专题25 平面向量的概念及线性运算（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题25平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a，b，c，…或eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，…表示向量的模向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e表示，|e|＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a∥b相等向量长度相等且方向相同的向量a＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．常用结论：1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6())＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.►考点01平面向量的有关概念▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量【例1】（2025春•崆峒区期中）下列命题正确的是A．平面内所有的单位向量都相等 B．模为0的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．若满足，且同向，则【答案】【分析】结合单位向量、零向量、平行向量的意义逐项判断．【解答】解：．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，错误；．零向量和任何非零向量共线，正确；．平行向量一定是共线向量，错误；．向量不能比较大小，错误．故选：．【例2】（2025春•武汉期末）下列说法不正确的是A．零向量加一个零向量还是零向量 B．零向量减一个零向量还是零向量 C．零向量乘一个零向量还是零向量 D．零向量乘零还是零向量【答案】【分析】根据向量的运算性质及零向量的性质判断各项的正误．【解答】解：两个零向量的加减、数乘（乘以均为零向量，零向量乘一个零向量是数量零．故选：．【例3】（2025春•湖北期末）给出下列命题，正确的命题为A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同【答案】【分析】根据向量平行的概念和性质，判断选项．【解答】解：对于，向量的长度相等，方向相反，故正确；对于，当或为零向量时，零向量与任意向量平行，但是方向任意，故错误；对于，若与方向相反时，有，若，当或为零向量时，不能推出与方向相反，故错误；对于，当时，因为零向量的方向任意，所以这时的方向不与的方向相同，故错误．故选：．【例4】（2025春•嘉峪关月考）下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．在菱形中一定有 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量【答案】【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可．【解答】解：选项，若，则与大小相等，方向不确定，故选项错误；选项，若时，则与方向不确定，故与可能共线也可能不共线，故选项错误；选项，由菱形，可且，所以，一定有，故选项正确；选项，共线向量不一定是在同一条直线上的向量，也可在相互平行的直线上，故选项错误．故选：．【例5】（2025春•佛山期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则A． B． C．1 D．2【答案】【分析】直接利用向量的共线求出结果．【解答】解：已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则，解得．故选：．►考点02平面向量加、减运算的几何意义▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【例6】（2025春•上城区期末）设是的对角线的交点，为任意一点，则A． B． C． D．【答案】【分析】可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可得出，然后即可得出正确的选项．【解答】解：如图，，．故选：．【例7】（2024秋•辽宁期末）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据向量的运算法则可得结果．【解答】解：．故选：．【例8】（2025春•诸暨市期中）下列各向量运算的结果与相等的是A． B． C． D．【答案】【分析】据向量加、减法的运算法则逐项判断即可．【解答】解：如图，以，为邻边作平行四边形，则根据向量的加、减法运算法则，可得，，，，所以与相等．故选：．【例9】（2024春•大通县期末）化简A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合向量减法运算法则即可求解．【解答】解：若化简，根据向量减法的三角形法则可知，．故选：．【例10】（2023秋•昌黎县期末）．【答案】．【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得．【解答】解：．故答案为：．►考点03平面向量的线性运算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼平面向量的线性运算的求解策略【例11】（2025春•深圳月考）如图，在矩形中，，，为上一点，，若，则的值为A． B． C． D．1【答案】【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解．【解答】解：由，，四边形为矩形，建立如图所示坐标系，则有：，，，，因为为上一点，可设，所以，因为，所以，即，解得：，所以，由得：，解得：，所以．故选：．【例12】（2024春•丰台区期末）在中，点是边的中点．记，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据平面向量的线性运算法则，求解即可．【解答】解：因为是的中点，所以，所以．故选：．【例13】（2024春•福州期末）如图所示，在中，为边上的三等分点，若，，为中点，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据向量的线性运算即可求解．【解答】解：根据条件：，．故选：．【例14】（2024秋•邯郸期中）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解．【解答】解：因为，又，所以，又为腰的中点，所以．故选：．【例15】（2024秋•大连期中）在△中，点在边上，．记，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据平面向量的减法法则，可得，，由此代入化简，可得，进而得出正确答案．【解答】解：．记，，所以，即．故选：．►考点04判定向量共线、三点共线▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼判定向量共线、三点共线的方法【例16】（2025春•青白江区期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】【分析】利用向量的共线定理一一判断即可．【解答】解：，，则，故，，三点共线，对；因为，，故，不一定共线，错；因为，，所以，不一定共线，错；因为，，则，不一定共线，错．故选：．【例17】（2025春•邓州市期末）如图，在△中，点，满足，点满足，为的中点，且，，三点共线．（1）用表示；（2）求的值．【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）结合向量的加法及减法表示即可；（2）由三点共线的向量形式及已知条件表示，结合（1）及平面向量基本定理即可求解．【解答】解：在△中，点，满足，点满足，为的中点，且，，三点共线．（1）；（2）由（1）得，因为，，共线，所以，，，所以，．【例18】（2025春•马鞍山月考）设是不共线的两个向量．（1）若，证明：，，三点是否共线；（2）若与共线，求实数的值．【答案】（1）证明见解答；（2）．【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证；（2）利用共线向量定理列式计算即得．【解答】（1）证明：由，可得，，则，因此向量与共线，且有公共点，所以，，三点共线；（2）解：由与共线，可得存在实数，使得，即，又与不共线，则，解得，所以实数的值为．【例19】（2025春•湖北月考）设是不共线的两个向量．（1）若，求证：，，三点共线；（2）若与共线，求实数的值．【答案】（1）证明见解析；（2）或．【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证；（2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出、方程组求解即可．【解答】（1）证明：因为，可得：，，又因为与共线，且有公共端点，所以，，三点共线．（2）解：因为与共线，所以存在实数，使得，即．由与不共线，可知，解得，所以即实数的值为或．【例20】（2025春•江北区月考）设，是两个不共线的向量，已知，，．（1）求证：，，三点共线；（2）若，且，求实数的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明．（2）根据向量平行的结论，求参数的值．【解答】解：（1）证明：，，，由题意可得．因为，所以．又与有公共点，所以，，三点共线．（2）由（1），知，若，且，可设，所以，即．又，是两个不共线的向量，所以，解得．►考点05利用共线向量定理求参数▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．【例21】（2025春•辽宁期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2【答案】B【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出k值．【解答】解：由，，得＝，由A，B，D三点共线，得，又，不共线，得，即k＝﹣3．故选：B．【例22】（2024秋•沈阳期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为A．3 B． C． D．2【答案】【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值．【解答】解：是平面内不共线两向量，已知，，，可得，由，，三点共线，得，又，不共线，则，所以．故选：．【例23】（2025春•南关区月考）已知，是两个不共线的向量，若与是共线向量，则A． B． C． D．【答案】【分析】根