专题33 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题33基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形分类按底面多边形的边数(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用结论：1．锥体中平行于底面的截面的性质在锥体中，用平行于底面的截面截原锥体，得到一个小锥体，则小锥体与原锥体有如下比例关系：eq\f(S小锥底,S大锥底)＝eq\f(S小锥全,S大锥全)＝eq\f(S小锥侧,S大锥侧)＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比．这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．2．有关棱柱直截面问题在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S棱柱侧＝C直截l(其中C直截，l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)．►考点01空间几何体的结构特征▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．【例1】（2025春•北京期末）下列命题错误的是A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．斜棱柱的侧面有可能是矩形【答案】【分析】根据棱柱的概念逐一判断即可．【解答】解：对于选项，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，故正确；对于选项，底面是正多边形的直棱柱定是正棱柱，故错误；对于选项，棱柱的侧面都是平行四边形，故正确；对于选项，斜棱柱的侧面有可能是矩形，故正确．故选：．【例2】（2025春•饶平县月考）下列命题中为真命题的是A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体【答案】【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解．【解答】解：对于，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，选项错误；对于，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，选项错误；对于，可以是两对称面为矩形的平行六面体，选项错误；对于，正四棱柱是平行六面体，选项正确．故选：．【例3】（2025春•贵州期中）下列命题正确的是A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形【答案】【分析】根据柱体和锥体的定义与结构特征，逐一判断选项即可．【解答】解：选项，正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，但侧棱与底面边长不一定相等，所以正四棱柱不一定是正方体，故选项错误；选项，圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故选项错误；选项，面数最少的棱柱是三棱柱，共有5个面，所以一个棱柱至少有5个面，故选项正确；选项，正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故选项错误．故选：．【例4】（2025春•河南月考）下列说法中正确的是A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体【答案】【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断，即可得到本题的答案．【解答】解：对于，三棱柱的上下底面是三角形，可知错误；对于，根据棱柱的定义，可知棱柱的侧棱平行且相等，所以棱柱的侧面一定是平行四边形，故正确；对于，由棱柱的定义可得棱柱的侧棱平行且相等，故错误；对于，各条棱长都相等的棱柱可能是底面边长等于侧棱长的正棱柱，也可能是所有的面都是菱形的平行六面体，不一定是正方体，故错误．故选：．【例5】（2025春•河南月考）下列叙述正确的是A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是 D．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥【答案】【分析】根据棱台和正棱锥的定义，判断选项、是否正确；根据斜二测画法直观图的面积，判断选项是否正确；根据圆锥的定义判断选项是否正确．【解答】解：对于，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体不一定是棱台，只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，选项错误；对于，底面是正多边形．且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥，所以选项错误；对于，边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是，选项正确；对于，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，以其斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体，选项错误．故选：．►考点02平面图形与其直观图▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用斜二测画法解题的策略策略一在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半策略二按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系为S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形【例6】（2025春•和平区期末）用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为A．8 B．6 C． D．4【答案】【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解．【解答】解：边长为2正方形的直观图如下所示：则，，，所以直观图的周长为．故选：．【例7】（2025春•广州期末）如图，△为△的直观图，且△的面积为1，则△中最长边的边长为A． B． C．1 D．2【答案】【分析】结合题意由斜二测画法长度的计算可得．【解答】解：根据题意，设，在△中，且△的面积为1，则，则，所以，所以在△中，，由，所以，即△中最长的边长为．故选：．【例8】（2025春•浏阳市期末）把按斜二测画法得到△（如图所示），其中，，那么是一个A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形【答案】【分析】根据斜二测画法还原直线在直角坐标系的图形，进而分析出的形状．【解答】解：根据斜二测画法还原直线在直角坐标系的图形，如下图所示：由图易得故为等边三角形，故选：．【例9】（2025春•上城区月考）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是边长为1的等边三角形，那么原三角形的面积是A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，求出直观图的面积，由原图面积和直观图面积的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直观图是边长为1的等边三角形，则直观图的面积，则原图的面积．故选：．【例10】（2025春•昭通期末）如图，△是水平放置的平面图形的直观图，若，且，则原图形在边上的高为A． B． C． D．【答案】【分析】根据斜二测画法的规则和三角形面积公式进行求解即可．【解答】解：根据题意，由于，则原图面积，而，则．故选：．►考点03空间几何体的展开图▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．【例11】（2025春•广州期末）若圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是A． B． C． D．【答案】【分析】由圆锥的底面半径为1，体积为，可得圆锥的高及母线，然后可得圆锥侧面展开图的面积．【解答】解：由题意圆锥的底面半径，体积为，设圆锥的高，可得体积，可得，则圆锥母线长为，则圆锥的侧面积．故选：．【例12】（2025春•宿州期中）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为A．1 B． C．2 D．【答案】【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，根据题意列方程组求出的值．【解答】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，由题意知，解得，又因为表面积为，所以，解得；所以圆锥的母线长为．故选：．【例13】（2025春•兴义市期末）正方体的平面展开图如图所示，，，，为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】【分析】利用正方体的性质和根据异面直线所成角即可解答．【解答】解：将展开图合成一个正方体，如图所示：连接和．由正方体性质可得：，，四边形为正方形．则四边形为平行四边形，，所以，所以．同理可得：．因为，所以为异面直线与所成的角或其补角．又因为，所以为等边三角形，则．同理可得：与所成角为；与所成角为；与所成角为．综上可得：与垂直；与所成角为；与所成角为；与所成角为；与所成角为；与垂直．故在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有2对．故选：．【例14】（2025•湖州模拟）已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是A． B． C． D．【答案】【分析】由已知分别求出圆台的上下底面半径，进一步求出高，再由圆台体积公式得答案．【解答】解：设圆台的上下底面半径分别为，，由，的弧长分别为，，得，，可得，，又圆台的母线长，圆台的高．该圆台的体积是．故选：．【例15】（2025•济宁二模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为A． B．1 C． D．2【答案】【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，由圆锥侧面展开图、体积公式列方程计算即得．【解答】解：依题意，设圆锥的底面半径为，底面半径为，高为，母线长为，则圆锥的体积为，可得，又侧面展开图是一个圆心角为的扇形，可得，又，解得．故选：．►考点04空间几何体的截面图▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．【例16】（2025春•南宁期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为A． B．18 C． D．36【答案】【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解．【解答】解：根据题意可知，正方体的棱长为4，是棱的中点，取的中点，连接，易知，所以平面与交点为，则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形，过做，由，，所以，，，，所以其面积为．故选：．【例17】（2025春•杨浦区期末）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由，，三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为A． B． C． D．【答案】【分析】分别取，的中点、，连接、、、、、，利用平面的性质可得过、、的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积．【解答】解：根据题意，正方体中，分别取，的中点、，连接、、、、、，如图所示，由且，得是平行四边形，则，又且，得是平行四边形，得，所以，则，，，共面，故平面截该正方体所得的截面为．又正方体的棱长为1，，，，，截面为菱形，故其面积为．故选：．【例18】（2025春•南京期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，，分别是，的中点，则过点，，的平面截直四棱柱所得截面的面积为A． B． C． D．【答案】【分析】设直线分别交，的延长线于点，，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可．【解答】解：设直线分别交，的延长线于点，，连接，交于点，连接，交于点，连接，，因此过点，，的平面截直四棱柱的截面为五边形．根据平行线分线段比例可知：，因此可得，因此三角形为等腰直角三角形，因此，因此，那么，，连接，易知，因此可以分成等腰梯形和等边三角形两部分，等腰梯形的高，那么其面积为．又因为，因此五边形的面积为．故选：．【例19】（2025•河北区一模）在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为A． B． C． D．【答案】【分析】延长与相交于点，反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意可得，由此可求出，，进而求解．【解答】解：如图，延长与相交于点，反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意得，在各棱长均为1的正三棱柱中，，因为，，，，，所以，即，所以，所以．故选：．【例20】（2025春•安徽月考）如图，已知正三棱柱的棱长均为2，为线段上的动点（含端点），当截面的周长最小时，平面与平面的夹角为A． B．或 C． D．或【答案】【分析】先根据展开侧面得出截面的周长时为的中点，再根据线面垂直判定定理得出二面角即可求解．【解答】解：展开侧面，后，连接得，当为的中点时，最小，截面的周长最小．如图，延长，交于点，平面与平面的交线为，，，平面，平面，所以，又因为，，且平面，所以平面，平面，所以，则为截面与平面的夹角，因为，，所以．故选：．►考点05空间几何体的表面积▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．(3)组合体的表面积注意衔接部分的处理．【例21】（2025春•丹阳市月考）已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是A． B． C． D．【答案】【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得，且，再结合圆台的表面积公式运算求解．【解答】解：设上底面半径为，下底面半径为，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，设内切球与梯形两腰分别切于点，，可知，，根据题意可知，母线与底面所成角的余弦值为：，可得，即，故．故选：．【例22】（2025春•重庆期末）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为A． B． C．12 D．【答案】【分析】根据图形求出相关线段长，判断截面形状，逐一计算其面积，求和即得．【解答】解：由题意得，，，从而，所以，所以，，，，，，所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为：．故选：．【例23】（2025•龙凤区模拟）已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积等于A． B． C． D．【答案】【分析】先计算正四棱锥的高以及底面外接圆半径，再利用球以及正四棱锥的性质得出，即可计算．【解答】解：因为正四棱锥的底面边长为2，体积为，设在底面的射影为，则，所以，又正四棱锥的外接球的球心在它的高上，易知正四棱锥底面外接圆半径，球的半径为，由球的性质得，解得，所以球的表面积为．故选：．【例24】（2025•霞山区模拟）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为A．12 B．24 C．32 D．48【答案】【分析】求得斜高，结合表面积公式求解即可．【解答】解：根据题意可知，正四棱锥的高为，如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，由可得，所以，在△中，，，所以，所以，所以，所以．故选：．【例25】（2025春•庐江县期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为A．12 B．24 C．32 D．48【答案】【分析】设正四棱锥的底面边长为，求得斜高，然后根据，运用面积公式建立关于的方程，解出，进而求出该四棱锥的表面积．【解答】解：由题意得正四棱锥的高，设正四棱锥的底面边长为，则它的斜高，所以正四棱锥的侧面积，因为正四棱锥各侧面的面积之和是底面积的2倍，所以，即，解得，可得该四棱锥的表面积．故选：．►考点06空间几何体的体积▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.直接法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解．2.把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算．常见的补形有：(1)将正四面体补形成正方体；(2)将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体；(3)将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补形成正方体；(4)将台体补形成锥体等．3.分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，可将其分割转化成比较好求体积的几何体．4.(1)等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性．(2)尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积．转化的目的是找到易于计算的“好底”与“好高”．【例26】（2025•深圳模拟）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为A． B． C． D．【答案】【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积．【解答】解：