专题30 等差数列（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题30等差数列

1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．提醒：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap.(3)若已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则①等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…为等差数列，公差为td；②等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为m2d；③算术平均值eq\f(S1,1)，eq\f(S2,2)，eq\f(S3,3)，…，即数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，公差为eq\f(d,2).(4)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列．常用结论：1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则eq\f(am,bm)＝eq\f(S2m－1,T2m－1).►考点01等差数列基本量的运算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼等差数列基本量运算的思想方法方程思想等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”整体思想当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解等价转化思想运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程【例1】（2025•个旧市模拟）设等差数列的前项和为，若，则A． B． C．1 D．【分析】根据等差数列的公式进行求解得到，然后利用等差数列前项和公式进行求解即可．【解答】解：在等差数列中，由，得，即，即，即，则，故选：．【例2】（2025春•平谷区期末）已知等差数列中，，，则A． B． C． D．【答案】【分析】结合等差数列的前项和公式，即可求解．【解答】解：，，当时，；当时，，故方程组，解得，故．故选：．【例3】（2025春•四川期末）记等差数列的前项和为，若，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，利用进行求解即可．【解答】解：是等差数列，．故选：．【例4】（2025春•涪城区期中）设等差数列的前项和为，若，，则A．40 B．42 C．44 D．46【答案】【分析】根据，，利用等差数列的求和公式求出首项，公差，再代入求和公式求解即可．【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以．故选：．【例5】（2025春•武强县期中）已知数列满足且，则A． B．3 C． D．【分析】根据题意，分析可得数列为公差为2的等差数列，由等差数列的性质可得，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，数列满足，即，即数列为公差为2的等差数列，若，则，则；故选：．►考点02等差数列项的性质▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼等差数列项的性质的关注点关注点一项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq关注点二等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质关注点三项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)相结合【例6】（2024秋•黑龙江期末）在等差数列中，已知，，则A．5 B．6 C．7 D．8【答案】【分析】本题根据等差中项的性质，有．通过计算可得正确选项．【解答】解：由题意，根据等差中项的性质，有．．故选：．【例7】（2024秋•深圳期末）已知等差数列满足，则等于A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】利用等差数列的性质，可得答案．【解答】解：因为等差数列满足，由等差数列的性质可得，，解得．故选：．【例8】（2025春•成都期中）已知数列满足，则其前9项和等于A．150 B．180 C．300 D．360【答案】【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解．【解答】解：因为，所以，所以其前9项和为．故选：．【例9】（2025春•河南月考）在等差数列中，若，则A．8 B．7 C．6 D．5【答案】【分析】利用等差数列的下标和的性质可求解．【解答】解：在等差数列中，，由等差数列的通项公式得，解得．故选：．【例10】（2025•肥城市模拟）等差数列满足，，则A．14 B．16 C．18 D．20【答案】【分析】根据等差数列的性质求解即可．【解答】解：设数列公差为，由题可得，解得，，故．故选：．►考点03等差数列前n项和的性质▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用．【例11】（2025春•闵行区期末）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论错误的是A． B． C． D．或为的最大值【答案】【分析】结合等差数列的性质检验各选项即可求解．【解答】解：因为数列是以为公差的等差数列，，且，则，即，正确；所以，正确；，即，错误；由，可得，，，所以或为的最大值，正确．故选：．【例12】（2025•临翔区模拟）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则A． B． C． D． E．均不是【答案】【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可．【解答】解：根据题意，数列，是等差数列，则．故选：．【例13】（2024秋•河南期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前项和，且，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】利用等差数列的性质，即可求解．【解答】解：与分别是等差数列与等差数列的前项和，且，由等差数列的性质可知，所以．故选：．【例14】（2025春•赣州期中）设是等差数列的前项和，若，，则A． B． C． D．【答案】【分析】由已知可得，，成等差数列，计算即可求得的值．【解答】解：是等差数列的前项和，由等差数列的性质得：，，成等差数列，，，，，，，．故选：．【例15】（2025•湖北模拟）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据等差数列前项和的性质，可设，，求出和，可得比值．【解答】解：因为等差数列的前项和形式必为，所以若，则不妨设，，则，，所以．故选：．►考点04等差数列前n项和的最值问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法邻项变号法利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，即可求得最值(1)当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm；(2)当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm利用等差数列的性质，求出其正负转折项，即可求得最值函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数的最值的方法求解【例16】（2025春•沙坪坝区期末）等差数列的公差为，前项和为，若，，则当取得最大值时，A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．【解答】解：等差数列中，，，解得，，，所以，故，，则当取得最大值时，．故选：．【例17】（2025春•南阳期末）若是等差数列，表示的前项和，，，则中最大的项是A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解．【解答】解：若是等差数列，，，则，，故中最大的项是．故选：．【例18】（2025春•郏县期末）已知等差数列的前项和为，且，则使的最大值为A．9 B．10 C．11 D．12【答案】【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．【解答】解：，则，解得，又，故，，，，故使的最大值为10．故选：．【例19】（2025春•成都期末）已知等差数列的前项和为，，，，则取最大值时的值为A．8 B．9 C．10 D．18【答案】【分析】由等差数列的前项和公式推导出，从而，由此能求出取最大值时的值．【解答】解：等差数列的前项和为，，，，，整理得，，取最大值时的值为9．故选：．【例20】（2025•鹰潭模拟）记为等差数列的前项和，且，则满足的的最大值为A．40 B．41 C．42 D．43【答案】【分析】根据，可得，，可解出，再解不等式，可求出满足的的最大值．【解答】解：因为，所以，，故公差，，令，即，解得且，所以满足的的最大值为41．故选：．►考点05等差数列的判定与证明▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼等差数列的判定与证明的常用方法判定方法定义法对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1通项公式法对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)前n项和公式法对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)证明方法定义法对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1【例21】（2025•榆阳区开学）已知等差数列满足：，，的前项和为．（1）求和；（2）令，，求证数列是等差数列．【答案】（1），；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题意，设等差数列的公差为，则有，解可得答案；（2）求出数列通项公式，进而可得，即可得结论．【解答】解：（1）根据题意，设等差数列的公差为，若，，则有，解可得，故，则；（2）证明：由（1）的结论，，则，满足，且；故数列是等差数列．【例22】（2025春•江西期中）已知等差数列的前项和为，若，．（1）求数列的通项公式．（2）证明：数列为等差数列．【答案】（1）；（2）证明见解答．【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式，方程思想，即可求解；（2）根据等差数列的求和公式，等差数列的定义，即可证明．【解答】解：（1）等差数列的前项和为，又，，，解得，；（2）证明：由（1）可得，，，数列是公差为1的等差数列．【例23】（2024秋•天津月考）若数列的前项和为．（1）求数列的通项公式，（2）证明是等差数列．【答案】（1）；（2）详见解答过程．【分析】（1）结合数列的和与项的递推关系及等差数列的通项公式即可求解；（2）结合等差数列的定义即可证明．【解答】解：（1）因为，当时，，当时，适合上式，故；（2）证明：因为，所以，故数列是等差数列．【例24】（2023秋•深圳期末）记为数列的前项和．（1）若为等差数列，满足，求公差；（2）已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）代入等差数列的求和公式即可得；（2）利用等差数列定义证明即可．【解答】解：（1）由可得：，解得；（2）设数列的公差为为常数），是等差数列，所以当时，，，，①，当时，②，由①②得③，经检验，当时也满足③，，，当时，，是等差数列．【例25】（2024秋•渭滨区期末）设是数列的前项和，定义等斜率数列且，等式恒成立．（1）若是首项为1，公比为3的等比数列，请判断是否为等斜率数列，并说明理由；（2）已知是等斜率数列，证明：