专题13 函数的零点与方程的解（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题13函数的零点与方程的解

一．选择题（共10小题）1．（2025•台湾四模）函数的零点为A．10 B．9 C． D．2．（2025春•贵州期中）已知是函数的零点，则A．0 B．1 C．2 D．33．（2025•滁州模拟）函数所有零点之和为A． B． C．0 D．14．（2025•昌黎县模拟）函数与函数的图象交点个数为A．3 B．5 C．6 D．75．（2025•广东模拟）已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，6．（2025•广州模拟）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．7．（2025春•海淀区期中）函数与的图像有且只有两个公共点，则A．9 B． C．9或 D．以上答案均不是8．（2025•和平区二模）已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是A． B．， C． D．9．（2025春•天津期中）已知，若函数没有零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．10．（2025•湖北模拟）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是A．，， B．， C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•江西模拟）已知函数则下列结论正确的是A．是奇函数 B．是增函数 C．不等式的解集为， D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为，（多选）12．（2025春•皇姑区期中）已知恰有1个零点，则实数的可能取值是A． B． C．0 D．（多选）13．（2025•北海四模）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当，时，．则下列结论正确的是A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点（多选）14．（2025春•重庆期中）设函数，则A．的单调递增区间为， B．有三个零点 C．若关于的方程有四个不同实根，则 D．若对于恒成立，则三．填空题（共4小题）15．（2025•皇姑区模拟）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为．16．（2025•河北模拟）已知函数，方程有4个不同的根，，，，且满足，则的最小值为．17．（2025•盐山县二模）已知函数为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是．18．（2025春•平凉月考）已知函数若，且有2个零点，则实数的取值范围是；若函数有3个零点，则实数的取值范围是．四．解答题（共6小题）19．（2025春•宝山区月考）已知，函数．（1）若函数的值域为，求的取值范围；（2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围．20．（2024秋•福建期末）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若函数的图象过点，且关于的方程有实根，求实数的取值范围．21．（2025春•西湖区期中）已知函数为偶函数．（1）求实数的值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．22．（2025春•南海区月考）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若只有一个零点，求的取值范围；（3）设，若恒成立，求的取值范围．23．（2025•慈溪市模拟）已知函数．（1）当时，求的单调递减区间；（2）当时，函数恰有3个不同的零点，求实数的取值范围．24．（2025春•温江区月考）已知函数，若的最小正周期为．（1）求的解析式；（2）若函数在上有三个不同零点，，，且．①求实数的取值范围；②求，求实数的取值范围．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADCBBBCDDA二．多选题（共4小题）题号11121314答案CDADACDACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据题意，由函数零点的定义，令，解对数方程，求出的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，令，即，所以，因此，所以函数的零点为10．故选：．2．【答案】【分析】根据指对数转化计算求解．【解答】解：因为是函数的零点，所以，即，则，故．故选：．3．【答案】【分析】由分段函数分别求出零点，作和得答案．【解答】解：，当时，由，解得或；当时，由，解得或．函数的所有零点之和为0．故选：．4．【答案】【分析】在同一坐标系内作出函数，的图象即可得解．【解答】解：函数定义域为，最小正周期为，，当时，，，函数在定义域上是增函数，当时，，当时，，因此函数与函数的图象交点横坐标只能在区间，上，在同一坐标系内作出函数，的部分图象，如图所示：观察图象知，函数与函数的图象交点个数为5．故选：．5．【答案】【分析】根据对数有意义的条件求出，然后分和进行讨论，再利用数形结合的思想，列出不等式组，进行求解即可．【解答】解：因为对任意恒成立，所以．当时，在上单调递减，且当，时，，，要使得关于的方程恰有两个不同的根，则函数的图象与直线恰有两个交点，如图所示：所以，，解得．当时，，，不满足方程有两个根，故舍去．所以实数的取值范围为，．故选：．6．【答案】【分析】由题意可得直线与函数的图象有2个交点，分、及，结合图象求解即可．【解答】解：因为恰有2个零点，所以直线与函数的图象有2个交点，当时，，此时与的图象没有交点，不符题意；当时，当时，，易知函数在上单调递减，在，上单调递增，且，此时与的图象没有交点，不符题意；当时，当时，在上单调递增，且，如图所示：由图可知要使直线与函数的图象有2个交点，则；综上，，．故选：．7．【答案】【分析】由，可得，令，则直线与函数的图像有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的值．【解答】解：由，可得，即，令，其中，则，由，可得或，列表如下：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数的极大值为，极小值为，由题意可知，直线与函数的图像有两个公共点，如下图所示：由图可知，当或时，直线与函数的图像有两个公共点，综上所述，或．故选：．8．【答案】【分析】根据函数解析式，分类讨论，不同的取值范围下，函数零点的个数，从而得到恰好有3个零点时实数的取值范围．【解答】解：①当时，要使有意义，故；方程，即为，平方得，解得，显然，解不等式，得；在，上满足：当或时，有1个零点；当时，有两个零点；②当时，若，则，函数有无穷个零点；当时，方程，即，解得，令，即；即在上满足：当且时，有1个零点；当时，有无穷个零点；当时，没有零点．综上，当时，有三个零点．故选：．9．【答案】【分析】利用导数明确在上的单调性后，根据最值的符号可得，在这个条件下可证在上无零点，从而可得正确的选项．【解答】解：由题设可得当时，无零点，此时，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，因为，故当趋于时，趋于，故，令，，又因为、均为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，且（1），所以等价于（1），故，解得．当时，，设，，设，，则，，当时，，当时，，故在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，故，，，故，故在上恒成立，故在上为单调递减函数，故，即在上恒成立，故在上无零点，综上，．故选：．10．【答案】【分析】利用熟知的结论：（1）在处切线方程为，且整个函数图象都在切线上方；（2）在处切线方程为，且整个函数图象都在切线下方，结合对数函数指数函数的图象的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想可以较快的判定符合题意的实数的取值范围，从而做出正确选择．【解答】解：先证明：在处切线方程为，且整个函数图象都在切线上方．因为，所以切线方程为，即为．令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当且仅当时取等号．所以，即；再证明：在处切线方程为，且整个函数图象都在切线下方．因为，所以切线方程为，即为，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递增，所以（1），当且仅当时取等号．即，即，根据上述结论，在下面的讨论中可以采用数形结合方式研究函数恰有3个零点的条件．设，即，当时：方程化简为，即，即和．分情况讨论：当时，方程在时有3个解；（分别来自（两个）、（一个）．当时，和的解都是．当时，方程在时仅有1个解（来自．当时，方程化简为，即，即和．分情况讨论：当时，方程和各有1个解．当时，方程无解，有一个解．当时，方程无解，有1个解．当时，方程和都没有解．综上，当，时，函数有3个零点；当时，函数无零点，此时共有3个零点；当，时，函数有2个零点；当时，函数有1个零点，此时总有3个零点；其他区间：的零点个数不足3个，不符合条件．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据分段函数解析作出图象，结合图象逐项分析判断即可．【解答】解：的大致图象如图所示：由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故错误；在定义域内不单调，故错误；若，则或，即不等式的解集为，，故正确；令，则，原题意等价于与有2个交点，则，所以的取值范围为，，故正确．故选：．12．【答案】【分析】令，则有，将问题转化为与的图象只有一个交点，利用导数确定函数的单调性及最值，作出图象，结合图象求解即可．【解答】解：令，则有，令，则直线与的图象只有一个交点，因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；且当时，，时，，作出函数的图象，如图所示：又因为，由此可得当或时，直线与的图象只有一个交点．故选：．13．【答案】【分析】由题意可得函数的周期为4，，（1），由此可得（1），即可判断；根据函数的奇偶性，求出函数在上的解析式，即可判断；结合函数的奇偶性及周期性，可得，即可判断；作出函数与的图象，结合图象可判断．【解答】解：因为为奇函数，故，即，令，则（2），又为偶函数，故，即，所以，所以的一个周期为4，所以，（1），所以，故正确；又，即函数是定义在上的偶函数，当，时，，当时，，所以，即．当时，，所以，所以，所以在上单调递减，故错误；因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以，所以的图象关于直线对称，故正确；函数的零点个数，即为与图象的交点个数，由题意得与的图象，如下：当时，，当时，，又函数在上是连续的，所以函数在上存在1个零点，由此可得与的图象有5个交点，所以有5个零点，故正确．故选：．14．【答案】【分析】根据分段函数的解析式和导数相关知识判断函数的单调性，即可判断；令，分段求出的值即可判断；先解方程求出的值，再根据函数的单调性和最值画出函数图象，通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，进而判断；由已知将问题转化为求函数，的最大值问题，通过求导判断函数的单调性即可求解最值，进而求解的范围，可判断．【解答】解：对于，因为当时，，易知在上单调递增，当时，，所以，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以的单调递增区间为，，故正确；对于，当时，令，即，，解得，当时，由，得，所以函数有两个零点，故错误；对于，因为，即，所以或，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值（1），又当时，，所以的图象如图所示：由图可知有一个根，若满足关于的方程有四个不同实根，则有三个不同实根，所以，故正确；对于，若对于恒成立，所以对于恒成立，即，令，，所以，由，得（舍或，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以当时，有最大值为，所以，所以对于恒成立，则，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】显然，分析可得在上存在一个零点，在，上存在两个零点，当时，令求出方程的解，即可得到，结合函数的单调性求出的范围，当时，令，由△确定的范围，再由求根公式求出方程的解，即可得到，解得即可．【解答】解：因为，显然；当时，，则函数在上单调递减，则在最多一个零点，要使函数有三个零点，则在上存在一个零点，在，上存在两个零点，当时，令，即，，解得，所以，即，显然恒成立，则只需满足，即，令（a），因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增，所以（a）在定义域上单调递增，又，所以当时，（a），所以；当时，，令，即，显然需满足，即，即，此时由求根公式可得、，依题意可得，即，解得或；综上可得，即实数的取值范围为．故答案为：．16．【答案】．【分析】根据函数的图象易知，且．设，则，，，代入中，利用换元法及基本不等式即可求解．【解答】解：由题意可得直线与函数的图象有4个不同的交点，且交点的横坐标依次为，，，，满足，在同一平面直角坐标系下，作出函数和的图象，如下图所示：依题意得：，且，则．设，则，，，所以，令，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．故答案为：．17．【答案】．【分析】设，由题可得当时，有两个零点，进而可得有两个正数解，令，考查直线与曲线相切时的值，数形结合可得出实数的取值范围．【解答】解：令，可得，所以函数为偶函数，因为，则，所以，当时，函数有两个零点，且当时，，可得，令，可得，令，其中，则，故函数在上为增函数，下面考查直线与函数的图象相切的情形：设直线与函数的图象相切于点，，其中，函数的图象在处的切线斜率为，故曲线在点，的切线的方程为，即，由题意可得，解得，，结合图形可知，当时，直线与曲线在上的图象有两个交点，即此时函数在上有两个零点，因此，实数的取值范围是．故答案为：．18．【答案】，；，．【分析】将代入，求出函数在，和上的值域，即可得第一空答案；由题意可得函数在，和上的值域，由有3个解，可得和共有3个解，分和，求解即可．【解答】解：当时，，则函数在，上单调递增，此时的值域为，；函数在上单调递增，此时的值域为；又因为有2个零点，所以，；令，解得或，又因为有3个解，所以和共有3个解，又因为函数在，和上均单调递增，且在，上的值域为，，在上的值域为，当，即时，和各只有一个解，不满足题意；当，即时，要使和共有3个解，则有，解得，所以实数的范围为，．故答案为：，；，．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意可得的值域为且，由二次函数的性质列出不等式组求解即可；（2）将问题转化为方程在满足的情况下只有唯一解，分、及且分别求解即可．【解答】解：（1）因为，所以，设函数的值域为，则，当，时，不满足题意；结合二次函数的性质可得：且△，即，即，据此可得实数的取值范围是；（2）满足题意时，恰好有一个解，即，原问题等价于方程在满足的情况下只有唯一解，方程化为，①若时，解，此时，满足题意；②若时，两根均为，此时，也满足；③若且时，两根为，当时，；当时，依题意，解得，综上，的范围为．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）代入，得到，解之即可；（2）由条件得到，问题转化为方程有实根，求出的值域即可．【解答】解：（1）当时，，则不等式即，所以，解得，故不等式解集为；（2）函数的图象过点，可得，解得，即，可得，关于的方程有实根，可得有解，所以方程有实根，令，因为，则，所以值域为，则，解得，故的取值范围是．21．【答案】（1）；（2），．（3）存在，．【分析】（1）根据偶函数的定义计算，化简求出可结果．（2）函数有两个零点，即方程有两个实数根．化简，根据复合函数单调性可求出的最小值，从而求出的范围．（3）化简可得出是以为整体的二次型函数，令，根据二次函数轴动区间定讨论函数的最小值，即可求出的值．【解答】解：（1）因为是偶函数，所以，即对任意恒成立，所以，所以；（2）函数有两个零点，即方程有两个实数根．令，则函数的图象与直线有两个交点，因为，，且，当时，等号成立．所以，当时，等号成立．且由复合函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的取值范围是，；（3），，，令，，则，，，的最小值为0，所以或或，即或或，解得．22．【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2），；（3），．【分析】（1）求导后根据的范围分类讨论即可求解；（2）设，由题意得只有一个根，由导数得出的单调性进而画出简图，数形结合即可求解；（3）当时，，设，根据导数进而得出（1），即可求解．【解答】解：（1）因为，，所以，当时，，所以在单调递增；当时，令，解得，当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）令，则，设，由题意得只有一个根，即直线与函数的图象只有一个交点，对求导，得，令，解得，当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减，所以，当时，；当时，；当时，，作出的图象，如图所示：又因为直线与函数的图象只有一个交点，所以或．所以实数的取值范围为，；（3）由，令，则（1），故，当时，，以下证明，设，则，令，，则，令，解得，当，，则在单调递减，当，，则在单调递增，所以（1），即，所以时，，则在单调递减，