专题27 平面向量的数量积及其应用（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题27平面向量的数量积及其应用

一．选择题（共10小题）1．（2023•新课标Ⅱ）设向量，满足，，则A．1 B．2 C．3 D．52．（2023•四川）设四边形为平行四边形，，，若点、满足，，则A．20 B．15 C．9 D．63．（2023•新课标Ⅱ）已知，，，则A． B． C．2 D．34．（2025•北碚区模拟）已知，与的夹角为，则在上的投影向量为A． B． C． D．5．（2023•山东）已知非零向量，满足，，．若，则实数的值为A．4 B． C． D．6．（2025•河南模拟）已知，，则A．1 B．2 C． D．7．（2025•建邺区三模）在边长为3的等边三角形中，，则A． B． C． D．8．（2025春•江宁区期末）已知菱形的边长为1，，是菱形所在平面内的动点，则的取值范围是A． B． C． D．9．（2023•天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为A． B． C． D．010．（2023•新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•鹰潭模拟）已知向量，，则A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为（多选）12．（2025春•宜昌期中）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．若、可以作为基底，则 B．若，则λ＝0 C．若在上的投影向量为，则 D．若与的夹角为，则λ＝﹣1或9（多选）13．（2025春•承德期中）设点是△所在平面内任意一点，△的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是A．若点是△的重心，则 B．若，则点是△的垂心 C．若点是△的垂心，则 D．若为△的外心，为△的垂心，则（多选）14．（2025春•河源期末）已知平面向量，满足，，则A． B． C．的取值范围为 D．的最大值为5三．填空题（共4小题）15．（2025春•河源期末）已知向量，，且，的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为．16．（2025春•昭通期末）已知向量，的夹角为60°，满足，，则＝．17．（2025春•河南月考）在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝2，P，Q分别为边BC，CD的中点，则＝．18．（2025春•郑州期末）已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为．四．解答题（共6小题）19．（2025春•北京期中）已知向量，，（1）求与垂直的单位向量，以及与的夹角余弦值；（2）求满足的实数，；（3）若，求实数．20．（2025春•嘉定区期末）平面内给定两个向量．（1）求与夹角的余弦值；（2）若和垂直，求的值．21．（2025春•武汉期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、．（1）求顶点的坐标；（2）求向量与向量所成角的余弦；（3）求向量与向量上的投影向量的坐标．22．（2025春•舟山期末）已知平面向量，满足，．（1）求在上的投影向量（结果用表示）；（2）求，；（3）若，求．23．（2025春•闵行区月考）已知向量，，．（1）若，所成角为钝角，求x的取值范围；（2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）．24．（2025春•宁波期末）已知向量，满足，，且与的夹角为．（1）分别求与的值；（2）若，求的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACCCBDCACB二．多选题（共4小题）题号11121314答案ADACDACDACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：，，分别平方得，，两式相减得，即，故选：．2．【答案】【分析】根据图形得出，，，结合向量结合向量的数量积求解即可．【解答】解：四边形为平行四边形，点、满足，，根据图形可得：，，，，，，，，故选：．3．【答案】【分析】由先求出的坐标，然后根据，可求，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解．【解答】解：，，，，即，则故选：．4．【答案】【分析】由投影向量的定义、数量积的运算律即可求解．【解答】解：由已知得，在上的投影向量为．故选：．5．【答案】【分析】若，则，进而可得实数的值．【解答】解：，，，，，解得：，故选：．6．【答案】【分析】结合求解即可．【解答】解：已知，，则．故选：．7．【答案】【分析】由题意可得，再由向量的线性运算求解即可．【解答】解：在边长为3的等边三角形中，，则，所以．即．故选：．8．【答案】【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点，，得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围．【解答】解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，因为菱形的边长为1，，所以，，，设，则，，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的取值范围是．故选：．9．【答案】【分析】解法Ⅰ，由题意判断，且，再利用余弦定理求出和的余弦值，计算即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形是平行四边形，由题意求得的值．【解答】解：解法Ⅰ，由题意，，，，，且，又，；，，．解题Ⅱ：不妨设四边形是平行四边形，由，，，，，知，．故选：．10．【答案】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，方法2：取的中点，的中点，则，，当且仅当与重合时，取得等号．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】由向量垂直的坐标表示建立方程求解可判断；由向量模的坐标运算即可判断；由向量共线的坐标运算可判断；由投影向量的定义求解可判断．【解答】解：对于，因为向量，，且，所以，解得，故正确；对于，因为，所以，所以，故错误；对于，因为，且，所以，解得，故错误；对于，因为，所以，，，所以在方向上的投影向量的坐标为，故正确．故选：．12．【答案】ACD【分析】利用平面向量基底的定义可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算和定义可判断D选项．【解答】解：已知向量，，易知、均为非零向量，对于A，若、可以作为基底，则、不共线，可得2λ≠3，解得，故A正确；对于B，，由，解得λ＝0或2，故B错误；对于C，在上的投影向量为，即，解得，故C正确；对于D，因为与的夹角为，则，即，整理可得，解得λ＝﹣1或9，故D正确．故选：ACD．13．【答案】【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断；根据向量的线性运算及数量积运算可得到顶点距离相等即可判断；根据垂心的性质及向量的线性运算判断；根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断．【解答】解：对于，若点是△的重心，则，即，故正确；对于，由，得，即，可得，所以为△的外心，故错误；对于，若点是△的垂心，则，所以，故正确；对于，如图，为圆的直径，则，又因为为△的垂心，所以，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以，故正确．故选：．14．【答案】【分析】令，题目条件可转化为，对于，对条件进行平方即可求解；对于，先求平方再开方，结合即可求解；对于，通过分析可知点在以的中点为圆心，为半径的圆上，数形结合即可判断．【解答】解：令，可以得到，所以得到，选项，因为，所以可以得到，整理得到，进一步整理得到，所以选项错；选项，因为，所以选项对；选项，如图所示，假设，的中点为，所以可以得到，整理得到，解得，所以点在以的中点为圆心，的圆上，当点与点或重合时，此时取得最小值3，根据选项可知，整理得到，并且当且仅当时，取得等号，当时，得到，所以，所以，所以选项对；选项，，根据，得到，当点与点重合时，取最小值1，故可以得到，所以选项对．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】利用向量数量积的定义可求得，利用，可求得量在上的投影向量的坐标．【解答】解：因为，所以，又，且的夹角为，所以，所以向量在上的投影向量为．故答案为：．16．【答案】1．【分析】由已知得，展开结合向量数量积的定义可求．【解答】解：由＝（1，0），得||＝1，因为|+2|＝，所以+4•+4＝7，即1+4×1×||cos60°+4＝7，整理得2+||﹣3＝0，解得||＝1或||＝﹣（舍去），所以||＝1．故答案为：1．17．【答案】2．【分析】建系，根据向量的坐标运算，即可求解．【解答】解：作出示意图如下：则根据题意可得A（0，0），B（6，0），P（6，1），Q（3，2），所以，，，，所以＝18+2+（﹣18）+0＝2．故答案为：2．18．【答案】．【分析】根据平面向量的投影向量的计算公式即可求解．【解答】解：根据题意可知，，则向量在方向上的投影为．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）单位向量是和，夹角余弦值为；（2），；（3）．【分析】（1）设与垂直的单位向量为，根据题意列出方程组求出，，再用向量的夹角公式代入即可求出答案；（2）把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数，；（3）分别写出的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数．【解答】解：（1）设与垂直的单位向量为，则有，解得或；由，，可得，又，则，即与的夹角余弦值为；（2）由，得，，，，即，解得：；（3）由题意，，，因为，所以，解得．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，即可求解；（2）利用向量垂直的坐标公式计算即可求解．【解答】解：（1）由向量，，则，又，，所以，所以与夹角的余弦值为．（2）由题意得，，因为和垂直，所以，即，，，化简得，解得．所以若和垂直，的值为．21．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）设．根据题中顶点，，的坐标可求得向量与的坐标，根据四边形是平行四边形，结合向量相等的坐标表示即可求解；（2）由（1）可知，，根据向量夹角的坐标表示即可求解；（3）根据投影向量的定义及向量数量积运算即可求解．【解答】解：（1）设，由已知得，，，因为四边形是平行四边形，所以，所以，，，即，解得，所以顶点的坐标为；（2）由（1）可知，，故向量与向量所成角的余弦为；（3）因为，，所以向量与向量上的投影向量的坐标为．22．【答案】（1）；（2）；（3）2．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质求出，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量；（2）利用平面向量数量积的运算性质可求出、的值，即可求出的值；（3）求出的值，作，，，推导出、同向，再结合平面向量数量积的定义可求出的值．【解答】解：（1）因为，所以，又，，所以，所以在上的投影向量为：，．（2）由（1）知，．所以．（3）因为，，所以，作，，，如图所示：因为，所以，因为，即，所以，则，所以、共线，即，又因为，所以、同向，所以，得．23．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，所成角为钝角