专题04 基本不等式（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题04基本不等式

一．选择题（共10小题）1．（2024秋•福贡县期末）已知函数，，则函数的最小值为A． B．2 C． D．2．（2025•南岗区三模）已知正数，满足，则的最小值为A．8 B．7 C．6 D．53．（2025春•宁波期中）已知正数，满足，则的最小值为A．9 B．6 C．4 D．34．（2025春•浙江期中）已知，，且满足，则的最小值为A．4 B．6 C．8 D．105．（2025春•广东期中）若，则的最小值是A．2 B．3 C．4 D．56．（2025•凉州区模拟）若正数，满足，则的最小值为A．2 B． C．3 D．7．（2025春•静宁县月考）已知正数，满足，则的最小值为A． B． C． D．8．（2025春•南安市月考）若，，且，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．89．（2025•淄博模拟）利民工厂的某产品，年产量在至之间，年生产的总成本（万元）与年产量之间的关系近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为A．160 B．180 C．200 D．24010．（2025•中山市一模）若，则的最小值是A．4 B．8 C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•张家口三模）已知，，且，若，，则A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为，（多选）12．（2025•湖南模拟）已知，，且，则A． B． C． D．（多选）13．（2025•浙江模拟）已知正数，满足，则A． B． C． D．（多选）14．（2025•河北模拟）已知，，，则下列说法正确的是A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为三．填空题（共4小题）15．（2025•安徽模拟）若，，，则的最小值是．16．（2025•浦东新区模拟）若正数、满足，则的最大值为．17．（2025•四川模拟）若，则实数的取值范围为．18．（2025•重庆模拟）若，且，则的最小值为．四．解答题（共6小题）19．（2024秋•安宁区期末）（Ⅰ）若，，且，求的最小值；（Ⅱ）若，，且，求的最小值．20．（2024秋•米东区期末）不等式若两个正实数，，满足．（1）求的最小值，并说明此时，的值；（2）若不等式恒成立，则实数的取值范围．21．（2024秋•田家庵区期末）已知，，且．（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值．22．（2024秋•镇江期末）（1）已知，，且，求的最小值；（2）已知，，证明：．23．（2024秋•吐鲁番市期末）（1）已知，求的最小值．（2）求的最大值．（3）已知正数，满足，求的最小值．24．（2024秋•湛江期末）（1）已知，求的最大值；（2）若正数，满足，求的最小值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BAACBBBBCB二．多选题（共4小题）题号11121314答案BCDBCDBCDAD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据基本不等式即可得到最值．【解答】解：因为，则，当且仅当，即时等号成立．所以函数的最小值为2．故选：．2．【答案】【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数，满足，则，当且仅当时取等号．故选：．3．【答案】【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值．【解答】解：正数，满足，则，当且仅当且，即，，故取得最小值9．故选：．4．【答案】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为，，且满足，所以，则，当且仅当且，即，时取等号，取最小值8．故选：．5．【答案】【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：，则，当且仅当，即时取等号．故选：．6．【答案】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得．【解答】解：由正数，满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：．7．【答案】【分析】由题设可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可．【解答】解：因为正数，满足，所以，则，当且仅当，即时取等号．故选：．8．【答案】【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：，，且，，当且仅时，即时，得，时，等号成立，所以的最小值是3．故选：．9．【答案】【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．【解答】解：（1）依题意，每吨平均成本为（万元），则当且仅当，即时取等号，又，所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低．故选：．10．【分析】由基本不等式可得，注意等号成立的条件即可．【解答】解：，当且仅当即且时取等号，的最小值是8故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】利用基本不等式判断，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断．【解答】解：．因为，，，则，故错误；．由题意可知，，，则，当时等号成立，则的最小值为，故正确；．，当，即时等号成立，故正确；，当，，在区间，上单调递增，当时取得最大值5，且时，，所以的取值范围为，，故正确．故选：．12．【答案】【分析】利用基本不等式，结合对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可．【解答】解：因为，，且，：若，选项显然不成立；，即，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确；：因为，即，当且仅当时取等号，显然成立，故本选项正确；：因为，当且仅当时取等号，因此本选项正确，故选：．13．【答案】【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验选项，结合二次函数性质检验选项即可求解．【解答】解：因为正数，满足，当且仅当，即，时取等号，所以，错误；，当且仅当，即，时取等号，正确；，当且仅当，即，时取等号，正确；，，结合二次函数性质可知，当时，上式取得最小值，正确．故选：．14．【答案】【分析】利用基本不等式计算并判断，结合常数代换可计算并判断，，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断．【解答】解：因为，，，，所以，当且仅当，即，时等号成立，故正确；因为，当且仅当，即，时等号成立，故错误；因为，当且仅当，时等号成立，故错误；可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，所以的最小值为，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】9．【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：若，，，则，当且仅当时取等号．故答案为：9．16．【答案】．【分析】令，再结合二次函数的性质求解即可；【解答】解：因为正数、满足，所以，所以，所以，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值为．故答案为：．17．【答案】，．【分析】根据题意，转化为，令，结合基本不等式，求得函数的最小值，即可求解．【解答】解：因为，故只需，令，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值3，所以．故答案为：，．18．【答案】25．【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；【解答】解：因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为25．故答案为：25．四．解答题（共6小题）19．【答案】，．【分析】由已知结合基本不等式，可求的范围，进而可求的最小值，由已知得，，然后利用，展开后利用基本不等式可求．【解答】解：，，，当且仅当时取等号，解得，，所以，即的最小值9，，，且，，，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值9．20．【答案】（1）最小值为2，此时，；（2），．【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解；（2）结合乘1法，利用基本不等式先求出的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．【解答】解：两个正实数，，满足．（1）由题意可得，当且仅当时取等号，所以，即的最小值为2，此时，；（2）因为，当且仅当，即，时取等号，若不等式恒成立，则，解得故实数的取值范围为，．21．【答案】（1）16；（2）16；（3）9．【分析】（1）（2）利用基本不等式求出最小值．（3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．【解答】解：，，且．（1），解得，当且仅当，即，时取等号，所以取得最小值16．（2），解得，当且仅当，即，时取等号，取得最小值16．（3）由，得，则，当且仅当，即，时取等号，取得最小值9．22．【答案】（1）4；（2）证明过程见详解．【分析】（1）由题意及基本不等式可得的最小值；（2）作差整理可得结论．【解答】（1）解：，，且，解得，可得的最小值为4；（2）证明：，因为，，可得，，，所以，所以：．即证得结论．23．【答案】（1）3；（2）5；（3）．【分析】（1）配凑后根据基本不等式求最值；（2）由基本不等式求积的最大值；（3）利用“1”的变形及基本不等式求最值．【解答】解：（1）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，的最小值3．（2）由可得，当或时，，当时，由基本不等式可得，，当且仅当，即时等