专题12 对数与对数函数（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题12对数与对数函数

一．选择题（共10小题）1．（2025春•柘荣县月考）式子A．5 B．6 C．7 D．82．（2024秋•裕安区期末）化简的值为A． B． C． D．3．（2025春•广州期中）使式子有意义的的取值范围是A． B． C． D．4．（2024•盐湖区一模）已知符号函数则函数的图象大致为A． B． C． D．5．（2023秋•杭州期中）函数的值域为A． B． C． D．6．（2024秋•汉中期末）曲线与交点个数是A．3 B．4 C．5 D．67．（2025•河南一模）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为A．， B．， C．， D．，8．（2025•宝鸡模拟）若，，则实数，，的大小顺序为A． B． C． D．9．（2023•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数，，的一个是A．① B．② C．③ D．④10．（2023•和平区模拟）已知函数，，设为实数，若存在实数，使（a），则实数的取值范围为A．， B．，， C．， D．，二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•枣庄模拟）下列运算中正确的是A． B．当时， C．若，则 D．（多选）12．（2025•云南模拟）已知函数为偶函数，，其中．若函数与的图象有且只有一个公共点，则A． B． C． D．，，（多选）13．（2025•孝感模拟）已知函数在区间上单调递增，则A． B． C． D．（多选）14．（2024•孝南区模拟）已知函数和的图象与直线的交点分别为，，，，则A． B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025•滁州模拟）已知函数恒过定点，则．16．（2025•河南模拟）函数的定义域为，值域为．17．（2025•黄浦区三模）已知正实数、满足，，则．18．（2025•江西模拟）已知函数在，上的最小值是1，则．四．解答题（共6小题）19．（2023•抚松县一模）（1）；（2）．20．（2025•浦东新区三模）已知且．（1）若，解方程；（2）若（a），求的取值范围．21．（2025•崇明区二模）已知．（1）是否存在实数，使得函数是偶函数？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由；（2）若且，解关于的不等式．22．（2023•神木市一模）已知是定义在上的偶函数，且时，．（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围．23．（2023•湘西州一模）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）若函数的最小值为，求的值．24．（2023•泸州模拟）已知函数为奇函数，函数．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）当，时，关于的不等式有解，求的取值范围．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDDDCACBBC二．多选题（共4小题）题号11121314答案BDACACACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得．【解答】解：原式．故选：．2．【答案】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简即可求解．【解答】解：．故选：．3．【答案】【分析】由对数函数的定义构造不等式即可求解．【解答】解：有意义则，解得：且，所以的取值范围是．故选：．4．【答案】【分析】先得到为偶函数，排除，再计算出（1），得到正确答案．【解答】解：定义域为，且为奇函数，故，的定义域为，且，故为偶函数，错误；当时，（1）（1），错误，正确．故选：．5．【答案】【分析】利用对数的运算性质化为求二次函数的值域，即可得出结论．【解答】解：，，，，，．故选：．6．【答案】【分析】作出曲线与图象，结合图象即可得出答案．【解答】解：作出曲线与大致图象，可知，，而，由曲线与图象知，曲线与有3个交点．故选：．7．【答案】【分析】利用对数函数的图象与性质分析判断即可．【解答】解：由的图象可得，又当时，，故．故选：．8．【答案】【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序．【解答】解：由题意可得，，所以，，因为对数函数为上的增函数，则，幂函数在上为增函数，则，所以．故选：．9．【答案】【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用判断结果．【解答】解：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性，当底数时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当底数，满足底数越大函数的图象在时，越靠近轴，故①对应函数的图象，根据对称性，④对应函数的由图象，③对应函数的图象，②与函数的图象相矛盾，故②错误．故选：．10．【答案】【分析】根据函数的图象，得出值域为，，利用存在实数，使（a），得出（a）的值域满足，即可．【解答】解：，设为实数，（a），，，，当时，，函数，，，值域为，存在实数，使（a），，即，故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】利用指数和对数运算公式即可直接解出．【解答】解：对于选项，，故选项错误；对于选项，，故选项正确；对于选项，令，则，故，选项错误；对于选项，，故选项正确；故选：．12．【答案】【分析】由偶函数的性质即可求出；令，题目等价于在上只有一解，讨论，和三种情况讨论求解．【解答】解：是偶函数，对任意恒成立，即恒成立，．，，，令，由可得，问题等价于关于的方程在上只有一解，①当时，解得，不合题意；②当时，记，对称轴，函数在上递减而，方程在无解．③当时，记，对称轴，只需，即，此时方程恒成立，，综上所述，．故选：．13．【答案】【分析】结合对数函数性质及复合函数单调性即可求解．【解答】解：，，设，可得函数在上单调递减，在上单调递增，由题意可得，故正确，错误；由，在上单调递减，则，故正确，错误．故选：．14．【答案】【分析】由题意可得，两点的中点为，从而可得，，且，即可判断；由，即可判断；由，即可判断．【解答】解：因为函数和互为反函数，所以函数和的图象关于直线对称，由解得，又因为直线与直线垂直，所以，两点的中点为，所以，，且，所以正确，错误；由，可得，所以正确；，所以正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解．【解答】解：根据对数函数的性质可令，则，，所以，，．故答案为：．16．【答案】，，；，【分析】结合对数函数真数大于0，以及二次函数的性质，即可求解．【解答】解：因为，所以恒成立．由，得，，，，故的值域为，．故答案为：，，；，．17．【答案】．【分析】由已知结合对数的运算性质可得，的关系，然后结合指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：因为正实数、满足，解得，或，所以或，当时，，所以，即，，，当时，，即，，，则．故答案为：．18．【答案】．【分析】由已知结合对数函数，二次函数的性质及复合函数的单调性对的范围进行分类讨论即可求解．【解答】解：若，则的定义域为，，，在上单调递减，在上单调递增；若，则的定义域为，，，由题意可得，，在上单调递减，在上单调递增．综上，在，上单调递增，（2），即，解得．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）2；（2）4．【分析】由对数的运算性质求解即可．【解答】解：（1）原式．（5分）（2）原式．（5分）20．【答案】（1）或．（2），，．【分析】（1）根据对数运算法则，化简与，设，原方程等价于，求解即可．（2）讨论和时，根据指数函数的单调性转化不等式（a），求解集即可．【解答】解：（1）由对数运算法则，，，设，则原方程等价于，解得或．所以原方程的解为或．（2）当时，函数严格单调递减，（a）等价于不等式组，解得；当时，函数严格单调递增，（a）等价于不等式组，解得．综上，的取值范围是，，．21．【答案】（1）存在实数，使得函数是偶函数；（2）当时，不等式的解集为，；当时，不等式的解集为，．【分析】（1）利用对数函数的性质，结合偶函数的定义求解；（2）利用对数函数的单调性求解．【解答】解：（1）根据题意，存在，使得函数是偶函数，当时，，有，解可得，即函数的定义域为，由，则为偶函数，符合题意，综上所述，存在实数，使得函数是偶函数；（2）由，得，所以，且①，由①得，，因为且，所以当时，；当时，，综上所述，当时，不等式的解集为，；当时，不等式的解集为，．22．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；（2）若，将不等式进行转化即可求实数的取值范围【解答】解：（1）令，则，时，，则．（2）（Ⅲ）在，上为增函数，在上为减函数（1），或．23．【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由，即，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值，得利用对数的定义求出的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则