专题15 导数与函数的单调性（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题15导数与函数的单调性

1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．►考点01不含参函数的单调性▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例1】（2025春•启东市月考）已知函数满足，则的增区间为A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】先求出导数，然后解方程求出，最后利用导数判断的符号，逐项判断．【解答】解：由已知得：，所以，解得，所以，令得：，解得，故的递增区间为，．故选：．【例2】（2025春•四川期中）已知函数，则的单调递增区间为A． B． C． D．【答案】【分析】对函数求导，令，可求得答案．【解答】解：函数的定义域为，，令，得，解得．故选：．【例3】（2025春•辽宁期中）已知函数满足（2），则的单调递增区间为A． B． C． D．【答案】【分析】求出导函数，从而可得关于（2），（1）的等式，联立可解得（2），（1），进而可得的解析式，及导函数，再令即可求解的单调递增区间．【解答】解：（2），求导得，则，又（1）（2）②，联立①②可得，（1），所以，，则，令，即，即，解得或，所以的单调递增区间为，．故选：．【例4】（2025春•北京期中）下列函数中，在上为增函数的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用基本初等函数的性质及导数说明函数的单调性，即可判断．【解答】解：对于，因为，所以，因为，所以与0的大小不确定，故错误；对于，因为，则，所以在区间上恒成立，则函数在区间上为增函数，故正确；对于，因为，则，所以当时，，当或时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，则在区间上不单调，故错误；对于，因为，则，当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，则在区间上不单调，故错误．故选：．【例5】（2025春•北京期中）已知函数，则在下列区间上，单调递减的是A． B． C． D．【答案】【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而得解．【解答】解：由于函数，因此导函数，令导函数，所以，解得，因此函数的单调递减区间为，结合选项可知只有符合题意．故选：．►考点02含参数的函数的单调性▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．【例6】（2025•绵阳模拟）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，设的两个零点为，，求证：．【答案】（1）；（2）当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．（3）证明见解答．【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再求切线方程即可；（2）求出导函数，讨论、，分别根据导函数符号分析函数的单调性即可；（3）结合（2）易得是是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可．【解答】解：（1）当时，，则，所以，，所以曲线在，处的切线方程为；（2）因为，满足，所以，当时，，所以，令，则，令，则，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，此时，所以在递减，所以的单调递减区间为，无单调递增区间．综上，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．（3）证明：当时，，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，又，是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，因为，且在上单调递减，从而只需证即可．，令，，在上单调递增．（1），即，即．【例7】（2025•安康模拟）设函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性．【答案】（1）．（2）当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减．【分析】（1）求出和，由导数的几何意义可得切线斜率，再求出，即可得切线方程；（2）求求导，再对分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可．【解答】解：（1）当时，，则，则曲线在点，处的切线斜率为，因为，所以曲线在点，处的切线方程为．（2）的定义域为，当时，，令，则在上单调递减，在上单调递增，因此，的最小值为．当时，，则，此时，在上单调递增．当时，令，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，单调递增．综上，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减．【例8】（2025•聊城二模）已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个极值点，证明：有且只有一个零点．【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减；当，时，在上单调递增．（2）证明见解答．【分析】（1）求导后分类讨论的范围即可求解；（2）根据有两个极值点，结合（1）利用导数分析函数的零点即可证明．【解答】解：（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，即在定义域内单调递增．当时，令，则的对称轴为，，若△，即，时，，，在定义域内单调递增．若△，即时，有两个零点：，，且．当和，时，，，单调递增；当，时，，，单调递减．综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当，时，在上单调递增．（2）证明：由有两个极值点，则由（1）可得且在处取极大值，在处取极小值．当时，，所以的极小值为，则在，上没有零点．又，，且在上单调递增，所以存在唯一的实数，使得，故有且只有一个零点．【例9】（2025•济宁模拟）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若，求整数的取值集合．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2），3，．【分析】（1）求导，就参数进行分类讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（2）当时，显然不成立，当时，由（1）可得等价于，令（a），，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理判断零点情况，得解．【解答】解：（1）函数的定义域为，，当，即时，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，当，即时，，即在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，当时，，显然不合题意；当时，由（1）知，，所以，即，令（a），，则（a），所以当时，（a），（a）单调递增，当时，（a），（a）单调递减，又时，（a），（2），（4），（5），所以存在实数，，使得，所以（a）时，，，所以整数的取值集合为，3，．【例10】（2025•凯里市模拟）设函数f（x）＝lnx+x﹣ax2，a∈R．（1）若a＝1，试求函数f（x）的极值；（2）设，讨论g（x）的单调性．【答案】（1）f（x）的极大值为0，无极小值；（2）当a≤0时，g（x）的单调减区间为（0，+∞），无增区间；当a＞0时，g（x）的单调增区间为，单调减区间为．【分析】（1）利用导数研究单调性，即可求得函数f（x）的极值；（2）由题意得，即，令h（x）＝x2+x﹣2a，由a≤0和a＞0分类讨论即可．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx+x﹣x2（x＞0），所以，令f′（x）＝0有x＝1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）极大值＝f（1）＝ln1+1﹣1＝0，无极小值；（2）由，所以g（x）的定义域为（0，+∞），所以g′（x）＝﹣﹣+＝﹣，令h（x）＝x2+x﹣2a（x＞0），当a≤0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞0时，令h（x）＝0有x2+x﹣2a＝0，Δ＝1+8a＞0，所以，所以当x＞x0时，h（x）＞0，g′（x）＜0，当0＜x＜x0时，h（x）＜0，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，所以g（x）的单调增区间为，单调减区间为；综上有：当a≤0时，g（x）的单调减区间为（0，+∞），无增区间；当a＞0时，g（x）的单调增区间为，单调减区间为．►考点03利用导数研究函数的图象▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．【例11】（2025春•南海区月考）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是A．在单调递增 B．在处取得最大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值【答案】【分析】由导函数图象得到的取值（正负）情况，从而得到的单调性与极值点．【解答】解：由导函数的图象可知，当时，，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值．分析选项可知，只有选项正确．故选：．【例12】（2025春•佛山月考）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为A． B．，， C．，， D．，，【答案】【分析】根据图象可得与的取值情况，进而得解．【解答】解：由图象可知，当时，，当时，，当，，时，，当时，，由此的解集为，，．故选：．【例13】（2024秋•长春期末）已知函数与的图象如图所示，则函数A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数【答案】【分析】求出函数的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．【解答】解：因为，由图象知，时，，，即在上单调递减，当时，，，即在上单调递增，所以选项、和错误，选项正确．故选：．【例14】（2025春•福建期中）函数，是的导函数，则的大致图象是A． B． C． D．【答案】【分析】求导，再根据的奇偶性以及取值情况即可得出答案．【解答】解：，则，可得为奇函数，排除选项；又当时，，则排除选项．故选：．【例15】（2025•达州模拟）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是A．（1）（3） B．（2） C．有三个零点 D．有三个极值点【答案】【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可．【解答】解：根据题意，由导函数图像知道：03正0非正0正增极大值减极小值增依次分析选项：对于，1，，单调递减，则（1）（3），则正确；对于，自变量，2在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则错误；对于，不能确定零点个数，则错误；对于，函数有两个极值点，则错误．故选：．►考点04根据函数的单调性求参数▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集．【例16】（2025•河南模拟）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】根据函数在上单调递减可知在上恒成立，进而利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：题意等价于在上恒成立，所以，解得，即实数的取值范围为．故选：．【例17】（2025•上饶二模）若函数在，上存在单调递增区间，则实数的取值范围为A．， B． C． D．【答案】【分析】根据条件得出存在，，使成立，即存在，，使成立，构造函数，，，求出的最值即可解决问题．【解答】：因为函数在，上存在单调递增区间，所以存在，，使成立，即存在，，使成立，令，，，变形得，因为，，所以，所以当，即时，，所以．故选：．【例18】（2025春•惠州月考）函数的单调递减区间是，则A．16 B．6 C．4 D．2【答案】【分析】求出的导函数，因为有单调递减区间，所以；再根据与，求出的单调递减区间为，最后根据题目给出的条件得出最后答案即可．【解答】解：由题可知，因为函数有单调递减区间，所以；令，则，又，故，即的单调递减区间是，可得．故选：．【例19】（2025•义乌市三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为A．1 B