，则实数的取值范围A． B．， C． D．，【答案】【分析】根据列出不等式，求出的取值范围即可．【解答】解：因为集合，，若，则，即实数的取值范围为，．故选：．►考点03集合的基本运算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．【例11】（2025•景德镇模拟）已知全集，2，3，，，，则A． B．， C．， D．，2，3，【答案】【分析】由已知可得，再由补集运算的定义得答案．【解答】解：全集，2，3，，且，，，．故选：．【例12】（2025•四川模拟）已知集合，，0，1，2，，，则A．，，0，1，2， B．，，0，1， C．，0，1， D．，1，【答案】【分析】根据题意利用一元二次不等式求集合，进而求交集．【解答】解：，，0，1，2，，，，，0，1，2，，0，1，．故选：．【例13】（2025•湖北模拟）设集合，，则A． B． C． D．，或【答案】【分析】可求出集合，，然后进行补集的运算即可．【解答】解：，，．故选：．【例14】（2025•济南模拟）已知集合，，则A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】结合并集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，故，．故选：．【例15】（2025•安徽模拟）已知全集，集合，，，1，2，3，，则A．或， B．或， C．， D．，【答案】【分析】先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可．【解答】解：由，，得或，，又，1，2，3，，所以或，．故选：．►考点04集合的新定义问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼集合新定义问题的“三定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．【例16】（2025•芜湖二模）已知有限集合，，，，，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，且，则正整数的值是2025．【答案】2025．【分析】先求出集合，再根据题干中的定义即可求出结果．【解答】解：因为，所以，4，，，故，解得．故答案为：2025．【例17】（2025•西城区校级模拟）对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下；设，，，，，其，则的“绝对交错和”为；当时；的“绝对交错和”为，若数集，0，，，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为A． B． C． D．【答案】【分析】由题意集合的非空子集和交错和的定义分析即可．【解答】解：，0，，若中任意一个小于的元素出现在不含的子集中，则也一定出现在的子集或，反之，如果不出现，则都不出现，而在和，的交错和中一个为，一个为，所以总和为0，而含有的特殊个数为个，所以所有非空子集的交错和为，故选：．【例18】（2025春•盐都区校级月考）设、为两个实数集，定义集合，，若，1，，，，则的子集个数为A．15 B．16 C．31 D．32【答案】【分析】由集合新定义确定，即可求解．【解答】解：，1，，，，则，2，3，，所以的子集个数为．故选：．【例19】（2024秋•昌平区期末）已知集合，，，，，，，定义集合⊕，，，，，则⊕中元素的个数是A．49 B．62 C．109 D．77【答案】【分析】作出集合、集合表示的整点图形，结合向量的线性运算及其坐标表示可求解．【解答】解：在坐标系内作出集合、集合的整点图形，则集合⊕中元素为图中虚线格子格点去掉四个角上的，，，，，，，，，，，共1