专题36 空间直线、平面的垂直（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题36空间直线、平面的垂直

一．选择题（共10小题）1．（2025春•慈溪市期末）已知直线，与平面，，则能使的充分条件是A．，， B．，， C．，， D．，，2．（2025春•中牟县期末）已知，为两个不同的平面，，，为不同的直线，下列说法正确的是A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则3．（2024•高碑店市模拟）如图，边长为2的两个等边三角形，，若点到平面的距离为，则二面角的大小为A． B． C． D．4．（2025•安徽模拟）在四边形中，，，，，将△折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是A． B． C．平面平面 D．平面平面5．（2025春•成都期末）在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为A． B． C． D．6．（2025春•南昌期末）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，，E是侧棱CC1的中点，则下列直线中与BE垂直的是（）A．AC B．A1C C．AB1 D．A1B7．（2024秋•商水县期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论错误的是A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直8．（2024•浦东新区三模）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是A． B． C． D．9．（2024春•浙江期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，且，则二面角大小为A． B． C． D．10．（2024秋•西城区期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，则二面角的余弦值为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•昆明期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PB，PD的中点，则EF⊥平面PAC的一个充分条件可以为（）A．EF⊥PC B．PA⊥平面ABCD C．PA＝PC D．PB＝PD（多选）12．（2025春•九江期末）如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论正确的是A．对任意点，平面 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点，使平面（多选）13．（2025春•盐城月考）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是A．三棱锥的体积变化 B．平面 C． D．平面平面（多选）14．（2025•白银模拟）如图，在五面体中，△是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，则A．平面 B．平面 C．存在这样的五面体，满足平面平面 D．存在这样的五面体，满足平面平面三．填空题（共4小题）15．（2023春•天宁区月考）平行六面体的底面是菱形，且．当的值为时，能使平面．16．（2021春•瑶海区月考）如图，在三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，侧棱底面，，，是的中点，点在线段上，当时，平面．17．（2023•天津期末）如图，矩形的边，，平面，，点在上，若，则．18．（2025•宝鸡模拟）三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为．四．解答题（共6小题）19．（2025春•长寿区期末）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离．20．（2025春•南通期末）如图，正三棱柱中，，，是中点，是棱上一点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求的长．21．（2025春•和平区期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△为等边三角形，平面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．22．（2025春•丹阳市月考）如图，在直三棱柱中，点，分别是边，的中点，且，，．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面．23．（2025春•普陀区期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面．（1）求证：平面；（2）若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：．24．（2025春•武汉期末）如图1，在矩形中，，，将△沿翻折至△，且，如图2所示．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBADDBDDCC二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDABDBDACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，逐一判断所给命题的真假．【解答】解：中，，，，可得，所以推不出，所以不正确；中，，，，若或与相交，所以推不出，所以不正确；中，，，可得，而，所以，所以正确；中，，，，如图所示，即，不一定垂直，所以不正确．故选：．2．【答案】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于、若，，则或与相交或与异面，故错误；对于、若，，由直线与平面垂直的性质可得，故正确；对于、若，，可得或，故错误；对于、若，，得或或与相交，相交也不一定垂直，故错误．故选：．3．【答案】【分析】设的中点为，过点作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案．【解答】解：设的中点为，连接，，过点作，垂足为，因为，均为等边三角形，所以，，所以为二面角的平面角；又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，则点到平面的距离为，又为等边三角形，边长为2，所以，在中，，则，即，所以二面角的大小为，故选：．4．【答案】【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可．【解答】解：对于，如图，因为，，，所以，又因为，，所以，所以，所以，所以正确；对于，由选项知，又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以正确；对于，由选项知，平面，因为平面，所以平面平面，所以正确；对于，如图，过点作，垂足为，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，显然平面，所以平面与平面不垂直，所以错误．故选：．5．【答案】【分析】根据与平面的关系，先找到直线与平面的夹角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得夹角的正弦值．【解答】解：连接，相交于点，连接、，因为，，所以平面，则即为直线与平面所成的角，所以，，所以．故选：．6．【答案】B【分析】以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可．【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以BA，BC，BB1两两垂直，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，由题意可得A（0，2，0），C（2，0，0），，，，所以，，，，，所以，，，，所以BE⊥A1C．故选：B．7．【答案】【分析】对于，由平面平面，得平面；对于，由平面，得；对于，由，，得平面；对于，由平面，得平面平面．【解答】解：在正方体中，点在线段上运动，对于，平面平面，平面，平面，故正确；对于，平面，平面，，故正确；对于，，，，平面，故正确；对于，平面，平面，平面平面，故错误．故选：．8．【答案】【分析】由二面角的平面角定义，可得为和所在的两个半平面所成的二面角，设，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表达式，进而求得取值范围．【解答】解：设，，则，由题意，，在上的投影是同一点，设为，连接，，则为和所在的两个半平面所成的二面角，则，由，可得，由，可得，在中，由余弦定理可得：，因为，所以，则．故选：．9．【答案】【分析】推出平面，可以得到是二面角的平面角，然后求解三角形即可．【解答】解：由已知平面，平面，，是的直径，且点在圆周上，，又，平面，平面，平面．而平面，，又是二面角的棱，是二面角的平面角，由知是等腰直角三角形，，即二面角的大小是．故选：．10．【答案】【分析】取的中点，连接，过作于，连接，可证是二面角的平面角，计算可求二面角的余弦值．【解答】解：如图，取的中点，连接，过作于，连接，，，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，又平面，，则是二面角的平面角，设，又，，则，，又，，又的中点，则，在△中，，则，故二面角的余弦值为．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】ABD【分析】由线面垂直的判定定理逐一判断所给命题的真假．【解答】解：A中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PB，PD的中点，所以EF∥BD，且BD⊥AC，所以EF⊥AC，因为EF⊥PC，PC∩AC＝C，所以EF⊥平面PAC，所以A正确；B中，由A选项分析，可得EF⊥AC，又因为AP⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，所以PA⊥EF，而PA∩AC＝A，所以EF⊥平面PAC，所以B正确；C中，PA＝PC，O为AC的中点，可得PO⊥AC，推不出EF⊥AC，所以C不正确；D中，PB＝PD，可得O为BD的中点，所以PO⊥BD，而BD⊥AC，AC∩PO＝O，所以BD⊥平面PAC，所以EF⊥平面PAC，所以D正确．故选：ABD．12．【答案】【分析】证明出平面平面，由面面平行的性质可判断选项；利用锥体体积公式可判断选项；利用异面直线所成角的定义可判断选项；推导出平面，结合中位线的性质可判断选项．【解答】解：对于选项，连接、、、，如下图所示：在正方体中，，，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为，故平面平面，因为平面，因此平面，所以对；对于选项，因为平面平面，平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值，而为定值，故为定值，所以对；对于选项，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以与所成的角为或其补角，如下图所示：易知△为正三角形，显然当时，，所以错；对于选项，连接、、，如下图所示：因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，当为的中点时，由为的中点，所以，所以平面，所以对．故选：．13．【答案】【分析】由线面平行的判定定理及线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，逐一判断所给命题的真假．【解答】解：中，连接，，，正方体中可得，平面，平面，所以平面，即上的点到平面上的距离相等，且△的面积为定值，所以三棱锥的体积不变化，所以不正确；中，连接，，在正方体中，可得，平面，平面，所以平面，又因为，可得平面平面，而平面，所以平面，所以正确；中，因为，平面，平面，所以，，所以平面，平面，可得，若，与相交，则平面，只有当与重合时，，所以不正确；中，由选项的分析，平面，而平面与平面重合，而，所以平面，又因为平面，所以平面平面，所以正确．故选：．14．【答案】【分析】应用线面平行的判定定理判断；延长，交于点，由线面垂直的性质有，而根据平面几何知识有即可判断；取的中点，的中点，连接、、，则为平面与平面所成角的平面角，判断是否存在为直角的情况，即可判断；取的中点，连接、，则为平面与平面所成角的平面角，判断．【解答】解：根据题意可知，△是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，平面沿翻转与平面形成一定夹角构成五面体，根据题意可知，，又平面，平面，所以平面，故选项正确；延长，交于点，若平面，平面，则，由平面几何知识易知，故不垂直于平面，故选项错误；取的中点，的中点，连接、、，则为平面与平面所成角的平面角，根据题意可知，点可看作在平面内以为圆心，为半径的圆上的一点，由于，必存在直线与该圆相切，存在，显然△为等腰三角形，则，都在平面内，所以平面，平面，则平面平面，故存在这样的五面体，故选项正确；取的中点，连接、，则为平面与平面所成角的平面角，当，即时，，即，又，都在平面内，则平面，平面，所以平面平面，此时，故存在这样的五面体，故选项正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】1．【分析】设，，则，由平面，可得，，所以，即，根据向量的数量积得，求解即可．【解答】解：如图所示：设，，则，因为平面，，平面，所以，，，，由，得，即，又因为，则有，即，解得或（舍去），因此当时，能使平面．故答案为：1．16．【答案】或．【分析】利用已知条件判断平面，然后说明．设，通过，，又，求出即可．【解答】解：由已知得，又是的中点，所以，又侧棱底面，可得侧棱平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以，故若平面，则必有．设，则，，又，所以，解得或．故答案为：或．17．【分析】先求出，可得，即可求出．【解答】解：平面，，，，，，，，，，故答案为．18．【答案】．【分析】先利用，可计算得到底面面积，当恰好为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，此时，，两两互相垂直，取的中点，连接，利用二面角的平面角的定义算出二面角的正切值．【解答】解：依题意可得三棱锥体积为．因为，所以当平面时，即时三棱锥体积最大，此时，，两两互相垂直，取的中点为，连接，，因为，，所以，又因为，所以为二面角的平面角，因为，，所以二面角的正切值为．故答案为．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明即可；（2）易知点到平面的距离等于点到平面的距离，再求出的值．【解答】（1）证明：因平面，平面，则，又，故，又三棱柱是直三棱柱，所以，又易知与相交，且，平面，所以平面；（2）解：因为矩形，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，由已知条件平面，即点到平面的距离等于．在△中，，故．即点到平面的距离为．20．【答案】（1）证明过程见详解；（2）1或2．【分析】（1）由题意可得，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，设点的坐标，再分别求出平面与平面的法向量的坐标，由这两个法向量的数量积为0，可得点的坐标，即求出的值．【解答】（1）证明：正三棱柱中，为的中点，可得，而平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）解：，，取的中点，连接，可得，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，1，，设点，，，则，，，，1，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，设平面的法向量为，，，则，则令，可得，，，因为平面平面，所以，即，解得或，可得或2．21．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）要证明线面垂直，需证明该线段垂直于平面内的两条相交直线，即证明即可．（Ⅱ）首先根据垂直关系确定直线与平面所成的角，然后根据边角关系求出其余弦值．（Ⅲ）首先根据垂直关系确定二面角的平面角，然后根据边角关系求出其余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取的中点为，连接，因为△是等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面；（Ⅱ）如图，连接，由（Ⅰ）知，平面，所以直线与平面所成的角为．在直角三角形中，，，，所以根据勾股定理得，所以，故直线与平面所成的角的余弦值为；（Ⅲ）如图，取的中点为，连接，．因为△为等边三角形，所以．又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，由（Ⅰ）知，平面，因为平面，所以．所以在直角三角形中，，，所以，所以二面角的余弦值为．22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面和平面，再由面面平行的判定定理证明可得；